Divergent series (original) (raw)
في الرياضيات، متسلسلة متباعدة (بالإنجليزية: Divergent series) هي متسلسلة غير متقاربة. هذا يعني أن المتتالية للمجموع الجزئي للمتسلسلة ليس لها نهاية. إذا كانت متسلسلة ما متقاربة، فإن المتتالية التي تمثل حدودها، تتقارب ضروريا إلى الصفر. هكذا، متسلسلة حدودها ممثلة بمتتالية لا تقترب من الصفر، هي متسلسلة متباعدة. ولكن شرط اقتراب المتسلسلات يبقى أقوى من ذلك، أي أنه ليس كل المتسلسلات حيث المتتالية التي تمثل حدودها متقاربة إلى الصفر، هي متسلسلات متقاربة أيضا. أبسط مثال على ذلك هو المتسلسلة المتناسقة. بُرهن على انحراف (أو ابتعاد) هاته المتسلسلة من طرف عالم الرياضيات نيكول أورسمه.
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| dbo:abstract | في الرياضيات، متسلسلة متباعدة (بالإنجليزية: Divergent series) هي متسلسلة غير متقاربة. هذا يعني أن المتتالية للمجموع الجزئي للمتسلسلة ليس لها نهاية. إذا كانت متسلسلة ما متقاربة، فإن المتتالية التي تمثل حدودها، تتقارب ضروريا إلى الصفر. هكذا، متسلسلة حدودها ممثلة بمتتالية لا تقترب من الصفر، هي متسلسلة متباعدة. ولكن شرط اقتراب المتسلسلات يبقى أقوى من ذلك، أي أنه ليس كل المتسلسلات حيث المتتالية التي تمثل حدودها متقاربة إلى الصفر، هي متسلسلات متقاربة أيضا. أبسط مثال على ذلك هو المتسلسلة المتناسقة. بُرهن على انحراف (أو ابتعاد) هاته المتسلسلة من طرف عالم الرياضيات نيكول أورسمه. (ar) In mathematics, a divergent series is an infinite series that is not convergent, meaning that the infinite sequence of the partial sums of the series does not have a finite limit. If a series converges, the individual terms of the series must approach zero. Thus any series in which the individual terms do not approach zero diverges. However, convergence is a stronger condition: not all series whose terms approach zero converge. A counterexample is the harmonic series The divergence of the harmonic series was proven by the medieval mathematician Nicole Oresme. In specialized mathematical contexts, values can be objectively assigned to certain series whose sequences of partial sums diverge, in order to make meaning of the divergence of the series. A summability method or summation method is a partial function from the set of series to values. For example, Cesàro summation assigns Grandi's divergent series the value 1/2. Cesàro summation is an averaging method, in that it relies on the arithmetic mean of the sequence of partial sums. Other methods involve analytic continuations of related series. In physics, there are a wide variety of summability methods; these are discussed in greater detail in the article on regularization. (en) Serie dibergentea konbergentea ez den seriea da, hau da, gaien batura partzialen segida limite finiturik gabea duena. Kasu horretan, serieak ez du batura finitua; orduan, serie dibergenteen batura infinitua da. (eu) En el ámbito de la matemática se denomina serie divergente a una serie infinita que no es convergente, por lo tanto la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite. Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Así, una serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero, es una serie divergente.Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte, no todas las series cuyos términos tienden a cero son convergentes. El contraejemplo más simple es la serie armónica: Si bien en la serie armónica los términos tienden a cero, la misma es divergente. La divergencia de esta serie fue demostrada por el matemático medieval Nicole Oresme[cita requerida]. A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un . Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½ . (es) En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0. Par contraposition, cela fournit de nombreux exemples de séries divergentes, par exemple celle dont tous les termes valent 1. Un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 est la série harmonique : Dans certains cas, il est malgré tout possible d'attribuer une valeur finie (on parle aussi d'antilimite) à la série en usant d'une procédure dite de « sommation », ou de « sommabilité », dont il existe plusieurs variantes. La série de Grandi 1 – 1 + 1 – 1 + 1… se voit ainsi par exemple attribuer la valeur 1/2. Les valeurs ainsi obtenues n'ont souvent aucun rapport avec les sommes partielles de la série, ce qui conduit à des écritures paradoxales telles que 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12. En physique théorique, dans de nombreuses situations, on ne peut calculer des solutions qu'au moyen de la théorie des perturbations, qui fournit des résultats sous la forme de séries qui sont le plus souvent divergentes ; l'utilisation