Steinitz's theorem (original) (raw)
Der Satz von Steinitz, englisch Steinitz’s theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl dem Gebiet der Topologischen Graphentheorie als auch dem der Geometrischen Graphentheorie zuzurechnen ist. Der Satz geht zurück auf eine Veröffentlichung des Mathematikers Ernst Steinitz (1871–1928) aus dem Jahre 1916 und zählt zusammen mit dem eulerschen Polyedersatz, dem Satz von Kuratowski und dem Satz von Wagner zu den klassischen Ergebnissen der Graphentheorie über plättbare Graphen.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Satz von Steinitz, englisch Steinitz’s theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl dem Gebiet der Topologischen Graphentheorie als auch dem der Geometrischen Graphentheorie zuzurechnen ist. Der Satz geht zurück auf eine Veröffentlichung des Mathematikers Ernst Steinitz (1871–1928) aus dem Jahre 1916 und zählt zusammen mit dem eulerschen Polyedersatz, dem Satz von Kuratowski und dem Satz von Wagner zu den klassischen Ergebnissen der Graphentheorie über plättbare Graphen. (de) In polyhedral combinatorics, a branch of mathematics, Steinitz's theorem is a characterization of the undirected graphs formed by the edges and vertices of three-dimensional convex polyhedra: they are exactly the 3-vertex-connected planar graphs. That is, every convex polyhedron forms a 3-connected planar graph, and every 3-connected planar graph can be represented as the graph of a convex polyhedron. For this reason, the 3-connected planar graphs are also known as polyhedral graphs. This result provides a classification theorem for the three-dimensional convex polyhedra, something that is not known in higher dimensions. It provides a complete and purely combinatorial description of the graphs of these polyhedra, allowing other results on them, such as Eberhard's theorem on the realization of polyhedra with given types of faces, to be proven more easily, without reference to the geometry of these shapes. Additionally, it has been applied in graph drawing, as a way to construct three-dimensional visualizations of abstract graphs. Branko Grünbaum has called this theorem "the most important and deepest known result on 3-polytopes." The theorem appears in a 1922 publication of Ernst Steinitz, after whom it is named. It can be proven by mathematical induction (as Steinitz did), by finding the minimum-energy state of a two-dimensional spring system and lifting the result into three dimensions, or by using the circle packing theorem.Several extensions of the theorem are known, in which the polyhedron that realizes a given graph has additional constraints; for instance, every polyhedral graph is the graph of a convex polyhedron with integer coordinates, or the graph of a convex polyhedron all of whose edges are tangent to a common midsphere. (en) Теорема Штайница — это комбинаторное описание неориентированных графов, образованных рёбрами и вершинами трёхмерного выпуклого многогранника — они в точности являются (простыми) вершинно 3-связными планарными графами (по меньшей мере с четырьмя вершинами). То есть любой выпуклый многогранник образует 3-связный планарный граф, и любой 3-связный планарный граф может быть представлен как выпуклый многогранник. По этой причине 3-связные планарные графы называют также полиэдральными. Теорема Штайница названа именем Эрнста Штайница, который опубликовал первое доказательство этого результата в 1916 году. Бранко Грюнбаум назвал эту теорему «наиболее важным и глубочайшим результатом о 3-мерных многогранниках». Название «Теорема Штайница» также применимо к другим результатам Штайница: * — о том, что любой базис векторного пространства имеет одно и то же число векторов; * теорема, что если выпуклая оболочка множества точек содержит единичную сферу, то существует конечное подмножество точек, выпуклая оболочка которого содержит концентрическую сферу меньшего размера; * векторное обобщение Штайница теоремы Римана о перегруппировке условно сходящихся рядов. (ru) Теорема Штайніца — це комбінаторний опис неорієнтованих графів, утворених ребрами й вершинами тривимірного опуклого многогранника — вони точно є (простими) вершинно 3-зв'язними планарними графами (щонайменше з чотирма вершинами). Тобто будь-який опуклий многогранник утворює 3-зв'язний