Hodge star operator (original) (raw)
Der Hodge-Stern-Operator oder kurz Hodge-Operator ist ein Objekt aus der Differentialgeometrie. Er wurde von dem britischen Mathematiker William Vallance Douglas Hodge eingeführt. Der Operator ist ein Isomorphismus, welcher auf der äußeren Algebra eines endlichdimensionalen Prähilbertraums operiert oder allgemeiner auf dem Raum der Differentialformen.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Hodge-Stern-Operator oder kurz Hodge-Operator ist ein Objekt aus der Differentialgeometrie. Er wurde von dem britischen Mathematiker William Vallance Douglas Hodge eingeführt. Der Operator ist ein Isomorphismus, welcher auf der äußeren Algebra eines endlichdimensionalen Prähilbertraums operiert oder allgemeiner auf dem Raum der Differentialformen. (de) In mathematics, the Hodge star operator or Hodge star is a linear map defined on the exterior algebra of a finite-dimensional oriented vector space endowed with a nondegenerate symmetric bilinear form. Applying the operator to an element of the algebra produces the Hodge dual of the element. This map was introduced by W. V. D. Hodge. For example, in an oriented 3-dimensional Euclidean space, an oriented plane can be represented by the exterior product of two basis vectors, and its Hodge dual is the normal vector given by their cross product; conversely, any vector is dual to the oriented plane perpendicular to it, endowed with a suitable bivector. Generalizing this to an n-dimensional vector space, the Hodge star is a one-to-one mapping of k-vectors to (n – k)-vectors; the dimensions of these spaces are the binomial coefficients . The naturalness of the star operator means it can play a role in differential geometry, when applied to the cotangent bundle of a pseudo-Riemannian manifold, and hence to differential k-forms. This allows the definition of the codifferential as the Hodge adjoint of the exterior derivative, leading to the Laplace–de Rham operator. This generalizes the case of 3-dimensional Euclidean space, in which divergence of a vector field may be realized as the codifferential opposite to the gradient operator, and the Laplace operator on a function is the divergence of its gradient. An important application is the Hodge decomposition of differential forms on a closed Riemannian manifold. (en) En algèbre linéaire, l'opérateur de Hodge, introduit par William Vallance Douglas Hodge, est un opérateur sur l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l'élément auquel l'opérateur est appliqué. On parle ainsi d'étoile de Hodge. Si la dimension de l'espace est n, l'opérateur établit une correspondance entre les k-vecteurs et les (n-k)-vecteurs, appelée dualité de Hodge. En géométrie différentielle, l'opérateur de Hodge peut être étendu aux fibrés vectoriels riemanniens orientés. Appliqué à l'espace cotangent des variétés riemanniennes orientées, l'opérateur de Hodge permet de définir une norme L2 sur l'espace des formes différentielles. La codifférentielle se définit alors comme l'adjoint forme de la dérivée extérieure. Cette codifférentielle intervient notamment dans la définition des . (fr) En matemáticas, el operador estrella de Hodge en el espacio vectorial V es un operador lineal en el álgebra exterior de V, intercambiando los subespacios de k-vectores y el de n−k-vectores donde n = dim V, para 0 ≤ k ≤ n. (es) In algebra lineare, l'operatore di Hodge o stella di Hodge, introdotto da William Vallance Douglas Hodge, è un operatore sull'algebra esterna di uno spazio vettoriale euclideo orientato . Di solito è indicato da un asterisco o da una stella che precede l'elemento a cui è applicato. Se la dimensione dello spazio è n, l'operatore lega k-vettori con (n − k)-vettori: questa corrispondenza è detta dualità di Hodge. Il duale di Hodge di un vettore è il vettore ottenuto dall'applicazione dell'operatore di Hodge. In geometria differenziale, l'operatore di Hodge può essere esteso a fibrati vettoriali riemanniani orientati. Applicato allo spazio cotangente delle varietà riemannane orientate, l'operatore di Hodge permette di definire una norma L2 sullo spazio delle forme differenziali. Il codifferenziale è quindi definito come la forma aggiunta della derivata esterna . Questo codifferenziale interviene in particolare nella definizione delle forme armoniche. (it) 미분기하학에서 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표. 