de sommes partielles convenables donne cependant d'excellentes approximations numériques. De façon plus surprenante, les valeurs obtenues par des méthodes de sommation telles que la régularisation zêta ont souvent un sens physique, par exemple dans le calcul de l'effet Casimir. (fr) In matematica, una serie divergente è una serie infinita non convergente né indeterminata. In altre parole, la successione delle somme parziali diverge, cioè: per ogni esiste un indice tale che, per ogni , , ove è per l'appunto la successione delle somme parziali. Se una serie converge, il termine generale della serie deve tendere a 0. Così, una serie nella quale il termine generale tende a un valore diverso da 0 diverge. Non tutte le serie i cui termini tendono a 0 convergono. Il più semplice esempio di serie divergente è la serie armonica. La sua divergenza fu dimostrata dal matematico medievale Nicole Oresme. In campi specializzati della matematica, valori possono essere assegnati a certe serie divergenti. Il metodo della sommatoria è una funzione parziale che associa alla serie un valore. Per esempio la somma di Cesàro assegna alla serie di Grandi il valore 1/2 . Il metodo utilizza la media delle somme parziali. Altri metodi possono utilizzare le continuazioni analitiche, le regolarizzazioni e le rinormalizzazioni. La serie armonica generalizzata con diverge per e converge per . (it) 수학에서 발산 급수(發散 級數)란, 부분합의 무한수열이 유한한 극한을 가지지 않는, 즉 수렴하지 않는 급수를 말한다. (ko) 数学において発散級数（はっさんきゅうすう、英: divergent series）とは、収束しない級数である、つまり、部分和の成す無限列が有限な極限を持たない級数である。 級数が収束するならば、級数の各項の成す数列は必ず 0 に収束する。したがって、0 に収束しないような数列を項に持つ級数はいずれも発散する。しかし逆に、級数の項が 0 に収束しても級数は収束するとは限らない。最も簡単な反例として、調和級数 が挙げられる。調和級数が発散することは、中世の数学者ニコル・オレームによって示された。 数学の特別な文脈では、部分和の列が発散するようなある種の列について、その和として意味のある値を割り当てることができる。総和法 (summability method, summation method) とは、級数の部分和の列全体の成す集合から「和の値」の集合への部分写像である。例えば、チェザロ総和法ではグランディの発散級数 に 1/2 を値として割り当てる。チェザロ総和法は平均化法 (averaging method) の一種で、部分和の列の算術平均をとることに基づいている。他の方法としては、関連する級数の解析接続として和を定める方法などがある。物理学では、非常に多種多様な総和法が用いられる（詳細はの項を参照）。 (ja) Szereg rozbieżny – szereg nieskończony, który nie jest zbieżny, tj. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych. Jeśli szereg jest zbieżny to kolejne składniki w szeregu muszą zmierzać do zera. Stąd każdy szereg, w którym składniki nie zmierzają do zera, jest rozbieżny. Jednak zbieżność jest warunkiem silniejszym, tj. nie wszystkie szeregi, których składniki zmierzają do zera są zbieżne. Najprostszym przykładem jest szereg harmoniczny Rozbieżność szeregu harmonicznego udowodnił średniowieczny matematyk Mikołaj z Oresme. W specjalistycznych kontekstach matematycznych z wybranymi szeregami, w których sumy częściowe nie mają granicy, udaje się z powodzeniem skojarzyć pewne wartości. Metoda sumowania to funkcja częściowa odwzorowująca zbiór ciągów sum częściowych szeregu na wartości. Na przykład sumowanie metodą Cesàro przypisuje do rozbieżnego szeregu Grandiego wartość Sumowalność w sensie Cesàro jest metodą uśredniającą, to znaczy, że opiera się na średniej arytmetycznej ciągu sum częściowych. Inne metody wykorzystują przedłużenie analityczne powiązanych szeregów. W fizyce szeroko stosowane są różne metody na przykład regularyzacja funkcją dzeta. (pl) In de wiskunde is een divergente reeks een oneindige reeks die niet convergent is. Daarmee wordt bedoeld dat de rij van partiële sommen geen eindige limiet heeft. Dat kan optreden indien deze laatste blijft schommelen (zonder naar een bepaalde waarde te streven) of 'opblaast' (willekeurig groot/klein wordt). (nl) Em matemática, uma série divergente é uma série que não converge.Tais séries são somas infinitas de parcelas que obedecem a uma regra e/ou .Se uma série converge, os termos individuais da série devem tender a zero. Portanto, toda série na qual os termos individuais não tendem a zero, diverge. O exemplo mais simples de uma série divergente cujos termos aproximam-se de zero é a série harmônica A divergência da série harmônica foi demonstrada de forma distinta pelo matemático medieval Nicole d'Oresme. Às vezes é possível atribuir um valor às séries divergentes utilizando o método da soma.Por exemplo, a soma de Cesàro atribui à série divergente de Grandi o valor ½. Em física, existe uma ampla variedade de métodos da soma. (pt) 发散级数（英語：Divergent Series）是指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数和 ，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。 如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数 调和级数的发散性被中世纪数学家奥里斯姆所证明。 Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration. (“发散级数通常是灾难性的，基于它的任何证明都是不光彩的。”经常被翻译为“发散级数是魔鬼的发明 ……”)N. H. Abel, letter to Holmboe, January 1826, 再版于他论文集的第二卷。 (zh) |
