Bivector (original) (raw)
In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form mit Vektoren . Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra eines Vektorraums . Dabei ist * und insbesondere , * , * für Körperelemente . Aus für Vektoren und Körperelemente folgt . Falls Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms. Für kann man jeden Bivektor als mit zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Στα μαθηματικά, δυοδιάνυσμα ή 2-διάνυσμα είναι μια ποσότητα στην εξωτερική άλγεβρα ή στην γεωμετρική άλγεβρα η οποία επεκτείνει την ιδέα των βαθμωτών και των διανυσμάτων. Αν ένα κλιμακωτό θεωρείται ως τάξη μηδενικής ποσότητας,και ένα διάνυσμα είναι τάξη πρώτης ποσότητας,τότε ένα 2-διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί σαν να είναι δεύτερης τάξης. Τα 2-διάνυσμα έχουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Συσχετίζονται με μιγαδικούς αριθμούς σε δυο διαστάσεις και και τετραδόνια σε τρεις διαστάσεις. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν περιστροφές σε κάθε διάσταση, και είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την ταξινόμηση κάθε περιστροφής. Χρησιμοποιούνται επίσης στη φυσική, δένοντας έναν αριθμό από διαφορετικές (άσχετες) ποσότητες. Τα 2-διανύσματα δημιουργούνται από το εξωτερικό γινόμενο σε διανύσματα: δίνεται δύο διανύσματα α και β, το εξωτερικό τους προϊόν α ∧ β είναι μια bivector, όπως είναι το άθροισμα του κάθε 2-διανύσματα. Όχι όλα τα 2-διανύσματα μπορούν να παραχθούν ως μοναδικό εξωτερικό γινόμενο. Πιο συγκεκριμένα, μια bivector που μπορεί να εκφραστεί ως ένα εξωτερικό γινόμενο ονομάζεται απλή: σε τρεις διαστάσεις όλα τα 2-διανύσματα είναι απλά, αλλά σε περισσότερες διαστάσεις αυτό δεν συμβαίνει. Το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό , έτσι το α ∧ β μια είναι η άρνηση του 2-διάνυσμα α ∧ β, που παράγουν τον αντίθετο προσανατολισμό, καθώς και το α ∧ α είναι το μηδενικό 2-διάνυσμα. Γεωμετρικά, ένα απλό 2-διάνυσμα μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα προσανατολισμένο επίπεδο τμήμα, ως διανύσματα μπορούν να θεωρηθούν ως κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα. Η 2-διάνυσμα α ∧ β έχει μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου με τα άκρα Α και Β, έχει τη στάση του επιπέδου που εκτείνεται από α και β, και έχει προσανατολισμό τέτοιο ώστε με τη περιστροφή να ευθυγραμμιστούν το α με το β. (el) In mathematics, a bivector or 2-vector is a quantity in exterior algebra or geometric algebra that extends the idea of scalars and vectors. If a scalar is considered a degree-zero quantity, and a vector is a degree-one quantity, then a bivector can be thought of as being of degree two. Bivectors have applications in many areas of mathematics and physics. They are related to complex numbers in two dimensions and to both pseudovectors and quaternions in three dimensions. They can be used to generate rotations in any number of dimensions, and are a useful tool for classifying such rotations. They are also used in physics, tying together a number of otherwise unrelated quantities. Bivectors are generated by the exterior product on vectors: given two vectors a and b, their exterior product a ∧ b is a bivector, as is the sum of any bivectors. Not all bivectors can be generated as a single exterior product. More precisely, a bivector that can be expressed as an exterior product is called simple; in up to three dimensions all bivectors are simple, but in higher dimensions this is not the case. The exterior product of two vectors is alternating, so b ∧ a is the negation of the bivector a ∧ b, producing the opposite orientation, and a ∧ a is the zero bivector. Geometrically, a simple bivector can be interpreted as an oriented plane segment, much as vectors can be thought of as directed line segments. The bivector a ∧ b has a magnitude equal to the area of the parallelogram with edges a and b, has the attitude of the plane spanned by a and b, and has orientation being the sense of the rotation that would align a with b. In layman terms, any surface is the same bivector, if it has the same area, same orientation, and is parallel to the same plane (see figure). (en) In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form mit Vektoren . Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra eines Vektorraums . Dabei ist * und insbesondere , * , * für Körperelemente . Aus für Vektoren und Körperelemente folgt . Falls Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms. Für kann man jeden Bivektor als mit zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden. (de) En matemáticas, un bivector o 2-vector es una cantidad en álgebra exterior o álgebra geométrica que amplía la idea de escalares y vectores. Si un escalar se considera una cantidad de orden cero, y un vector es una cantidad de orden uno, entonces se puede considerar que un bivector es de orden dos. Los bivectores tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y la física. Están relacionados con los números complejos en dos dimensiones y con los vectores axiales y los cuaterniones en tres dimensiones. Se pueden usar para generar rotaciones en cualquier número de dimensiones, y son una herramienta útil para clasificar tales rotaciones. También se utilizan en física, uniendo varias cantidades no relacionables de otra manera. El producto exterior aplicado sobre los vectores genera bivectores: dados dos vectores a y b, su producto exterior a ∧ b es un bivector, al igual que la suma de cualquier bivector. No todos los bivectores se pueden generar como un solo producto exterior. Más precisamente, un bivector que se puede expresar como un producto exterior se llama simple. En hasta tres dimensiones, todos los bivectores son simples, pero en dimensiones superiores no es así. El producto exterior de dos vectores es anticonmutativo y , por lo que b ∧ a es el opuesto del bivector a ∧ b, que produce la orientación opuesta, y a ∧ a es el bivector cero. Geométricamente, un bivector simple se puede interpretar como un sector plano orientado, de forma análoga a pensar en un vector como un segmento con una dirección dada. El bivector a ∧ b tiene una magnitud igual al área del paralelogramo con lados a y b; tiene la colocación del plano que abarca a y b; y tiene el sentido de la rotación que alinearía a con b. En términos simples, cualquier superficie se asimila al mismo bivector si tiene la misma área, la misma orientación y es paralela al mismo plano (véase la figura). (es) En algèbre, le terme de bivecteur désigne un tenseur antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantité X pouvant s'écrire , où les quantités ωa sont des formes linéaires et le signe désigne le produit extérieur. Un bivecteur peut être vu comme une application linéaire agissant sur les vecteurs et les transformant en formes linéaires. Les coefficients Xab peuvent être vus comme formant une matrice antisymétrique. Les bivecteurs sont abondamment utilisés en relativité générale, où plusieurs tenseurs peuvent être reliés à des bivecteurs. En particulier, le tenseur électromagnétique est un bivecteur, et le tenseur de Weyl peut être vu comme une application agissant sur les bivecteurs. Ce fait est d'ailleurs à l'origine d'une classification des différents espaces en fonction des caractéristiques que présente leur tenseur de Weyl dans ce contexte : il s'agit de la . (fr) Inom matematiken är en bivektor eller 2-vektor en kvantitet inom yttre algebra eller geometrisk algebra som utökar idén om skalärer och vektorer. Om en skalär anses vara en kvantitet av ordning noll och en vektor av ordning ett, kan en bivektor anses vara av ordning två. Bivektorer har tillämpningar inom många områden av matematik och fysik. De är relaterade till komplexa tal i två dimensioner och till både pseudovektorer och kvaternioner i tre dimensioner. De kan användas för att generera rotationer i valfritt antal dimensioner och är ett användbart verktyg för att klassificera sådana rotationer. De används också inom fysiken och binder samman ett antal orelaterade mängder. Bivektorer genereras av den yttre produkten på vektorer: givet två vektorer a och b, är deras yttre produkt