Pontryagin duality (original) (raw)
Die Pontrjagin-Dualität, benannt nach Lew Semjonowitsch Pontrjagin, ist ein mathematischer Begriff aus der harmonischen Analyse. Einer lokalkompakten abelschen Gruppe wird eine weitere lokalkompakte abelsche Gruppe als Dualgruppe zugeordnet, derart dass die Dualgruppe zur Dualgruppe wieder die Ausgangsgruppe ist. Diese Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der abstrakten Fourier-Transformation und der Strukturtheorie der lokalkompakten abelschen Gruppen.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, en particular en l'anàlisi harmònica i la teoria de grups topològics, la dualitat de Pontryagin explica les propietats generals de la transformada de Fourier. Posa en un context unificat un nombre d'observacions sobre funcions a la recta real o en grups abelians finits, vg. * Les funcions periòdiques convenientment regulars a la recta real tenen sèrie de Fourier i aquestes funcions es poden recuperar de la seva sèrie de Fourier; * Les funcions complex-valorades convenientment regulars a la recta real tenen transformació de Fourier que són també funcions en la recta real i, el mateix que les funcions periòdiques, aquestes funcions es poden recuperar de la seva transformació de Fourier, i * Les funcions complex-valorades en un grup abelià finit tenen transformació de Fourier discreta que són funcions en el , que és grup isomorf (no canònicament). Més encara qualsevol funció en un grup finit es pot recuperar de la seva transformació de Fourier discreta. La teoria, introduïda per Lev Pontryagin i combinada amb la mesura de Haar introduïda per John von Neumann, André Weil i altres depèn de la teoria del d'un grup abelià . (ca) Die Pontrjagin-Dualität, benannt nach Lew Semjonowitsch Pontrjagin, ist ein mathematischer Begriff aus der harmonischen Analyse. Einer lokalkompakten abelschen Gruppe wird eine weitere lokalkompakte abelsche Gruppe als Dualgruppe zugeordnet, derart dass die Dualgruppe zur Dualgruppe wieder die Ausgangsgruppe ist. Diese Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der abstrakten Fourier-Transformation und der Strukturtheorie der lokalkompakten abelschen Gruppen. (de) En matemáticas, en particular en el análisis armónico y la teoría de grupos topológicos, la dualidad de Pontriaguin explica las propiedades generales de la transformada de Fourier. Pone en un contexto unificado un número de observaciones sobre funciones en la recta real o en grupos abelianos finitos, vg. * Las funciones periódicas convenientemente regulares en la recta real tienen serie de Fourier y estas funciones se pueden recuperar de su serie de Fourier; * Las funciones complejo-valoradas convenientemente regulares en la recta real tienen transformación de Fourier que son también funciones en la recta real y, lo mismo que las funciones periódicas, estas funciones se pueden recuperar de su transformación de Fourier; y * las funciones complejo-valoradas en un grupo abeliano finito tienen transformación de Fourier discreta que son funciones en el , que es grupo isomorfo (no canónicamente). Más aún cualquier función en un grupo finito se puede recuperar de su transformación de Fourier discreta. La teoría, introducida por Lev Pontriaguin y combinada con la medida de Haar introducida por John von Neumann, André Weil y otros depende de la teoría del de un grupo abeliano localmente compacto. (es) En mathématiques, notamment en analyse harmonique et dans la théorie des groupes topologiques, la dualité de Pontriaguine explique les principales propriétés de la transformée de Fourier. Elle place dans un cadre plus général certaines observations à propos de fonctions définies sur ou sur un groupe abélien fini : * Les fonctions périodiques à valeurs complexes suffisamment régulières ont une série de Fourier et on peut les déduire de cette série; * Les fonctions à valeurs complexes suffisamment régulières ont une transformée de Fourier et, tout comme les fonctions périodiques, on peut les déduire de cette transformée ; * Les fonctions à valeurs complexes sur un groupe abélien fini ont une transformée de Fourier discrète définie sur le groupe dual, qui n'est pas canoniquement isomorphe au groupe de départ. De plus, toute fonction sur un groupe abélien fini peut être déduite de sa transformée de Fourier discrète (à homomorphisme près). La théorie, introduite par Lev Pontriaguine