Squaring the circle (original) (raw)
مسألة تربيع الدائرة هي مسألة طرحت من قبل علماء الرياضيات الإغريق. تطرح المسألة تحدي إنشاء مربع له مساحة مساوية لمساحة دائرة معطاة باستخدام عدد منته من إنشاءات الفرجار والمسطرة. تم هذا الإنشاء في عام 1882 على اعتبار أن العدد باي هو عدد متسام أي أنه ليس جذر أي متعدد حدود له معاملات كسرية.
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| dbo:abstract | مسألة تربيع الدائرة هي مسألة طرحت من قبل علماء الرياضيات الإغريق. تطرح المسألة تحدي إنشاء مربع له مساحة مساوية لمساحة دائرة معطاة باستخدام عدد منته من إنشاءات الفرجار والمسطرة. تم هذا الإنشاء في عام 1882 على اعتبار أن العدد باي هو عدد متسام أي أنه ليس جذر أي متعدد حدود له معاملات كسرية. (ar) La quadratura del cercle és un problema geomètric proposat per matemàtics de la Grècia clàssica. És el repte de fer la construcció amb regle i compàs d'un quadrat amb la mateixa àrea que un cercle donat utilitzant únicament un nombre finit de passos. El 1882 es va demostrar que el problema era irresoluble, a conseqüència del teorema de Lindemann-Weierstrass que demostra que pi (π) és un nombre transcendent, en lloc de ser un nombre algebraic. És a dir, pi (π) no és l'arrel de cap polinomi amb coeficients racionals. Algunes dècades abans del 1882 es va demostrar que si π és un nombre transcendent, llavors la construcció amb regle i compàs seria impossible. No va ser fins a aquest any que es va demostrar que π és transcendent. Per tant, no es poden fer construccions geomètriques exactes de la quadratura del cercle. D'altra banda, és possible dibuixar una bona aproximació en un nombre finit de passos, a conseqüència del fet que existeixen nombres racionals tan a prop de π com vulguem. D'una manera més abstracta aquest problema també es pot entendre de la següent manera. Donats uns determinats axiomes de la geometria euclidiana referents a l'existència de línies i cercles determinen aquests axiomes l'existència d'aquest quadrat?. El terme quadratura del cercle a vegades s'utilitzen com a sinònims per referir-se a l'aproximació per mètodes numèrics de l'àrea d'un cercle. (ca) Kvadratura kruhu je úloha sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu, a to pouze pomocí pravítka a kružítka. Je to jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou zdvojení krychle a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou geometricky neřešitelné. Od nejstarších dob se však užívala různá přibližná řešení. (cs) Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl (halber Kreisumfang) aus der Strecke, deren Länge gleich Längenmaßeinheit ist. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von unlösbar. Erst im Jahre 1882 konnte dies von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden. Die Quadratur des Kreises gehört zu den populärsten Problemen der Mathematik. Jahrhundertelang suchten neben Mathematikern auch immer wieder Laien vergeblich nach einer Lösung. Der Begriff Quadratur des Kreises ist in vielen Sprachen zu einer Metapher für eine unlösbare Aufgabe geworden. (de) Ο Τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Η διατύπωσή του είναι απλή: Ζητείται η ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε το αδύνατο της επίλυσης του προβλήματος. (el) Cuadrar el círculo es uno de los tres problemas clásicos de la matemática antigua. La tarea geométrica consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado mediante un número finito de pasos. Es un problema equivalente a la rectificación de la circunferencia, es decir, a la construcción de un segmento recto con la misma longitud que una circunferencia dada. Ambas cuestiones a su vez están vinculadas a la construcción del número π (la mitad de la circunferencia) a partir de un segmento cuya longitud es igual a unidad de longitud. Si se restringen los medios de construcción a regla y compás, la tarea no se puede resolver debido a la trascendencia del número . No sería hasta 1882 cuando el matemático alemán Carl Louis Ferdinand von Lindemann pudo demostrarlo. Es uno de los problemas más populares de las matemáticas. Durante siglos, tanto matemáticos profesionales como aficionados buscaron en vano una solución. El término cuadrar el círculo se ha convertido en una metáfora en muchos idiomas para describir una tarea sin solución. Cuadrar el círculo, en alquimia se refiere a la transmutación; en los cuatro animales, que conforman la cuadratura de la órbita elíptica de las constelaciones para lograr superar el Juicio Final de los Tiempos en cada