Split-quaternion (original) (raw)
Kokwaterniony (ang. coquaternions, split-quaternions – kwaterniony rozdzielne) – grupa liczb hiperzespolonych o postaci przy czym oraz Podobnie jak kwaterniony Hamiltona kształtują czterowymiarową rzeczywistą przestrzeń wektorową wyposażoną w działanie mnożenia. W przeciwieństwie do nich zawierają nilpotenty, dzielniki zera i nietrywialne idempotenty. Jako struktura matematyczna tworzą algebrę nad liczbami rzeczywistymi. Kokwaterniony zostały wprowadzone przez w 1849 na łamach Philosophical Magazine.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In abstract algebra, the split-quaternions or coquaternions form an algebraic structure introduced by James Cockle in 1849 under the latter name. They form an associative algebra of dimension four over the real numbers. After introduction in the 20th century of coordinate-free definitions of rings and algebras, it has been proved that the algebra of split-quaternions is isomorphic to the ring of the 2×2 real matrices. So the study of split-quaternions can be reduced to the study of real matrices, and this may explain why there are few mentions of split-quaternions in the mathematical literature of the 20th and 21st centuries. (en) En mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton inventés en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents. L'ensemble forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont . Avec ces produits l'ensemble est isomorphe au groupe diédral d'un carré. Un coquaternion possède un conjugué et un module multiplicatif, qui se comporte en partie comme une norme (arithmétique) :. Lorsque le module est non nul, alors q possède un inverse. est l'ensemble des unités. L'ensemble P de tous les coquaternions forme un anneau (P, +, •) dont le groupe des unités est (U, •). Soit où u et v sont des nombres complexes ordinaires. Alors la matrice complexe , où et (conjugués complexes de u et v),représentent q dans l'anneau des matrices dans le sens que la multiplication des coquaternions se comporte de la même manière que la multiplication matricielle. Par exemple, le déterminant de cette matrice ; l'apparition de ce signe moins où se trouve un plus dans ℍ conduit au nom alternatif quaternion fendu pour un coquaternion, par analogie avec les complexes fendus.Historiquement, les coquaternions ont précédé l'algèbre des matrices de Cayley ; les coquaternions (dans le prolongement des quaternions et des tessarines) évoquent une algèbre linéaire plus large. (fr) Kokwaterniony (ang. coquaternions, split-quaternions – kwaterniony rozdzielne) – grupa liczb hiperzespolonych o postaci przy czym oraz Podobnie jak kwaterniony Hamiltona kształtują czterowymiarową rzeczywistą przestrzeń wektorową wyposażoną w działanie mnożenia. W przeciwieństwie do nich zawierają nilpotenty, dzielniki zera i nietrywialne idempotenty. Jako struktura matematyczna tworzą algebrę nad liczbami rzeczywistymi. Kokwaterniony zostały wprowadzone przez w 1849 na łamach Philosophical Magazine. (pl) 在抽象代数中，分裂四元数（split-quaternions）或反四元数（coquaternions）是一种四维的结合代数的元素，由在1849年引入，当时称为反四元数。 类似于汉密尔顿1843年引入的四元数 ，它们组成了一个四维的实向量空间,且有乘法运算。 与四元数不同，分裂四元数包含非平凡的零因子、幂零元和。（例如， 是幂等的零因子，而 是幂零元。)作为一种数学结构，分裂四元数形成了域代数，且与2 × 2的实矩阵同构。 集合 组成一个基。 这些元素的积由 ,,,,, 给出。因此。 由以上定义可得，集合在分裂四元数乘法的定义下是一个群，与二面体群同构，称为正方形的对称群。 分裂四元数的共轭。 由于其基向量的反交换性，分裂四元数与其共轭的积由其迷向二次型 给出。 给定两个反四元数和，有，意味着 是可合成的二次型。 其上的代数是一种合成代数， 是其范数。 任何满足，的反四元数q称为零向量（Null vector而非Zero vector)，它的存在意味着反四元数形成"分裂的合成代数"，因此反四元数也被称为分裂四元数。 当范数非零时，有倒数，即 . 集合 是单位元的集合。 全体分裂四元数的集合组成环 ，其单位群为。全体的分裂四元数组成一个非紧致的拓扑群 ，且与同构（见下）。 历史上讲，分裂四元数早于凯莱的矩阵代数；分裂四元数(及四元数和双复数)引发了对线性代数的深入研究。 (zh) Спліт-кватерніо́ни — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду (вперше описані у 1849 році), де — дійсні числа, — уявні одиниці, для яких виконується: — все як для тессарінів, тільки замість комутативності (що приводить до ), вимагається . З цього отримуємо антикомутативність: Дещо в іншій формі (із заміною k на -k) вони трапляються під назвою пара-кватерніони. * Спліт-кватерніон як і тессаріни можна записати у вигляді де— комплексні числа. * Кільце спліт-кватерніонів, на відміну від кватерніонів, містить дільники нуля, нільпотентні елементи й нетривіальні ідемпотентні елементи. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/HyperboloidOfTwoSheets.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.researchgate.net/publication/235591460_Rotations_with_unit_timelike_quaternions_in_Minkowski_3-space https://www.researchgate.net/publication/270760686_The_Roots_of_a_Split_Quaternion https://doi.org/10.1007%2Fs00006-008-0142-3 |
| dbo:wikiPageID | 1461265 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 20441 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1115768527 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Quaternion dbr:SU(1,1) dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Determinant dbr:Algebra_homomorphism dbr:Algebra_over_a_field dbr:Algebraic_structure dbr:Annals_of_Mathematics dbr:Hypercomplex_numbers dbr:Pauli_matrices dbr:Adrian_Albert dbr:Multiplicative_inverse dbr:Cofactor_matrix dbr:Complex_number dbr:Norm_(mathematics) dbr:Circle dbr:Function_(mathematics) dbr:Nilpotent dbr:String_theory dbr:Complex_conjugate dbr:Composition_algebra dbr:Zero_divisor dbr:Matrix_ring dbr:Trace_(linear_algebra) dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Dual_quaternion dbr:Linear_combination dbr:Quaternion_Society dbr:Alexander_Macfarlane dbc:Quaternions dbr:Dual_number dbc:Hyperbolic_geometry dbr:Noncommutative_ring dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Isomorphism dbr:Isotropic_quadratic_form dbr:Italic_type dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:International_Congress_of_Mathematicians dbr:Invertible_matrix dbr:Isomorphic dbr:James_Cockle dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_motion dbr:Associative_property dbr:Asymptote dbc:Special_relativity dbr:Abstract_algebra dbr:Advances_in_Applied_Clifford_Algebras dbc:Composition_algebras dbr:Split-octonion dbr:Split-biquaternion dbr:Differential_geometry dbr:Dihedral_group dbr:Disjoint_union dbr:Distributivity dbr:Associative_algebra dbr:Poincaré_disk_model dbr:Split-complex_number dbr:Real_vector_space dbr:Idempotent_element_(ring_theory) dbr:Imaginary_unit dbr:Real_matrix dbr:Real_number dbr:Roman_type dbr:Matrix_similarity dbr:Philosophical_Magazine dbr:Eva-Maria_Graefe dbr:Examples_of_groups dbr:James_Cockle_(lawyer) dbr:Circular_cone dbr:Subalgebra dbr:Brody,_Dorje_C. dbr:Set_complement dbr:L._E._Dickson dbr:Cramer_rule dbr:Hyperboloid_of_one_sheet dbr:Hyperboloid_of_two_sheets dbr:Algebra_isomorphism dbr:Commutative_algebra_(structure) dbr:Unital_associative_algebra dbr:Dimension_(linear_algebra) dbr:File:HyperboloidOfTwoSheets.svg dbr:File:HyperboloidOfOneSheet.PNG |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:Arxiv dbt:Confusing_section dbt:Doi dbt:Math dbt:Mvar dbt:Notable dbt:Pi dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Sup dbt:Unreferenced_section dbt:Multiple_issue dbt:Mset dbt:MR dbt:Number_systems |
| dct:subject | dbc:Quaternions dbc:Hyperbolic_geometry dbc:Special_relativity dbc:Composition_algebras |
| gold:hypernym | dbr:Elements |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Digit113741022 yago:Four113744304 yago:Integer113728499 yago:Measure100033615 yago:Number113582013 dbo:MilitaryUnit yago:WikicatQuaternions |