et combinée avec la mesure de Haar introduite par John von Neumann, André Weil et d'autres, dépend de la théorie du d'un groupe abélien localement compact. (fr) In mathematics, Pontryagin duality is a duality between locally compact abelian groups that allows generalizing Fourier transform to all such groups, which include the circle group (the multiplicative group of complex numbers of modulus one), the finite abelian groups (with the discrete topology), and the additive group of the integers (also with the discrete topology), the real numbers, and every finite dimensional vector space over the reals or a p-adic field. The Pontryagin dual of a locally compact abelian group is the locally compact abelian topological group formed by the continuous group homomorphisms from the group to the circle group with the operation of pointwise multiplication and the topology of uniform convergence on compact sets. The Pontryagin duality theorem establishes Pontryagin duality by stating that any locally compact abelian group is naturally isomorphic with its bidual (the dual of its dual). The Fourier inversion theorem is a special case of this theorem. The subject is named after Lev Pontryagin who laid down the foundations for the theory of locally compact abelian groups and their duality during his early mathematical works in 1934. Pontryagin's treatment relied on the groups being second-countable and either compact or discrete. This was improved to cover the general locally compact abelian groups by Egbert van Kampen in 1935 and André Weil in 1940. (en) 조화해석학과 위상군론에서 폰트랴긴 쌍대성(Понтрягин雙對性, 영어: Pontryagin duality)은 국소 콤팩트 아벨 군 사이의 쌍대성이다. 이는 일반적으로 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환이 다른 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수라는 사실에서 기인한다. (ko) 数学、殊に調和解析および位相群の理論においてポントリャーギン双対性（ポントリャーギンそうついせい、英語: Pontryagin duality）はフーリエ変換の一般的な性質を説明する。ポントリャーギン双対は実数直線あるいは有限アーベル群上の函数の、たとえば * 実数直線上の素性の良い複素数値周期函数はフーリエ級数展開を持ち、そのような函数はそのフーリエ展開から復元することができる。 * 実数直線上の素性の良い複素数値函数は、おなじく数直線上で定義される函数としてのフーリエ変換を持ち、周期函数におけると同様に、そのような函数はそのフーリエ変換から復元することができる。 * 有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）上の函数としての離散フーリエ変換を持ち、有限群上の任意の函数がその離散フーリエ変換から復元することができる。 といったようないくつかの話題を統一的にみることができる文脈に属する。この理論はレフ・ポントリャーギンによって導入され、フォン・ノイマンやヴェイユらの導入したハール測度の概念やそのほか局所コンパクトアーベル群のに関する理論などと結び付けられた。 (ja) In de harmonische analyse en de theorie van de topologische groepen, beide deelgebieden van de wiskunde, is pontryagin-dualiteit een dualiteit tussen locaal compacte abelse groepen waarop een gegeneraliseerde vorm van fouriertransformatie mogelijk is, en dergelijke groepen waaronder de cirkelgroep, de eindige abelse groepen en de optelgroepen van de gehele getrallen, de reële getallen en van elke eindigdimensionale vectorruimte daarover of over een p-adisch lichaam. Complexwaardige functies op een eindige abelse groep hebben discrete fouriertransformaties die functies zijn op de duale groep, wat een niet-kanonieke isomorfe groep is. Verder kan iedere functie op een eindige groep weer worden afgeleid uit haar discrete fouriertransformatie. De theorie werd geïntroduceerd door Lev Pontryagin en hangt, samen met de Haar-maat, geïntroduceerd door John von Neumann, André Weil en anderen, af van de theorie van de duale groep van een lokaal compacte abelse groep. (nl) Двойственность Понтрягина — обобщение преобразования Фурье на локально компактные абелевы группы. (ru) Na matemática, mais especificadamente na análise harmônica e na teoria dos grupos topológicos, a dualidade de Pontryagin explica as propriedades gerais da transformada de Fourrier em grupos abelianos locais, como os reais, os circulares, ou grupos cíclicos finitos. O teorema da dualidade de Pontryagina em si, afirma que grupos abelianos localmente compactos se identificam naturalmente com seu bi-dual. (pt) 在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如： * 實數線上夠「好」的複數值周期函數能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函數。 * 實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換；一如周期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。 * 有限阿貝爾群上的複數值函數有離散傅立葉變換，這是在上的函數。此外，也從離散傅立葉變換反推原函數。 此理論由龐特里亞金（Lev Pontryagin）首開，並結合了約翰·馮·諾伊曼與安德烈·韦伊的哈爾測度理論，它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。 (zh) Дуальність Понтрягіна — узагальнення перетворення Фур'є на локально компактні абелеві групи. (uk) |
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