Closure operator (original) (raw)
In der Mathematik versteht man unter der Hülle einer Menge eine Obermenge, die groß genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die kleinste Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Beispiele sind die konvexe Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums, die abgeschlossene Hülle einer Teilmenge eines topologischen Raums oder die transitive Hülle einer zweistelligen Relation. Hüllenoperator bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihre Hülle zugeordnet wird. Die durch einen Hüllenoperator gegebenen Hüllen bilden ein Hüllensystem, also ein Mengensystem mit bestimmten Eigenschaften.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Mathematik versteht man unter der Hülle einer Menge eine Obermenge, die groß genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die kleinste Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Beispiele sind die konvexe Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums, die abgeschlossene Hülle einer Teilmenge eines topologischen Raums oder die transitive Hülle einer zweistelligen Relation. Hüllenoperator bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihre Hülle zugeordnet wird. Die durch einen Hüllenoperator gegebenen Hüllen bilden ein Hüllensystem, also ein Mengensystem mit bestimmten Eigenschaften. (de) In mathematics, a closure operator on a set S is a function from the power set of S to itself that satisfies the following conditions for all sets Closure operators are determined by their closed sets, i.e., by the sets of the form cl(X), since the closure cl(X) of a set X is the smallest closed set containing X. Such families of "closed sets" are sometimes called closure systems or "Moore families", in honor of E. H. Moore who studied closure operators in his 1910 Introduction to a form of general analysis, whereas the concept of the closure of a subset originated in the work of Frigyes Riesz in connection with topological spaces. Though not formalized at the time, the idea of closure originated in the late 19th century with notable contributions by Ernst Schröder, Richard Dedekindand Georg Cantor. Closure operators are also called "hull operators", which prevents confusion with the "closure operators" studied in topology. A set together with a closure operator on it is sometimes called a closure space. (en) 순서론에서 폐포 연산자(閉包演算子, 영어: closure operator) 또는 폐포 연산(閉包演算, 영어: closure operation)은 위상수학의 폐포와 유사한 성질들을 만족시키는 함수이다. 위상수학적 폐포와 달리 유한 합집합을 보존할 필요가 없다. 완비 격자를 판단하는 데 쓰일 수 있다. 보편 대수학과 계산 복잡도 이론 등에서 응용된다. (ko) Оператор замыкания — обобщение интуитивной концепции замыкания. Именно: если — частично упорядоченное множество, оператор будет называться оператором замыкания, если выполнены три условия: *, * (монотонность) * (идемпотентность) В роли множества часто выступает булеан некоторого другого множества ; примеры этого можно найти в топологии, алгебре и логике. Элементы вида называются замкнутыми, они образуют подмножество в исходном частично упорядоченном множестве . Оператор замыкания полностью определяется множеством замкнутых элементов; а именно, замыкание элемента — это наименьший замкнутый элемент, больший или равный данного: . Множество всех замкнутых элементов иногда называют муровским семейством в честь американского математика Элиакима Мура, исследовавшего замыкания в 1910 году. Некоторые частные случаи замыкания называют оболочкой (например, выпуклая оболочка или линейная оболочка) — это позволяет избегать путаницы с понятием замкнутого множества. Примеры операторов замыкания можно найти в самых разных областях математики: В топологии изучается замыкание множества. Топологическое замыкание «уважает» конечное объединение множеств: для любого . В частности, при эта формула превращается в . В алгебре и логике рассматривают операторы замыкания, обладающие свойством финитарности: , где — множество всех конечных подмножеств множества . В примером замыкания является оператор следствия (англ. consequence operator). Теоретическая информатика также очень широко применяет все наработки теории порядков в области операторов замыкания, включая определение на произвольных частично упорядоченных множествах. (ru) 在数学中，给定偏序集合 (P, ≤)，在 P 上的闭包算子是函数 C : P → P 带有如下性质: * x ≤ C(x) 对于所有 x，就是说 C 是扩展性的。 * 如果 x ≤ y，则 C(x) ≤ C(y)，就是 C 是单调递增的。 * C(C(x)) = C(x) 对于所有的 x，就是说 C 是幂等函数。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://plato.stanford.edu/entries/logic-algebraic-propositional/ http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html http://www.math.ksu.edu/~strecker/primer.ps https://web.archive.org/web/20060108063506/http:/www.iti.cs.tu-bs.de/TI-INFO/koslowj/RESEARCH/gal_bw.ps.gz |