en bivektor a ∧ b, liksom varje summa av bivektorer. Inte alla bivektorer kan genereras som en enda yttre produkt. Mer exakt kallas en bivektor som kan uttryckas som en yttre produkt enkel; i upp till tre dimensioner är alla bivektorer enkla, men för högre dimensioner är detta inte fallet. Bivektorn b ∧ a är negationen av bivektorn a ∧ b, vilket ger motsatt orientering och en bivektor a ∧ a är nollbivektorn. Segment av parallella plan med samma orientering och area motsvarar samma bivektor a ∧ b.En enkel bivektor kan geometriskt tolkas som ett orienterat plant areasegment, på liknande sätt som vektorer kan anses vara riktade linjesegment. Bivektorn a ∧ b har en magnitud lika med storleken av det område i parallellogrammen med sidorna a och b, som spänns upp av a och b och vars orientering är den rotation som skulle få a att sammanfalla med b.I lekmannatermer är varje yta samma bivektor om den har samma area, samma orientering och är parallell med ett givet plan. (sv) 在幾何中，以一般化的觀點來說，标量是零維的幾何量，向量是一維的有向幾何量，依此類推，我們可以有二維的有向幾何量。中的外代數（exterior algebra）採用了這個一般化的觀點定義了二重向量（bivector）。一個二重向量亦即二維的有向幾何量，它是一個有向面積。 二重向量是使用外積（exterior product）來產生的：令 a 與 b 為向量，它們的外積 a ∧ b 即為一個二重向量，代表由 a 與 b 圍成的平行四邊形面積，其方向為 a 到 b 的時針方向。所以，外積是反對稱的，a ∧ b 的方向恰與 b ∧ a 相反。另外，a ∧ a 是一個「零二重向量」。 有時候，三維的二重向量被拿來當作一種偽向量。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Wedge_product.jpg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books%3Fid=-1-zRTeCXwgC&pg=PA31 https://books.google.com/books%3Fid=kOsybQWDK4oC https://books.google.com/books%3Fid=nZ6MsVIdt88C&pg=PA11 |
| dbo:wikiPageID | 884040 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 64846 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124681386 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Cartesian_coordinate_system dbr:Princeton_University_Press dbr:Prism_(geometry) dbr:Projective_geometry dbr:Pythagorean_trigonometric_identity dbr:Quaternion dbr:Rotation_matrix dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Electromagnetic_four-potential dbr:Euclidean_metric dbr:David_Hestenes dbr:Determinant dbc:Clifford_algebras dbc:Geometric_algebra dbr:Josiah_Willard_Gibbs dbr:Characteristic_polynomial dbr:Vector_space dbr:Del dbr:Dyadics dbr:Line_segment dbr:Pseudovector dbr:Quaternions dbr:Commutative dbr:Commutator dbr:Complex_number dbr:Complex_numbers dbr:Cross_product dbr:Mathematics dbr:Maxwell's_equations dbr:SO(4) dbr:Norm_(mathematics) dbr:Orientation_(geometry) dbr:Orthonormal dbr:Clifford_algebra dbr:Clockwise_and_counterclockwise dbr:Edwin_Bidwell_Wilson dbr:Eigenvalue dbr:Electric_field dbr:Electromagnetic_tensor dbr:Fundamental_theorem_of_algebra dbr:Geometric_algebra dbr:Gradient dbr:Minkowski_metric dbr:Multilinear_algebra dbr:Hodge_dual dbr:Angle dbr:Angular_momentum dbr:Anticommutative dbr:Alternatization dbr:Lie_algebra dbr:Lorentz_group dbr:Lorentz_transformation dbr:Magnetic_field dbr:Six-dimensional_space dbr:Standard_basis dbr:Physics dbr:Plane_(geometry) dbr:Spin_group dbr:Torque dbr:Axis–angle_representation dbr:Triangular_number dbr:William_Kingdon_Clifford dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Linear_subspace dbr:Curl_(mathematics) dbr:Current_density dbr:Alternating_multilinear_map dbc:Multilinear_algebra dbr:Euclidean_space dbr:Euclidean_vector dbr:Euler's_formula dbr:Exponential_function dbr:Exterior_algebra dbr:Force dbr:Angle_of_rotation dbr:Angular_velocity_tensor dbr:Differential_operator dbr:Double_covering_group dbr:Quadratic_form dbr:Triple_product dbr:Henry_Forder dbr:Hermann_Grassmann dbr:Isomorphic dbr:Taylor_series dbr:Tensor dbr:Area dbr:Associativity dbc:Tensors dbc:Vector_calculus dbr:Charge_density dbr:Law_of_cosines dbr:Biquaternion dbr:Bivector_(complex) dbr:Blade_(geometry) dbr:Time_in_physics dbr:Vector_algebra dbr:Distributivity dbr:Divergence dbr:Dot_product dbr:Plane_of_rotation dbr:Positive-definite dbr:Spacetime dbr:Speed_of_light dbr:Classification_of_Clifford_algebras dbr:Pseudoscalar_(Clifford_algebra) dbr:Imaginary_unit dbr:Metric_tensor dbr:Oliver_Heaviside dbr:Orthogonal_complement