호지 별표(Hodge star)로도 부른다. (ko) 数学において、ホッジスター作用素(ホッジスターさようそ、Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対(ホッジそうつい、Hodge dual)は、ウィリアム・ホッジにより導入された線型写像である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義されるk -ベクトルのなす空間からn-k-ベクトルのなす空間への線形同型である。 他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドルへの作用に拡張することができる。たとえば余接束の外積代数（すなわち、多様体上の微分形式の空間）に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス＝ド・ラーム作用素を定義し、コンパクトなリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解を導くことができる。 (ja) Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q. Этот оператор был введён Вильямом Ходжем. (ru) 数学中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇对偶（Hodge dual）由苏格兰数学家威廉·霍奇（Hodge）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。 (zh) Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір (n—q)-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q-форм і q-векторів, тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q. Цей оператор був введений Вільямом Годжем. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://sites.science.oregonstate.edu/~tevian/onid/Courses/MTH434/2009/dual.pdf |
| dbo:wikiPageID | 310914 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 38108 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124855502 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Normal_vector dbr:Binomial_coefficient dbr:De_Rham_cohomology dbr:Degenerate_bilinear_form dbr:Determinant dbr:Holomorphic dbr:Vector_field dbr:Vector_space dbr:Volume_form dbr:Pseudotensor dbr:Cross_product dbr:Mathematics dbr:Matrix_exponential dbr:Maxwell's_equations dbr:Low-dimensional_topology dbr:Natural_transformation dbr:Orientation_(vector_space) dbr:Transpose_of_a_linear_map dbr:Christoffel_symbols dbc:Duality_theories dbr:Einstein_notation dbr:Endomorphism dbr:Gradient dbr:Gramian_matrix dbr:Orthogonality dbc:Differential_forms dbr:Levi-Civita_symbol dbr:Lie_algebra dbr:Sobolev_space dbr:Closed_manifold dbr:Orthonormal_basis dbr:Parity_of_a_permutation dbr:Cauchy–Riemann_equations dbr:Topological_vector_space dbr:W._V._D._Hodge dbr:Linear_map dbr:Poincaré_duality dbr:3D_rotation_group dbr:Curl_(mathematics) dbr:Dual_space dbr:Euclidean_space dbr:Exterior_algebra dbr:Exterior_derivative dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Isomorphism dbr:Pseudo-Riemannian_manifold dbr:Riemannian_manifold dbr:Heat_equation dbr:Involution_(mathematics) dbr:Isometry dbr:Cotangent_space dbr:Tensor_product dbc:Riemannian_geometry dbr:Charles_W._Misner dbr:Chirality_(physics) dbr:John_Archibald_Wheeler dbr:Laplace_operator dbr:Laplace–Beltrami_operator dbr:Laplacian dbr:Bivector dbr:Hodge_theory dbr:Symmetric_bilinear_form dbr:Differential_form dbr:Differential_geometry dbr:Divergence dbr:Plücker_embedding dbr:Spacetime dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Tensor_index_notation dbr:Metric_tensor dbr:One-form dbr:Canonical_bundle dbr:Yang–Mills_equations dbr:Vector_calculus dbr:Metric_signature dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Skew-symmetric_matrix dbr:Twistor_theory dbr:Vector_bundle dbr:Exterior_product dbr:Kip_S._Thorne dbr:Weyl_equation dbr:Multivector dbr:Sesquilinear_form dbr:Axial_vector dbr:Hodge_decomposition dbr:Atiyah–Singer_theorem dbr:Orientation_(mathematics) dbr:Harmonic_form dbr:2-form dbr:Gram_determinant dbr:Antiderivation dbr:Spinor-helicity_formalism |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:Cite_book dbt:I_sup dbt:Math dbt:Mvar dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Rp dbt:Section_link dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Verify_source dbt:Isbn dbt:Tensors |
| dcterms:subject | dbc:Duality_theories dbc:Differential_forms dbc:Riemannian_geometry |
| rdfs:comment | Der Hodge-Stern-Operator oder kurz Hodge-Operator ist ein Objekt aus der Differentialgeometrie. Er wurde von dem britischen Mathematiker William Vallance Douglas Hodge eingeführt. Der Operator ist ein Isomorphismus, welcher auf der äußeren Algebra eines endlichdimensionalen Prähilbertraums operiert oder allgemeiner auf dem Raum der Differentialformen. (de) En matemáticas, el operador estrella de Hodge en el espacio vectorial V es un operador lineal en el álgebra exterior de V, intercambiando los subespacios de k-vectores y el de n−k-vectores donde n = dim V, para 0 ≤ k ≤ n. (es) 미분기하학에서 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표. 호지 별표(Hodge star)로도 부른다. (ko) 数学において、ホッジスター作用素(ホッジスターさようそ、Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対(ホッジそうつい、Hodge dual)は、ウィリアム・ホッジにより導入された線型写像である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義されるk -ベクトルのなす空間からn-k-ベクトルのなす空間への線形同型である。 