планарний граф, і будь-який 3-зв'язний планарний граф можна подати як опуклий многогранник. З цієї причини 3-зв'язні планарні графи називають також поліедральними. Теорему названо ім'ям , який опублікував перше доведення цього результату 1916 року. Бранко Ґрюнбаум назвав цю теорему «найважливішим і найглибшим результатом про тривимірні політопи». Назву «теорема Штайніца» також застосовують до інших результатів Штайніца: * лема Штайніца про заміщення — про те, що будь-який базис векторного простору має однакове число векторів; * теорема, що якщо опукла оболонка множини точок містить одиничну сферу, існує скінченна підмножина точок, опукла оболонка якої містить концентричну сферу меншого розміру; * векторне узагальнення Штайніца теореми Рімана про перегрупування умовно збіжних рядів. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Schegel_diagram_as_shadow.png?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 19762817 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 50228 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1106695822 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Projective_transformation dbr:Pyritohedron dbr:Branko_Grünbaum dbr:Apollonian_network dbr:Hooke's_law dbr:Horizon dbr:Paul_Koebe dbr:Regular_dodecahedron dbr:René_Descartes dbr:Cycle_(graph_theory) dbr:Undirected_graph dbr:Upper_bound dbr:Double_exponential_function dbr:Integral_polytope dbr:Line_segment dbc:Planar_graphs dbr:Complete_graph dbr:Mathematical_induction dbr:Ellipsoid_method dbr:Midsphere dbr:Symmetric_matrix dbc:Theorems_in_discrete_geometry dbr:Frustum dbr:Graph_minor dbc:Geometric_graph_theory dbr:Multiset dbr:Möbius_transformation dbr:NP-hard dbr:Convex_Polytopes dbr:Convex_body dbr:Convex_hull dbr:Convex_polytope dbr:Convex_position dbr:Corank dbr:Theodore_Motzkin dbr:Luigi_Cremona dbr:László_Lovász dbr:Complete_(complexity) dbr:Half-space_(geometry) dbr:Halin_graph dbr:Ideal_polyhedron dbr:Perles_configuration dbr:Polygon dbr:Tangent_circles dbr:Unit_sphere dbr:Pierre_Varignon dbr:Peripheral_cycle dbr:Tree_(graph_theory) dbr:W._T._Tutte dbr:Wheel_graph dbr:William_Rankine dbr:William_Thurston dbr:Dual_polyhedron dbr:Fáry's_theorem dbr:Circumsphere dbr:Lattice_(order) dbr:Linear_function dbr:Adjacency_matrix dbr:Császár_polyhedron dbr:Cut_(graph_theory) dbr:Dual_graph dbr:Edge_(graph_theory) dbr:Ernst_Steinitz dbr:Finite_set dbr:Balinski's_theorem dbc:Polyhedral_combinatorics dbr:Grade_(slope) dbr:Graph_automorphism dbr:Graph_drawing dbr:Right_angle dbc:Theorems_in_graph_theory dbr:Jakob_Steiner dbr:James_Clerk_Maxwell dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_space dbr:Parallel_projection dbr:Kernel_(linear_algebra) dbr:Colin_de_Verdière_graph_invariant dbr:Eberhard's_theorem dbr:Dihedral_angle dbr:Planar_graph dbr:Polyhedral_combinatorics dbr:Circle_packing_theorem dbr:Classification_theorem dbr:Convex_polyhedron dbr:Polynomial_time dbr:Necessity_and_sufficiency dbr:Unit_interval dbr:Schlegel_diagram dbr:Silhouette dbr:Straight_skeleton dbr:Vertex_(geometry) dbr:Vertex_(graph_theory) dbr:Euclidean_plane dbr:Prism_graph dbr:Existential_theory_of_the_reals dbr:Vertex_connectivity dbr:Stacked_polytope dbr:Polyhedral_graph dbr:Tutte_embedding dbr:Series–parallel_graph dbr:Insphere dbr:Y-Δ_transform dbr:Linear_program dbr:Grid_graph dbr:Skeleton_(topology) dbr:3-polytope dbr:Simplex_method dbr:Binary_notation dbr:File:Polyhedral_Delta-Y.svg dbr:File:Schegel_diagram_as_shadow.png dbr:File:Two_orthogonal_polyhedra.svg dbr:File:Midsphere.png dbr:File:Balinski.svg |
| dbp:caption | 259200.0 Equilibrium stress on the graph of a cube (en) |
| dbp:image | Equilibrium stress.svg (en) Lifted frustum.svg (en) |
| dbp:totalWidth | 600 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:About dbt:Good_article dbt:Harvtxt dbt:Multiple_image dbt:R dbt:Reflist dbt:Sfnp dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Planar_graphs dbc:Theorems_in_discrete_geometry dbc:Geometric_graph_theory dbc:Polyhedral_combinatorics dbc:Theorems_in_graph_theory |
| rdf:type | yago:WikicatTheoremsInDiscreteGeometry yago:WikicatTheoremsInGraphTheory yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Graph107000195 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 yago:VisualCommunication106873252 yago:WikicatPlanarGraphs |