era. (es) Ceann d'fhadhbanna clasaiceacha na geoiméadrachta: cearnóg a tharraingt cothrom le fairsinge ciorcail, gan feidhm a bhaint ach as corr dhíreach is compás chuige. Cruthaíodh nach féidir an fhadhb a réiteach leis na huirlisí seo, agus aimsíodh cuid mhaith réiteach. Fuair na hÉigiptigh ceann go luath le cearnóg de thaobh (8/9) d, sa chás gurb é d trastomhas an chiorcail. Tugann sé seo (64/81) d2 d'fhairsinge na cearnóige, in ionad (π/4) d2, agus uaidh sin, π ≈ 3.160…. Úsáideadh "cearnú an chiorcal" mar mheafar barrúil do thasc dodhéanta chomh fada siar le hArastaifainéas ar a laghad, timpeall 400 RC. (ga) Mempersegikan lingkaran (bahasa Inggris: Squaring the circle) adalah sebuah masalah yang diajukan oleh ahli geometri zaman kuno. Masalah tersebut adalah tantangan membangun persegi yang luasnya sama dengan sebuah lingkaran dengan sejumlah hingga langkah tertentu hanya dengan jangka dan penggaris tanpa skala. (in) Squaring the circle is a problem in geometry first proposed in Greek mathematics. It is the challenge of constructing a square with the area of a circle by using only a finite number of steps with a compass and straightedge. The difficulty of the problem raised the question of whether specified axioms of Euclidean geometry concerning the existence of lines and circles implied the existence of such a square. In 1882, the task was proven to be impossible, as a consequence of the Lindemann–Weierstrass theorem, which proves that pi is a transcendental number.That is, is not the root of any polynomial with rational coefficients. It had been known for decades that the construction would be impossible if were transcendental, but that fact was not proven until 1882. Approximate constructions with any given non-perfect accuracy exist, and many such constructions have been found. Despite the proof that it is impossible, attempts to square the circle have been common in pseudomathematics (i.e., the work of mathematical cranks). The expression "squaring the circle" is sometimes used as a metaphor for trying to do the impossible. The term quadrature of the circle is sometimes used as a synonym for squaring the circle, but it may also refer to approximate or numerical methods for finding the area of a circle. (en) La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un disque donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir Nombre constructible). La quadrature du cercle nécessiterait la construction à la règle et au compas de la racine carrée du nombre π, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π. Ne sont constructibles que certains nombres algébriques. Ce problème impossible à résoudre a donné naissance à l'expression « chercher la quadrature du cercle », qui signifie tenter de résoudre un problème insoluble. De plus, ce problème mathématique est celui qui a résisté le plus longtemps aux mathématiciens. Ils ont mis plus de trois millénaires à étudier le problème, reconnu comme insoluble par Ferdinand von Lindemann en 1882. (fr) La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca (più precisamente della geometria), il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso. (it) 원적문제(圓積問題, 영어: Squaring the circle) 또는 원의 정사각형화란 원과 같은 면적을 가진 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도하는 문제를 말한다. 고대 그리스 시절부터 제기되어 온 기하학의 3대 문제 중 하나로서 "주어진 길이의 반경을 가진 원에 대해 자와 나침반에 의한 유한회의 조작으로 그것과 면적이 동일한 정방형을 제작할 수 있는가?"라는 문제이다. 이 문제는 1882년에 페르디난트 폰 린데만이 원주율(π)을 초월수라고 증명하면서 원적문제가 실현 불가능하다고 증명했다. 한편 자나 컴퍼스 이외의 도구를 이용해 원을 정사각형화하거나 근사값을 제작하는 방법이 많이 알려져 있다. (ko) 円積問題（えんせきもんだい）とは古代の幾何学者たちによって定式化された「与えられた長さの半径を持つ円に対し、定規とコンパスによる有限回の操作でそれと面積の等しい正方形を作図することができるか」という問題である。英語では円の正方形化 (えんのせいほうけいか、squaring the circle) とも呼ばれる。 この問題は有理数体から出発して、体のある元の平方根を追加して新しい体を得るという操作の有限回の繰り返しで円周率を含むような体が得られるか、と言い換えることができる。1882年に、円周率が超越数であることが示されたことにより、円積問題は実現不可能だと証明された。 一方、コンパスや定規以外の道具を用いて円を正方形化することや、コンパスと定規のみを用いて近似的な解を作図する方法が多く知られている。 (ja) De kwadratuur van de cirkel is een wiskundig vraagstuk, dat voor het eerst is geformuleerd door meetkundigen in het oude Griekenland, onder meer Anaxagoras, Hippocrates, Archimedes en . De vraag is of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. De Griek Oenopides is wellicht de eerste geweest die de restricties omschreef van de toegestane middelen. (nl) A quadratura do círculo é um problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo servindo-se somente de uma régua não graduada e um compasso em um número finito de etapas. Em 1882, Ferdinand Lindemann provou que π é um número transcendente, isto é, não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais não todos nulos dos quais π seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de frações racionais ou suas raízes. A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua não graduada e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo. (pt) Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską. (pl) Квадратура круга — задача, що полягає в знаходженні побудови за допомогою циркуля та лінійки квадрата, рівновеликого за площею до заданого круга. Поруч із трисекцією кута та подвоєнням куба, є однією із найвідоміших задач, які неможливо розв'язати за допомогою циркуля та лінійки. (uk) Cirkelns kvadratur är ett av de klassiska konstruktionsproblemen inom geometrin. Uppgiften innebär att med hjälp av passare och omarkerad linjal (rätskiva) konstruera en kvadrat med samma area som en given cirkel. Problemet var känt redan under antiken i Grekland och Anaxagoras anses vara den som först i skrift uppmärksammade detta problem. Grekerna hittade aldrig någon lösning av problemet – varken en metod att kvadrera cirkeln eller ett bevis för att det var omöjligt. Problemet blev inte fullständigt löst förrän 1882, då Ferdinand von Lindemann visade att det är omöjligt att kvadrera cirkeln. (sv) Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. Если обозначить радиус заданного круга, — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: откуда получаем: Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно. (ru) 化圓為方是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为的线段。 进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家林德曼證明了為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。 如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯的，阿基米德螺線等。 (zh) |
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| dbp:caption | Squaring the circle, approximate construction according to Ramanujan of 1914, with continuation of the construction , see animation. (en) Beatrix's 13-step construction (en) Dixon's golden ratio construction (en) Hobson's golden ratio construction (en) Jacob de Gelder's 355/113 construction (en) Kochański's approximate construction (en) Ramanujan's 355/113 construction (en) Sketch of "Manuscript book 1 of Srinivasa Ramanujan" p. 54 (en) Continuation with equal-area circle and square; denotes the initial radius (en) |
| dbp:image | 1 (xsd:integer) Approximately squaring the circle.svg (en) Kochanski-1.svg (en) Quadratur des kreises.svg (en) Squaring the circle-Ramanujan-1913.png (en) Squaring_the_circle-Ramanujan-1914.svg (en) Squaring the circle like a medieval Master Mason, by Frederic Beatrix.png (en) |
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Η διατύπωσή του είναι απλή: Ζητείται η ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε το αδύνατο της επίλυσης του προβλήματος. (el) Ceann d'fhadhbanna clasaiceacha na geoiméadrachta: cearnóg a tharraingt cothrom le fairsinge ciorcail, gan feidhm a bhaint ach as corr dhíreach is compás chuige. Cruthaíodh nach féidir an fhadhb a réiteach leis na huirlisí seo, agus aimsíodh cuid mhaith réiteach. Fuair na hÉigiptigh ceann go luath le cearnóg de thaobh (8/9) d, sa chás gurb é d trastomhas an chiorcail. Tugann sé seo (64/81) d2 d'fhairsinge na cearnóige, in ionad (π/4) d2, agus uaidh sin, π ≈ 3.160…. Úsáideadh "cearnú an chiorcal" mar mheafar barrúil do thasc dodhéanta chomh fada siar le hArastaifainéas ar a laghad, timpeall 400 RC. (ga) Mempersegikan lingkaran (bahasa Inggris: Squaring the circle) adalah sebuah masalah yang diajukan oleh ahli geometri zaman kuno. Masalah tersebut adalah tantangan membangun persegi yang luasnya sama dengan sebuah lingkaran dengan sejumlah hingga langkah tertentu hanya dengan jangka dan penggaris tanpa skala. (in) La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca (più precisamente della geometria), il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso. (it) 원적문제(圓積問題, 영어: Squaring the circle) 또는 원의 정사각형화란 원과 같은 면적을 가진 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도하는 문제를 말한다. 고대 그리스 시절부터 제기되어 온 기하학의 3대 문제 중 하나로서 "주어진 길이의 반경을 가진 원에 대해 자와 나침반에 의한 유한회의 조작으로 그것과 면적이 동일한 정방형을 제작할 수 있는가?"라는 문제이다. 이 문제는 1882년에 페르디난트 폰 린데만이 원주율(π)을 초월수라고 증명하면서 원적문제가 실현 불가능하다고 증명했다. 한편 자나 컴퍼스 이외의 도구를 이용해 원을 정사각형화하거나 근사값을 제작하는 방법이 많이 알려져 있다. (ko) 円積問題（えんせきもんだい）とは古代の幾何学者たちによって定式化された「与えられた長さの半径を持つ円に対し、定規とコンパスによる有限回の操作でそれと面積の等しい正方形を作図することができるか」という問題である。英語では円の正方形化 (えんのせいほうけいか、squaring the circle) とも呼ばれる。 