他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドルへの作用に拡張することができる。たとえば余接束の外積代数（すなわち、多様体上の微分形式の空間）に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス＝ド・ラーム作用素を定義し、コンパクトなリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解を導くことができる。 (ja) Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q. Этот оператор был введён Вильямом Ходжем. (ru) 数学中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇对偶（Hodge dual）由苏格兰数学家威廉·霍奇（Hodge）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。 (zh) Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір (n—q)-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q-форм і q-векторів, тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q. Цей оператор був введений Вільямом Годжем. (uk) In mathematics, the Hodge star operator or Hodge star is a linear map defined on the exterior algebra of a finite-dimensional oriented vector space endowed with a nondegenerate symmetric bilinear form. Applying the operator to an element of the algebra produces the Hodge dual of the element. This map was introduced by W. V. D. Hodge. (en) En algèbre linéaire, l'opérateur de Hodge, introduit par William Vallance Douglas Hodge, est un opérateur sur l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l'élément auquel l'opérateur est appliqué. On parle ainsi d'étoile de Hodge. Si la dimension de l'espace est n, l'opérateur établit une correspondance entre les k-vecteurs et les (n-k)-vecteurs, appelée dualité de Hodge. (fr) In algebra lineare, l'operatore di Hodge o stella di Hodge, introdotto da William Vallance Douglas Hodge, è un operatore sull'algebra esterna di uno spazio vettoriale euclideo orientato . Di solito è indicato da un asterisco o da una stella che precede l'elemento a cui è applicato. Se la dimensione dello spazio è n, l'operatore lega k-vettori con (n − k)-vettori: questa corrispondenza è detta dualità di Hodge. Il duale di Hodge di un vettore è il vettore ottenuto dall'applicazione dell'operatore di Hodge. (it) |
| rdfs:label | Hodge-Stern-Operator (de) Dual de Hodge (es) Hodge star operator (en) Dualité de Hodge (fr) Operatore di Hodge (it) 호지 쌍대 (ko) ホッジ双対 (ja) Звезда Ходжа (ru) 霍奇对偶 (zh) Зірка Годжа (uk) |
| owl:sameAs | wikidata:Hodge star operator dbpedia-de:Hodge star operator dbpedia-es:Hodge star operator dbpedia-fr:Hodge star operator dbpedia-it:Hodge star operator dbpedia-ja:Hodge star operator dbpedia-ko:Hodge star operator dbpedia-ru:Hodge star operator dbpedia-uk:Hodge star operator dbpedia-zh:Hodge star operator https://global.dbpedia.org/id/cByB |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hodge_star_operator?oldid=1124855502&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hodge_star_operator |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hodge_Dual dbr:Hodge_dual dbr:Hodge_isomorphism dbr:Hodge_star_Operator dbr:Tensor_dual dbr:Hodge_Star dbr:Hodge_Star_Operator dbr:Hodge_duality dbr:Hodge_operator dbr:Hodge_star dbr:Dual_of_a_tensor dbr:Dual_tensor dbr:Codifferential |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:Mesh_generation dbr:Signature_operator dbr:Ricci_calculus dbr:List_of_multivariable_calculus_topics dbr:Complex_lamellar_vector_field dbr:Gauge_theory_(mathematics) dbr:Yang–Mills_theory dbr:Timeline_of_bordism dbr:Electromagnetic_tensor dbr:N-sphere dbr:Lagrangian_(field_theory) dbr:Hodge_Dual dbr:Hodge_dual dbr:Hodge_isomorphism dbr:Hodge_star_Operator dbr:Linear_form dbr:Bogomolny_equations dbr:Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field dbr:Dual_photon dbr:Ginzburg–Landau_theory dbr:Adjugate_matrix dbr:Curl_(mathematics) dbr:Exterior_algebra dbr:Dirac–Kähler_equation dbr:Discrete_calculus dbr:Kaluza–Klein_theory dbr:Harmonic_Maass_form dbr:Isothermal_coordinates dbr:Cotton_tensor dbr:Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism dbr:Asterisk dbr:Laplace_operator dbr:Birkhoff's_theorem_(electromagnetism) dbr:Hodge_theory dbr:Differential_form dbr:Differential_forms_on_a_Riemann_surface dbr:Divergence dbr:Spinor dbr:Tensor_dual dbr:Kronecker_delta dbr:Kähler_identities dbr:Kähler_manifold dbr:Octonion dbr:Yang–Mills_equations dbr:Uniformization_theorem dbr:Exterior_calculus_identities dbr:List_of_things_named_after_W._V._D._Hodge dbr:Ward's_conjecture dbr:Multivector dbr:Serre_duality dbr:P-form_electrodynamics dbr:Hodge_Star dbr:Hodge_Star_Operator dbr:Hodge_duality dbr:Hodge_operator dbr:Hodge_star dbr:Dual_of_a_tensor dbr:Dual_tensor dbr:Codifferential |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hodge_star_operator |