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(ko) 数学において発散級数（はっさんきゅうすう、英: divergent series）とは、収束しない級数である、つまり、部分和の成す無限列が有限な極限を持たない級数である。 級数が収束するならば、級数の各項の成す数列は必ず 0 に収束する。したがって、0 に収束しないような数列を項に持つ級数はいずれも発散する。しかし逆に、級数の項が 0 に収束しても級数は収束するとは限らない。最も簡単な反例として、調和級数 が挙げられる。調和級数が発散することは、中世の数学者ニコル・オレームによって示された。 数学の特別な文脈では、部分和の列が発散するようなある種の列について、その和として意味のある値を割り当てることができる。総和法 (summability method, summation method) とは、級数の部分和の列全体の成す集合から「和の値」の集合への部分写像である。例えば、チェザロ総和法ではグランディの発散級数 に 1/2 を値として割り当てる。チェザロ総和法は平均化法 (averaging method) の一種で、部分和の列の算術平均をとることに基づいている。他の方法としては、関連する級数の解析接続として和を定める方法などがある。物理学では、非常に多種多様な総和法が用いられる（詳細はの項を参照）。 (ja) In de wiskunde is een divergente reeks een oneindige reeks die niet convergent is. Daarmee wordt bedoeld dat de rij van partiële sommen geen eindige limiet heeft. Dat kan optreden indien deze laatste blijft schommelen (zonder naar een bepaalde waarde te streven) of 'opblaast' (willekeurig groot/klein wordt). (nl) 发散级数（英語：Divergent Series）是指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数和 ，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。 如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数 调和级数的发散性被中世纪数学家奥里斯姆所证明。 Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration. (“发散级数通常是灾难性的，基于它的任何证明都是不光彩的。”经常被翻译为“发散级数是魔鬼的发明 ……”)N. H. Abel, letter to Holmboe, January 1826, 再版于他论文集的第二卷。 (zh) In mathematics, a divergent series is an infinite series that is not convergent, meaning that the infinite sequence of the partial sums of the series does not have a finite limit. If a series converges, the individual terms of the series must approach zero. Thus any series in which the individual terms do not approach zero diverges. However, convergence is a stronger condition: not all series whose terms approach zero converge. A counterexample is the harmonic series The divergence of the harmonic series was proven by the medieval mathematician Nicole Oresme. (en) En el ámbito de la matemática se denomina serie divergente a una serie infinita que no es convergente, por lo tanto la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite. Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Así, una serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero, es una serie divergente.Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte, no todas las series cuyos términos tienden a cero son convergentes. El contraejemplo más simple es la serie armónica: . (es) En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0. Par contraposition, cela fournit de nombreux exemples de séries divergentes, par exemple celle dont tous les termes valent 1. Un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 est la série harmonique : (fr) In matematica, una serie divergente è una serie infinita non convergente né indeterminata. In altre parole, la successione delle somme parziali diverge, cioè: per ogni esiste un indice tale che, per ogni , , ove è per l'appunto la successione delle somme parziali. Se una serie converge, il termine generale della serie deve tendere a 0. Così, una serie nella quale il termine generale tende a un valore diverso da 0 diverge. Non tutte le serie i cui termini tendono a 0 convergono. Il più semplice esempio di serie divergente è la serie armonica. La serie armonica generalizzata (it) Szereg rozbieżny – szereg nieskończony, który nie jest zbieżny, tj. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych. Jeśli szereg jest zbieżny to kolejne składniki w szeregu muszą zmierzać do zera. Stąd każdy szereg, w którym składniki nie zmierzają do zera, jest rozbieżny. Jednak zbieżność jest warunkiem silniejszym, tj. nie wszystkie szeregi, których składniki zmierzają do zera są zbieżne. Najprostszym przykładem jest szereg harmoniczny Rozbieżność szeregu harmonicznego udowodnił średniowieczny matematyk Mikołaj z Oresme. (pl) Em matemática, uma série divergente é uma série que não converge.Tais séries são somas infinitas de parcelas que obedecem a uma regra e/ou .Se uma série converge, os termos individuais da série devem tender a zero. Portanto, toda série na qual os termos individuais não tendem a zero, diverge. O exemplo mais simples de uma série divergente cujos termos aproximam-se de zero é a série harmônica A divergência da série harmônica foi demonstrada de forma distinta pelo matemático medieval Nicole d'Oresme. o valor ½. Em física, existe uma ampla variedade de métodos da soma. (pt) |
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