| rdfs:comment | Der Satz von Steinitz, englisch Steinitz’s theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl dem Gebiet der Topologischen Graphentheorie als auch dem der Geometrischen Graphentheorie zuzurechnen ist. Der Satz geht zurück auf eine Veröffentlichung des Mathematikers Ernst Steinitz (1871–1928) aus dem Jahre 1916 und zählt zusammen mit dem eulerschen Polyedersatz, dem Satz von Kuratowski und dem Satz von Wagner zu den klassischen Ergebnissen der Graphentheorie über plättbare Graphen. (de) In polyhedral combinatorics, a branch of mathematics, Steinitz's theorem is a characterization of the undirected graphs formed by the edges and vertices of three-dimensional convex polyhedra: they are exactly the 3-vertex-connected planar graphs. That is, every convex polyhedron forms a 3-connected planar graph, and every 3-connected planar graph can be represented as the graph of a convex polyhedron. For this reason, the 3-connected planar graphs are also known as polyhedral graphs. (en) Теорема Штайница — это комбинаторное описание неориентированных графов, образованных рёбрами и вершинами трёхмерного выпуклого многогранника — они в точности являются (простыми) вершинно 3-связными планарными графами (по меньшей мере с четырьмя вершинами). То есть любой выпуклый многогранник образует 3-связный планарный граф, и любой 3-связный планарный граф может быть представлен как выпуклый многогранник. По этой причине 3-связные планарные графы называют также полиэдральными. Название «Теорема Штайница» также применимо к другим результатам Штайница: (ru) Теорема Штайніца — це комбінаторний опис неорієнтованих графів, утворених ребрами й вершинами тривимірного опуклого многогранника — вони точно є (простими) вершинно 3-зв'язними планарними графами (щонайменше з чотирма вершинами). Тобто будь-який опуклий многогранник утворює 3-зв'язний планарний граф, і будь-який 3-зв'язний планарний граф можна подати як опуклий многогранник. З цієї причини 3-зв'язні планарні графи називають також поліедральними. Назву «теорема Штайніца» також застосовують до інших результатів Штайніца: (uk) |
| rdfs:label | Satz von Steinitz (de) Steinitz's theorem (en) Теорема Штайница (ru) Теорема Штайніца (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Steinitz's theorem yago-res:Steinitz's theorem wikidata:Steinitz's theorem dbpedia-de:Steinitz's theorem dbpedia-ru:Steinitz's theorem dbpedia-uk:Steinitz's theorem https://global.dbpedia.org/id/4w4bW |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Steinitz's_theorem?oldid=1106695822&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Balinski.svg wiki-commons:Special:FilePath/Equilibrium_stress.svg wiki-commons:Special:FilePath/Lifted_frustum.svg wiki-commons:Special:FilePath/Polyhedral_Delta-Y.svg wiki-commons:Special:FilePath/Schegel_diagram_as_shadow.png wiki-commons:Special:FilePath/Two_orthogonal_polyhedra.svg wiki-commons:Special:FilePath/Midsphere.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Steinitz's_theorem |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Steinitz's_theorem_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Steinitz'_theorem dbr:Steinitz_Theorem dbr:Steinitz_theorem dbr:Skeletal_regular_polyhedra dbr:Skeletal_regular_polyhedron |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:1922_in_science dbr:Barnette's_conjecture dbr:Apollonian_network dbr:List_of_geometers dbr:Polyhedron dbr:Conway_polyhedron_notation dbr:Geometric_Folding_Algorithms dbr:Geometric_graph_theory dbr:Convex_Polytopes dbr:Convex_polytope dbr:Simplicial_sphere dbr:Halin_graph dbr:Ideal_polyhedron dbr:Perles_configuration dbr:Steinitz's_theorem_(disambiguation) dbr:Fáry's_theorem dbr:K-vertex-connected_graph dbr:Dual_graph dbr:Ernst_Steinitz dbr:Balinski's_theorem dbr:Goldner–Harary_graph dbr:Rectification_(geometry) dbr:Bidiakis_cube dbr:Edge_(geometry) dbr:Herschel_graph dbr:Planar_graph dbr:Polyhedral_combinatorics dbr:Greedy_embedding dbr:Straight_skeleton dbr:Existential_theory_of_the_reals dbr:Nested_triangles_graph dbr:Polyhedral_graph dbr:Tutte_embedding dbr:Simplicial_polytope dbr:Steinitz'_theorem dbr:Steinitz_Theorem dbr:Steinitz_theorem dbr:Skeletal_regular_polyhedra dbr:Skeletal_regular_polyhedron |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Steinitz's_theorem |