この問題は有理数体から出発して、体のある元の平方根を追加して新しい体を得るという操作の有限回の繰り返しで円周率を含むような体が得られるか、と言い換えることができる。1882年に、円周率が超越数であることが示されたことにより、円積問題は実現不可能だと証明された。 一方、コンパスや定規以外の道具を用いて円を正方形化することや、コンパスと定規のみを用いて近似的な解を作図する方法が多く知られている。 (ja) De kwadratuur van de cirkel is een wiskundig vraagstuk, dat voor het eerst is geformuleerd door meetkundigen in het oude Griekenland, onder meer Anaxagoras, Hippocrates, Archimedes en . De vraag is of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. De Griek Oenopides is wellicht de eerste geweest die de restricties omschreef van de toegestane middelen. (nl) Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską. (pl) Квадратура круга — задача, що полягає в знаходженні побудови за допомогою циркуля та лінійки квадрата, рівновеликого за площею до заданого круга. Поруч із трисекцією кута та подвоєнням куба, є однією із найвідоміших задач, які неможливо розв'язати за допомогою циркуля та лінійки. (uk) Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. Если обозначить радиус заданного круга, — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: откуда получаем: Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно. (ru) 化圓為方是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为的线段。 进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家林德曼證明了為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。 如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯的，阿基米德螺線等。 (zh) La quadratura del cercle és un problema geomètric proposat per matemàtics de la Grècia clàssica. És el repte de fer la construcció amb regle i compàs d'un quadrat amb la mateixa àrea que un cercle donat utilitzant únicament un nombre finit de passos. D'una manera més abstracta aquest problema també es pot entendre de la següent manera. Donats uns determinats axiomes de la geometria euclidiana referents a l'existència de línies i cercles determinen aquests axiomes l'existència d'aquest quadrat?. (ca) Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl (halber Kreisumfang) aus der Strecke, deren Länge gleich Längenmaßeinheit ist. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von unlösbar. Erst im Jahre 1882 konnte dies von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden. (de) Cuadrar el círculo es uno de los tres problemas clásicos de la matemática antigua. La tarea geométrica consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado mediante un número finito de pasos. Es un problema equivalente a la rectificación de la circunferencia, es decir, a la construcción de un segmento recto con la misma longitud que una circunferencia dada. Ambas cuestiones a su vez están vinculadas a la construcción del número π (la mitad de la circunferencia) a partir de un segmento cuya longitud es igual a unidad de longitud. Si se restringen los medios de construcción a regla y compás, la tarea no se puede resolver debido a la trascendencia del número . No sería hasta 1882 cuando el matemático alemán Carl Louis Ferdinand von Lindemann pudo demostrarlo. (es) Squaring the circle is a problem in geometry first proposed in Greek mathematics. It is the challenge of constructing a square with the area of a circle by using only a finite number of steps with a compass and straightedge. The difficulty of the problem raised the question of whether specified axioms of Euclidean geometry concerning the existence of lines and circles implied the existence of such a square. (en) La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un disque donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir Nombre constructible). La quadrature du cercle nécessiterait la construction à la règle et au compas de la racine carrée du nombre π, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π. Ne sont constructibles que certains nombres algébriques. (fr) A quadratura do círculo é um problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo servindo-se somente de uma régua não graduada e um compasso em um número finito de etapas. Em 1882, Ferdinand Lindemann provou que π é um número transcendente, isto é, não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais não todos nulos dos quais π seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de frações racionais ou suas raízes. (pt) Cirkelns kvadratur är ett av de klassiska konstruktionsproblemen inom geometrin. Uppgiften innebär att med hjälp av passare och omarkerad linjal (rätskiva) konstruera en kvadrat med samma area som en given cirkel. (sv) |
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