Row and column spaces (original) (raw)
数学の線型代数学の分野における、ある行列の行空間（ぎょうくうかん、英: row space）とは、その行列の各行ベクトルの線型結合として起こり得るすべてのものからなる集合のことを言う。K を（実数や複素数の全体などのような）体とする。K に属する成分からなる m × n 行列の行空間は、n-空間 Kn の線型部分空間である。行空間の次元は、その行列の行ランクと呼ばれる。 整数の全体などのような環 K についての行列に対しても、同様の定義が存在する。
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Στην γραμμική άλγεβρα, ο χώρος στηλών ενός πίνακα Α είναι ο χώρος που παράγεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων στηλών του πίνακα. Ο χώρος στηλών ενός πίνακα είναι η εικόνα της αντίστοιχης γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα Α. Ας θεωρήσουμε το σώμα και τον πίνακα m γραμμών και n στηλών, με στοιχεία από το σώμα . Ο χώρος στηλών του είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του διανυσματικού χώρου . Η διάσταση του χώρου στηλών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα και είναι μικρότερος ή ίσος από min(m, n). Ο χώρος γραμμών του πίνακα ορίζεται παρόμοια. Ο χώρος γραμμών και ο χώρος στηλών ενός πίνακα A συμβολίζονται ως και ή ως C(AT) και C(A) αντίστοιχα. Στην ειδική περίπτωση όπου οι συντελεστές του πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί τότε ο χώρος γραμμών και ο χώρος στηλών του πίνακα είναι γραμμικοί υπόχωροι των και αντίστοιχα. Στη συνέχεια του άρθρου, θεωρούμε πίνακες με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς (εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά). (el) In linear algebra, the column space (also called the range or image) of a matrix A is the span (set of all possible linear combinations) of its column vectors. The column space of a matrix is the image or range of the corresponding matrix transformation. Let be a field. The column space of an m × n matrix with components from is a linear subspace of the m-space . The dimension of the column space is called the rank of the matrix and is at most min(m, n). A definition for matrices over a ring . The row space is defined similarly. The row space and the column space of a matrix A are sometimes denoted as C(AT) and C(A) respectively. This article considers matrices of real numbers. The row and column spaces are subspaces of the real spaces and respectively. (en) En algèbre linéaire, l'espace colonne (aussi appelé espace des colonnes ou image) d'une matrice A est l'espace engendré par toutes les combinaisons linéaires de ses vecteurs colonne. L'espace colonne d'une matrice est l'image de l'application linéaire correspondante. Soit un corps. L'espace colonne d'une matrice de taille à éléments dans est un sous-espace vectoriel de . La dimension d'un espace colonne est appelé le rang d'une matrice et est au plus égal au minimum de et . Une définition des matrices sur un anneau est également possible. L'espace ligne (ou espace des rangées) est défini de façon similaire. Cet article ne traite que le cas de . Les espaces colonne et ligne sont donc des sous-espaces des et respectivement. (fr) 数学の線型代数学の分野における、ある行列の行空間（ぎょうくうかん、英: row space）とは、その行列の各行ベクトルの線型結合として起こり得るすべてのものからなる集合のことを言う。K を（実数や複素数の全体などのような）体とする。K に属する成分からなる m × n 行列の行空間は、n-空間 Kn の線型部分空間である。行空間の次元は、その行列の行ランクと呼ばれる。 整数の全体などのような環 K についての行列に対しても、同様の定義が存在する。 (ja) In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice con valori reali (o più in generale in un campo ) è il sottospazio di (o più in generale di ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di generato dalle colonne. Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di . Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi e . (it) Kolomruimte en rijruimte zijn beide termen uit de lineaire algebra, een tak van de wiskunde waarin met matrices gerekend wordt. Onder de kolomruimte van de -matrix verstaat men de deelruimte van die wordt voortgebracht door zijn kolommen. Onder de rijruimte van de -matrix verstaat men de deelruimte van die wordt voortgebracht door zijn rijen. De dimensie van de kolomruimte (rijruimte) is het aantal lineair onafhankelijke kolommen (rijen) van Zowel de dimensie van die rijruimte als van die kolomruimte is gelijk aan de rang van (nl) Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação para nos referirmos ao posto da matriz . (pt) Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения. Пусть — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера с компонентами из является линейным подпространством координатного пространства . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит . Понятие также определено для матриц заданных над кольцом . Пространство строк определяется аналогично. В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами и соответственно. (ru) Матриця задає лінійне відображення (оператор) з простору в простір . Рядки матриці A є елементами векторного простору , а стовпці — елементами . (uk) 矩阵的行空间和列空间均为特殊的子空间，均属矩阵的四大基本子空间之一。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Matrix_Rows.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm http://www.khanacademy.org/video/column-space-of-a-matrix%3Fplaylist=Linear+Algebra http://wps.prenhall.com/am_leon_linearalg_7/53/13727/3514210.cw/content/index.html http://mfile.akamai.com/7870/rm/mitstorage.download.akamai.com/7870/18/18.06/videolectures/strang-1806-lec06-20sep1999-80k.rm https://web.archive.org/web/20010301161440/http:/matrixanalysis.com/DownloadChapters.html |
| dbo:wikiPageID | 97848 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 25147 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1110902334 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_coordinates dbr:Row_vector dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Scalar_multiplication dbr:MIT_OpenCourseWare dbr:Euclidean_subspace dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Houghton_Mifflin_Company dbr:Vector_spaces dbr:John_Wiley_&_Sons dbr:Column_vector dbr:Complex_number dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Orthogonal dbr:Gilbert_Strang dbr:Orthogonality dbr:Linear_algebra dbr:Singular_value_decomposition dbr:Pivot_element dbc:Matrices dbr:Three-dimensional_space dbr:Transpose dbr:Column_space dbr:Linear_combination dbr:Linear_independence dbr:Linear_span dbr:Linear_subspace dbc:Linear_algebra dbr:Field_(mathematics) dbr:Isomorphism dbr:Left_and_right_(algebra) dbr:Row_echelon_form dbr:Quotient_space_(linear_algebra) dbr:Range_of_a_function dbr:Rank_(linear_algebra) dbr:Ring_(mathematics) dbc:Abstract_algebra dbr:Kernel_(linear_algebra) dbr:Kernel_(matrix) dbr:Coimage dbr:Reduced_row_echelon_form dbr:Dot_product dbr:Plane_(mathematics) dbr:Free_module dbr:Inner_product_space dbr:Orthogonal_complement dbr:Real_coordinate_space dbr:Real_number dbr:Image_(mathematics) dbr:Four_fundamental_subspaces dbr:Linear_transformation dbr:Linearly_independent dbr:Examples_of_vector_spaces dbr:System_of_linear_equations dbr:Rank–nullity_theorem dbr:Elementary_row_operations dbr:Singular-value_decomposition dbr:Row_reduction dbr:Matrix_transformation dbr:Left_null_space dbr:Null_space dbr:Dimension_(linear_algebra) dbr:File:Matrix_Columns.svg dbr:File:Matrix_Rows.svg |
| dbp:date | November 2015 (en) |
| dbp:reason | This perspective is not covered on the SVD page. (en) |
| dbp:title | Column Space (en) Row Space (en) |
| dbp:urlname | ColumnSpace (en) RowSpace (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Aut dbt:Citation dbt:Clarify dbt:Main dbt:Math dbt:MathWorld dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Wikibooks dbt:Mset dbt:Linear_algebra |
| dct:subject | dbc:Matrices dbc:Linear_algebra dbc:Abstract_algebra |
| gold:hypernym | dbr:Set |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatMatrices yago:Abstraction100002137 yago:Arrangement107938773 yago:Array107939382 yago:Group100031264 yago:Matrix108267640 |
| rdfs:comment | 数学の線型代数学の分野における、ある行列の行空間（ぎょうくうかん、英: row space）とは、その行列の各行ベクトルの線型結合として起こり得るすべてのものからなる集合のことを言う。K を（実数や複素数の全体などのような）体とする。K に属する成分からなる m × n 行列の行空間は、n-空間 Kn の線型部分空間である。行空間の次元は、その行列の行ランクと呼ばれる。 整数の全体などのような環 K についての行列に対しても、同様の定義が存在する。 (ja) In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice con valori reali (o più in generale in un campo ) è il sottospazio di (o più in generale di ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di generato dalle colonne. Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di . Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi e . (it) Kolomruimte en rijruimte zijn beide termen uit de lineaire algebra, een tak van de wiskunde waarin met matrices gerekend wordt. Onder de kolomruimte van de -matrix verstaat men de deelruimte van die wordt voortgebracht door zijn kolommen. Onder de rijruimte van de -matrix verstaat men de deelruimte van die wordt voortgebracht door zijn rijen. De dimensie van de kolomruimte (rijruimte) is het aantal lineair onafhankelijke kolommen (rijen) van Zowel de dimensie van die rijruimte als van die kolomruimte is gelijk aan de rang van (nl) Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação para nos referirmos ao posto da matriz . (pt) Матриця задає лінійне відображення (оператор) з простору в простір . Рядки матриці A є елементами векторного простору , а стовпці — елементами . (uk) 矩阵的行空间和列空间均为特殊的子空间，均属矩阵的四大基本子空间之一。 (zh) Στην γραμμική άλγεβρα, ο χώρος στηλών ενός πίνακα Α είναι ο χώρος που παράγεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων στηλών του πίνακα. Ο χώρος στηλών ενός πίνακα είναι η εικόνα της αντίστοιχης γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα Α. Ας θεωρήσουμε το σώμα και τον πίνακα m γραμμών και n στηλών, με στοιχεία από το σώμα . Ο χώρος στηλών του είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του διανυσματικού χώρου . Η διάσταση του χώρου στηλών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα και είναι μικρότερος ή ίσος από min(m, n). Ο χώρος γραμμών του πίνακα ορίζεται παρόμοια. (el) En algèbre linéaire, l'espace colonne (aussi appelé espace des colonnes ou image) d'une matrice A est l'espace engendré par toutes les combinaisons linéaires de ses vecteurs colonne. L'espace colonne d'une matrice est l'image de l'application linéaire correspondante. Soit un corps. L'espace colonne d'une matrice de taille à éléments dans est un sous-espace vectoriel de . La dimension d'un espace colonne est appelé le rang d'une matrice et est au plus égal au minimum de et . Une définition des matrices sur un anneau est également possible. (fr) In linear algebra, the column space (also called the range or image) of a matrix A is the span (set of all possible linear combinations) of its column vectors. The column space of a matrix is the image or range of the corresponding matrix transformation. Let be a field. The column space of an m × n matrix with components from is a linear subspace of the m-space . The dimension of the column space is called the rank of the matrix and is at most min(m, n). A definition for matrices over a ring . The row space is defined similarly. (en) Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения. Пусть — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера с компонентами из является линейным подпространством координатного пространства . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит . Понятие также определено для матриц заданных над кольцом . Пространство строк определяется аналогично. (ru) |
| rdfs:label | Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών (el) Spazi delle righe e delle colonne (it) Espace colonne et espace des rangées (fr) 行空間 (ja) Kolom- en rijruimte (nl) Row and column spaces (en) Espaços linha e coluna (pt) Пространство столбцов (ru) 行空间与列空间 (zh) Простір стовпців (рядків) матриці (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Linear_algebra |
| owl:sameAs | freebase:Row and column spaces freebase:Row and column spaces freebase:Row and column spaces wikidata:Row and column spaces dbpedia-el:Row and column spaces dbpedia-fr:Row and column spaces dbpedia-it:Row and column spaces dbpedia-ja:Row and column spaces dbpedia-nl:Row and column spaces dbpedia-pt:Row and column spaces dbpedia-ru:Row and column spaces dbpedia-uk:Row and column spaces http://ur.dbpedia.org/resource/قطار_اور_ستون_فضا dbpedia-vi:Row and column spaces dbpedia-zh:Row and column spaces https://global.dbpedia.org/id/yHqh |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Row_and_column_spaces?oldid=1110902334&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Matrix_Columns.svg wiki-commons:Special:FilePath/Matrix_Rows.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Row_and_column_spaces |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Column_space dbr:Row_&_column_spaces dbr:Image_(matrix) dbr:Right_column_space dbr:Row_space dbr:Row_space_and_column_space dbr:Rowspace dbr:Range_of_a_matrix dbr:Left_row_space |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Column_groups_and_row_groups dbr:Column_space dbr:Linear_subspace dbr:Invertible_matrix dbr:Kernel_(linear_algebra) dbr:Tensor_(intrinsic_definition) dbr:Row_&_column_spaces dbr:Image_(matrix) dbr:Outline_of_linear_algebra dbr:Right_column_space dbr:Row_space dbr:Row_space_and_column_space dbr:Rowspace dbr:Range_of_a_matrix dbr:Left_row_space |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Row_and_column_spaces |