dbr:Orthogonal_matrix dbr:Real_number dbr:Real_projective_space dbr:Vector_calculus dbr:Unit_vector dbr:Magnitude_(mathematics) dbr:Rotation_(mathematics) dbr:Rotor_(mathematics) dbr:Metric_signature dbr:Pseudoscalar dbr:Skew-symmetric_matrix dbr:Euclidean_distance dbr:Exterior_product dbr:Parallelogram dbr:Five-dimensional_space dbr:Multivector dbr:Vector_Analysis dbr:Seven-dimensional_space dbr:Subalgebra dbr:Axial_vector dbr:Axis_of_rotation dbr:Linear_momentum dbr:Basis_vectors dbr:Eigenvalues dbr:Attitude_(geometry) dbr:4-current dbr:Three_dimensions dbr:Surface_normal dbr:File:Tesseract.gif dbr:File:Angular_momentum_bivector_and_pseudovector.svg dbr:File:Torque_animation.gif dbr:File:Bivector_Sum.svg dbr:File:Exterior_calc_cross_product.svg dbr:File:Wedge_product.JPG |
| dbp:b | 3 (xsd:integer) n (en) |
| dbp:date | January 2016 (en) |
| dbp:ifJ | A ∧ B = 0, you can't invert it! (en) |
| dbp:lh | 1 (xsd:integer) |
| dbp:p | + (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:Cite_book dbt:Clarify dbt:Overline dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Wiktionary dbt:Su dbt:Paragraph dbt:Abs dbt:Linear_algebra |
| dct:subject | dbc:Clifford_algebras dbc:Geometric_algebra dbc:Multilinear_algebra dbc:Tensors dbc:Vector_calculus |
| gold:hypernym | dbr:Quantity |
| rdf:type | yago:WikicatBilinearForms yago:WikicatCliffordAlgebras yago:WikicatTensors yago:Abstraction100002137 yago:Algebra106012726 yago:Cognition100023271 yago:Concept105835747 yago:Content105809192 yago:Discipline105996646 yago:Form106290637 yago:Idea105833840 yago:KnowledgeDomain105999266 yago:LanguageUnit106284225 yago:Mathematics106000644 yago:Part113809207 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:PureMathematics106003682 yago:Quantity105855125 yago:Relation100031921 yago:Word106286395 yago:Science105999797 yago:Tensor105864481 yago:Variable105857459 |
| rdfs:comment | In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form mit Vektoren . Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra eines Vektorraums . Dabei ist * und insbesondere , * , * für Körperelemente . Aus für Vektoren und Körperelemente folgt . Falls Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms. Für kann man jeden Bivektor als mit zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden. (de) 在幾何中，以一般化的觀點來說，标量是零維的幾何量，向量是一維的有向幾何量，依此類推，我們可以有二維的有向幾何量。中的外代數（exterior algebra）採用了這個一般化的觀點定義了二重向量（bivector）。一個二重向量亦即二維的有向幾何量，它是一個有向面積。 二重向量是使用外積（exterior product）來產生的：令 a 與 b 為向量，它們的外積 a ∧ b 即為一個二重向量，代表由 a 與 b 圍成的平行四邊形面積，其方向為 a 到 b 的時針方向。所以，外積是反對稱的，a ∧ b 的方向恰與 b ∧ a 相反。另外，a ∧ a 是一個「零二重向量」。 有時候，三維的二重向量被拿來當作一種偽向量。 (zh) Στα μαθηματικά, δυοδιάνυσμα ή 2-διάνυσμα είναι μια ποσότητα στην εξωτερική άλγεβρα ή στην γεωμετρική άλγεβρα η οποία επεκτείνει την ιδέα των βαθμωτών και των διανυσμάτων. Αν ένα κλιμακωτό θεωρείται ως τάξη μηδενικής ποσότητας,και ένα διάνυσμα είναι τάξη πρώτης ποσότητας,τότε ένα 2-διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί σαν να είναι δεύτερης τάξης. Τα 2-διάνυσμα έχουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Συσχετίζονται με μιγαδικούς αριθμούς σε δυο διαστάσεις και και τετραδόνια σε τρεις διαστάσεις. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν περιστροφές σε κάθε διάσταση, και είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την ταξινόμηση κάθε περιστροφής. Χρησιμοποιούνται επίσης στη φυσική, δένοντας έναν αριθμό από διαφορετικές (άσχετες) ποσότητες. (el) In mathematics, a bivector or 2-vector is a quantity in exterior algebra or geometric algebra that extends the idea of scalars and vectors. If a scalar is considered a degree-zero quantity, and a vector is a degree-one quantity, then a bivector can be thought of as being of degree two. Bivectors have applications in many areas of mathematics and physics. They are related to complex numbers in two dimensions and to both pseudovectors and quaternions in three dimensions. They can be used to generate rotations in any number of dimensions, and are a useful tool for classifying such rotations. They are also used in physics, tying together a