| dbo:wikiPageID | 483120 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-pl:Operator_konsekwencji |
| dbo:wikiPageLength | 18731 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122713473 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Power_set dbr:Prime_field dbr:Model_theory dbr:Monad_(category_theory) dbr:Morgan_Ward dbr:Binary_relation dbr:Algebra_Universalis dbr:Algebraic_closure dbr:Algebraic_structure dbc:Universal_algebra dbr:Annals_of_Mathematics dbr:Antimatroid dbr:Richard_Dedekind dbr:Vector_space dbr:Universal_algebra dbc:Order_theory dbr:Mathematical_logic dbr:Mathematics dbr:Neighbourhood_(mathematics) dbr:Residuated_mapping dbr:Epigraph_(mathematics) dbr:Frigyes_Riesz dbr:Function_(mathematics) dbr:Galois_connection dbr:Garrett_Birkhoff dbr:Georg_Cantor dbr:Congruence_relation dbr:Convex_hull dbr:Logic dbr:Lower_semicontinuous dbr:Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy dbr:Compact_element dbr:Complete_lattice dbr:Structure_(mathematical_logic) dbr:Subgroup dbr:Substructure_(mathematics) dbr:Theoretical_computer_science dbr:Matroid dbr:Ceiling_function dbr:Topology dbr:Duality_(order_theory) dbr:Fuzzy_logic dbr:Linear_span dbr:Alfred_Tarski dbr:Algebra dbr:E._H._Moore dbr:Ernst_Schröder_(mathematician) dbr:Euclidean_space dbr:Field_(mathematics) dbr:Normed_space dbr:Oxford_University_Press dbr:Partially_ordered_set dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Directed_set dbr:Group_(mathematics) dbr:Fixpoint dbr:Abstract_algebraic_logic dbr:Affine_hull dbc:Closure_operators dbr:Supremum dbr:Relative_interior dbr:Boolean_algebra dbr:Idempotent dbr:Identity_function dbr:Iff dbr:Integer dbr:Kluwer_Academic_Publishers dbr:Kuratowski_closure_axioms dbr:Category_theory dbr:Real_number dbr:Set_(mathematics) dbr:Topological_closure dbr:Infimum dbr:Pointwise_order dbr:Topological_space dbr:Transcendence_degree dbr:Powerset dbr:Sublattice dbr:Springer-Verlag dbr:Increasing dbr:Point-set_topology dbr:Algebraic_poset dbr:Dissertationes_Mathematicae |
| dbp:reference | T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, . (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:ISBN dbt:Main dbt:Reflist dbt:Section_link dbt:Sfn dbt:Wikicite dbt:Harvid dbt:Nb5 |
| dct:subject | dbc:Universal_algebra dbc:Order_theory dbc:Closure_operators |
| rdf:type | yago:WikicatClosureOperators yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Function113783816 yago:Language106282651 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Operator113786413 yago:Relation100031921 yago:WikicatFormalLanguages |
| rdfs:comment | In der Mathematik versteht man unter der Hülle einer Menge eine Obermenge, die groß genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die kleinste Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Beispiele sind die konvexe Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums, die abgeschlossene Hülle einer Teilmenge eines topologischen Raums oder die transitive Hülle einer zweistelligen Relation. Hüllenoperator bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihre Hülle zugeordnet wird. Die durch einen Hüllenoperator gegebenen Hüllen bilden ein Hüllensystem, also ein Mengensystem mit bestimmten Eigenschaften. (de) 순서론에서 폐포 연산자(閉包演算子, 영어: closure operator) 또는 폐포 연산(閉包演算, 영어: closure operation)은 위상수학의 폐포와 유사한 성질들을 만족시키는 함수이다. 위상수학적 폐포와 달리 유한 합집합을 보존할 필요가 없다. 완비 격자를 판단하는 데 쓰일 수 있다. 보편 대수학과 계산 복잡도 이론 등에서 응용된다. (ko) 在数学中，给定偏序集合 (P, ≤)，在 P 上的闭包算子是函数 C : P → P 带有如下性质: * x ≤ C(x) 对于所有 x，就是说 C 是扩展性的。 * 如果 x ≤ y，则 C(x) ≤ C(y)，就是 C 是单调递增的。 * C(C(x)) = C(x) 对于所有的 x，就是说 C 是幂等函数。 (zh) In mathematics, a closure operator on a set S is a function from the power set of S to itself that satisfies the following conditions for all sets Closure operators are determined by their closed sets, i.e., by the sets of the form cl(X), since the closure cl(X) of a set X is the smallest closed set containing X. Such families of "closed sets" are sometimes called closure systems or "Moore families", in honor of E. H. Moore who studied closure operators in his 1910 Introduction to a form of general analysis, whereas the concept of the closure of a subset originated in the work of Frigyes Riesz in connection with topological spaces. Though not formalized at the time, the idea of closure originated in the late 19th century with notable contributions by Ernst Schröder, Richard Dedekindand Ge (en) Оператор замыкания — обобщение интуитивной концепции замыкания. Именно: если — частично упорядоченное множество, оператор будет называться оператором замыкания, если выполнены три условия: *, * (монотонность) * (идемпотентность) В роли множества часто выступает булеан некоторого другого множества ; примеры этого можно найти в топологии, алгебре и логике. . Примеры операторов замыкания можно найти в самых разных областях математики: В топологии изучается замыкание множества. Топологическое замыкание «уважает» конечное объединение множеств: для любого . (ru) |
| rdfs:label | Hüllenoperator (de) Closure operator (en) 폐포 연산자 (ko) Оператор замыкания (ru) 闭包算子 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Closure operator yago-res:Closure operator wikidata:Closure operator dbpedia-de:Closure operator dbpedia-hu:Closure operator dbpedia-ko:Closure operator dbpedia-ru:Closure operator dbpedia-zh:Closure operator https://global.dbpedia.org/id/8HjY |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Closure_operator?oldid=1122713473&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Closure_operator |
| is dbo:knownFor of | dbr:E._H._Moore |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Closure |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Kernel_operator dbr:Dual_closure dbr:Finitary_closure_operator dbr:Finite_consequence_operator dbr:Hull_operator dbr:Consequence_operator dbr:Consequence_operators dbr:Interior_operator dbr:Closure_operator_on_a_set dbr:Closure_space dbr:Closure_system |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Extensive dbr:Modal_logic dbr:Monad_(category_theory) dbr:Moore_family dbr:Mereotopology dbr:Antimatroid dbr:Interior_algebra dbr:List_of_order_theory_topics dbr:Pseudocomplement dbr:Convex_set dbr:Order_theory dbr:Quotient_(universal_algebra) dbr:Closeness_(mathematics) dbr:Alexandrov_topology dbr:Galois_connection dbr:Convex_hull dbr:Correspondence_theorem dbr:Annihilator_(ring_theory) dbr:Löwenheim–Skolem_theorem dbr:Closure_(mathematics) dbr:Complete_lattice dbr:Øystein_Ore dbr:Embedding dbr:Closure dbr:Kernel_operator dbr:Spin_group dbr:Massieu_function dbr:Matroid dbr:Adjoint_functors dbr:Duality_(order_theory) dbr:Lattice_(order) dbr:Algebraic_geometry dbr:E._H._Moore dbr:Esakia_space dbr:Field_of_sets dbr:Formal_concept_analysis dbr:Dilation_(morphology) dbr:Glossary_of_order_theory dbr:Pregeometry_(model_theory) dbr:Quantifier_(logic) dbr:Radical_of_an_ideal dbr:Hilbert's_Nullstellensatz dbr:Lawvere–Tierney_topology dbr:Binary_icosahedral_group dbr:Pointwise dbr:Claude_Lemaréchal dbr:Idempotence dbr:Kleene_algebra dbr:Orthogonal_complement dbr:Sequential_space dbr:Shapley–Folkman_lemma dbr:Implication_(information_science) dbr:Fixed-point_theorems dbr:Monadic_Boolean_algebra dbr:Strongly_minimal_theory dbr:Preclosure_operator dbr:Dual_closure dbr:Finitary_closure_operator dbr:Finite_consequence_operator dbr:Hull_operator dbr:Consequence_operator dbr:Consequence_operators dbr:Interior_operator dbr:Closure_operator_on_a_set dbr:Closure_space dbr:Closure_system |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Closure_(topology) |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Closure_operator |