| rdfs:comment | Kokwaterniony (ang. coquaternions, split-quaternions – kwaterniony rozdzielne) – grupa liczb hiperzespolonych o postaci przy czym oraz Podobnie jak kwaterniony Hamiltona kształtują czterowymiarową rzeczywistą przestrzeń wektorową wyposażoną w działanie mnożenia. W przeciwieństwie do nich zawierają nilpotenty, dzielniki zera i nietrywialne idempotenty. Jako struktura matematyczna tworzą algebrę nad liczbami rzeczywistymi. Kokwaterniony zostały wprowadzone przez w 1849 na łamach Philosophical Magazine. (pl) 在抽象代数中，分裂四元数（split-quaternions）或反四元数（coquaternions）是一种四维的结合代数的元素，由在1849年引入，当时称为反四元数。 类似于汉密尔顿1843年引入的四元数 ，它们组成了一个四维的实向量空间,且有乘法运算。 与四元数不同，分裂四元数包含非平凡的零因子、幂零元和。（例如， 是幂等的零因子，而 是幂零元。)作为一种数学结构，分裂四元数形成了域代数，且与2 × 2的实矩阵同构。 集合 组成一个基。 这些元素的积由 ,,,,, 给出。因此。 由以上定义可得，集合在分裂四元数乘法的定义下是一个群，与二面体群同构，称为正方形的对称群。 分裂四元数的共轭。 由于其基向量的反交换性，分裂四元数与其共轭的积由其迷向二次型 给出。 给定两个反四元数和，有，意味着 是可合成的二次型。 其上的代数是一种合成代数， 是其范数。 任何满足，的反四元数q称为零向量（Null vector而非Zero vector)，它的存在意味着反四元数形成"分裂的合成代数"，因此反四元数也被称为分裂四元数。 当范数非零时，有倒数，即 . 集合 是单位元的集合。 全体分裂四元数的集合组成环 ，其单位群为。全体的分裂四元数组成一个非紧致的拓扑群 ，且与同构（见下）。 历史上讲，分裂四元数早于凯莱的矩阵代数；分裂四元数(及四元数和双复数)引发了对线性代数的深入研究。 (zh) Спліт-кватерніо́ни — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду (вперше описані у 1849 році), де — дійсні числа, — уявні одиниці, для яких виконується: — все як для тессарінів, тільки замість комутативності (що приводить до ), вимагається . З цього отримуємо антикомутативність: Дещо в іншій формі (із заміною k на -k) вони трапляються під назвою пара-кватерніони. * Спліт-кватерніон як і тессаріни можна записати у вигляді де— комплексні числа. * Кільце спліт-кватерніонів, на відміну від кватерніонів, містить дільники нуля, нільпотентні елементи й нетривіальні ідемпотентні елементи. (uk) En mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton inventés en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents. L'ensemble forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont . Avec ces produits l'ensemble est isomorphe au groupe diédral d'un carré. Un coquaternion possède un conjugué Soit , (fr) In abstract algebra, the split-quaternions or coquaternions form an algebraic structure introduced by James Cockle in 1849 under the latter name. They form an associative algebra of dimension four over the real numbers. (en) |
| rdfs:label | Coquaternion (fr) Kokwaterniony (pl) Split-quaternion (en) Спліт-кватерніони (uk) 分裂四元数 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Split-quaternion yago-res:Split-quaternion wikidata:Split-quaternion dbpedia-fr:Split-quaternion dbpedia-pl:Split-quaternion dbpedia-sl:Split-quaternion dbpedia-uk:Split-quaternion dbpedia-zh:Split-quaternion https://global.dbpedia.org/id/2nK6C |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Split-quaternion?oldid=1115768527&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/HyperboloidOfTwoSheets.svg wiki-commons:Special:FilePath/HyperboloidOfOneSheet.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Split-quaternion |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Coquaternion dbr:Coquaternions dbr:Split-quaternions dbr:Pseudoquaternion dbr:Para-quaternion dbr:Para-quaternions dbr:Paraquaternion dbr:Paraquaternions dbr:Split_quaternion |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quaternion dbr:Versor dbr:Index_of_physics_articles_(S) dbr:Quotient_ring dbr:Coquaternion dbr:Coquaternions dbr:SL2(R) dbr:Nilpotent dbr:Complex_conjugate dbr:Composition_algebra dbr:Idempotent_(ring_theory) dbr:Cayley–Dickson_construction dbr:Quaternion_group dbr:James_Cockle dbr:Hypercomplex_number dbr:Split-octonion dbr:Split-complex_number dbr:Split-quaternions dbr:Quaternion_algebra dbr:Pseudoquaternion dbr:Para-quaternion dbr:Para-quaternions dbr:Paraquaternion dbr:Paraquaternions dbr:Split_quaternion |
| is dbp:knownFor of | dbr:James_Cockle |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Split-quaternion |