number of otherwise unrelated quantities. (en) En matemáticas, un bivector o 2-vector es una cantidad en álgebra exterior o álgebra geométrica que amplía la idea de escalares y vectores. Si un escalar se considera una cantidad de orden cero, y un vector es una cantidad de orden uno, entonces se puede considerar que un bivector es de orden dos. En términos simples, cualquier superficie se asimila al mismo bivector si tiene la misma área, la misma orientación y es paralela al mismo plano (véase la figura). (es) En algèbre, le terme de bivecteur désigne un tenseur antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantité X pouvant s'écrire , où les quantités ωa sont des formes linéaires et le signe désigne le produit extérieur. Un bivecteur peut être vu comme une application linéaire agissant sur les vecteurs et les transformant en formes linéaires. Les coefficients Xab peuvent être vus comme formant une matrice antisymétrique. (fr) Inom matematiken är en bivektor eller 2-vektor en kvantitet inom yttre algebra eller geometrisk algebra som utökar idén om skalärer och vektorer. Om en skalär anses vara en kvantitet av ordning noll och en vektor av ordning ett, kan en bivektor anses vara av ordning två. Bivektorer har tillämpningar inom många områden av matematik och fysik. De är relaterade till komplexa tal i två dimensioner och till både pseudovektorer och kvaternioner i tre dimensioner. De kan användas för att generera rotationer i valfritt antal dimensioner och är ett användbart verktyg för att klassificera sådana rotationer. De används också inom fysiken och binder samman ett antal orelaterade mängder. (sv) |
| rdfs:label | Bivektor (de) 2-διάνυσμα (el) Bivector (es) Bivector (en) Bivecteur (fr) Bivektor (sv) 二重向量 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Bivector yago-res:Bivector wikidata:Bivector dbpedia-de:Bivector dbpedia-el:Bivector dbpedia-es:Bivector dbpedia-fr:Bivector dbpedia-sl:Bivector dbpedia-sv:Bivector dbpedia-zh:Bivector https://global.dbpedia.org/id/4qw9g |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Bivector?oldid=1124681386&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Angular_momentum_bivector_and_pseudovector.svg wiki-commons:Special:FilePath/Torque_animation.gif wiki-commons:Special:FilePath/Exterior_calc_cross_product.svg wiki-commons:Special:FilePath/Bivector_Sum.svg wiki-commons:Special:FilePath/Tesseract.gif wiki-commons:Special:FilePath/Wedge_product.jpg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Bivector |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Rotation_bivector dbr:2-vector_space dbr:Bivectors |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Proper_reference_frame_(flat_spacetime) dbr:Quaternion dbr:Rotation_formalisms_in_three_dimensions dbr:David_Hestenes dbr:Determinant dbr:Hodge_star_operator dbr:Relativistic_angular_momentum dbr:Relativistic_quantum_mechanics dbr:Rhombus dbr:Curvature_invariant dbr:De_Gua's_theorem dbr:Dyadics dbr:Index_of_physics_articles_(B) dbr:Invariant_decomposition dbr:Relativistic_mechanics dbr:Pseudovector dbr:Vector_area dbr:Cross_product dbr:Geometrized_unit_system dbr:Orientation_(vector_space) dbr:Geometric_algebra dbr:Givens_rotation dbr:André_Lichnerowicz dbr:Angular_momentum dbr:Six-dimensional_space dbr:Comparison_of_vector_algebra_and_geometric_algebra dbr:Cauchy's_integral_formula dbr:Dual_quaternion dbr:Curl_(mathematics) dbr:Euclidean_vector dbr:Exterior_algebra dbr:Four-dimensional_space dbr:Seven-dimensional_cross_product dbr:Triple_product dbr:Gödel_metric dbr:Hermann_Grassmann dbr:Tensor dbr:Petrov_classification dbr:Blade_(geometry) dbr:Eigenplane dbr:Plane_of_rotation dbr:Classical_electromagnetism_and_special_relativity dbr:Classification_of_electromagnetic_fields dbr:Octonion dbr:Vector_calculus dbr:Rotation_(mathematics) dbr:Skew-symmetric_matrix dbr:Universal_geometric_algebra dbr:Pp-wave_spacetime dbr:Multivector dbr:Spacetime_algebra dbr:Two-vector dbr:Rotation_bivector dbr:2-vector_space dbr:Bivectors |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Bivector |
