Group action (original) (raw)
Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či .
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či . (cs) En matemàtiques, un grup de simetria és una abstracció emprada per descriure les simetries d'un objecte. Una acció de grup formalitza la relació entre el grup i les simetries de l'objecte; relaciona cada element del grup amb una transformada particular de l'objecte. En aquest cas, hom diu que el grup és un grup de permutacions (especialment si el conjunt és finit o no és un espai vectorial) o un grup de transformacions (sobretot si el conjunt és un espai vectorial i el grup actua com a transformacions lineals del conjunt). Una representació de permutacions d'un grup G és una representació de G com a grup de permutacions del conjunt (habitualment, si el conjunt és finit), i es pot descriure com a representació de grup de G mitjançant matrius permutació. És el mateix que una acció de grup de G sobre una base ordenada d'un espai vectorial. Una acció de grup és una extensió del concepte de grup de simetria, en el qual tot element del grup "actua" com una transformació bijectiva (o "simetria") d'un conjunt donat, sense identificar-lo amb aquesta transformació. Això permet una descripció més comprensiva de les simetries d'un objecte, com un políedre, permetent que el mateix grup actuï sobre diferents conjunts de característiques, com el conjunt de vèrtexs, el conjunt d'arestes o el conjunt de cares del políedre. Si G és un grup i X és un conjunt, llavors hom pot definir una acció de grup com un homomorfisme de grups h de G al grup simètric sobre X. L'acció assigna una permutació de X a cada element de grup, de tal manera que la permutació de X assignada a: * l'element identitat de G és la transformació identitat de X; * un producte gk de dos elements de G és la composició de les permutacions assignades a g i k. L'abstracció que donen les accions de grups és molt potent, perquè permet aplicar idees geomètriques a altres objectes més abstractes. Molts objectes matemàtics tenen accions de grups associades de manera natural. En particular, els grups poden actuar sobre altres grups, o fins i tot un grup pot actuar sobre ell mateix. A causa d'aquesta generalitat, la teoria d'accions de grup conté diversos teoremes d'ampli abast, com el teorema de l'estabilitzador d'òrbites, que es pot utilitzar per demostrar resultats complexos en diferents àmbits. (ca) In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe als „aktiver“ Teil und eine Menge als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements auf der Menge ist eine Transformation (Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente auf den Elementen der Menge in der Weise, dass die Aktion des Produkts der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht. Die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge. Ist bei der Menge zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische, topologische, wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt. Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, in Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund.Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund. (de) Ĉi tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon . En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per la nocio de grupa ago: ĉiu elemento de la grupo "agas" tiel, ke ĝi permutas laŭ "simetrio" elementojn de iu aro. En ĉi tia situacio, la grupo estas ankaŭ nomata permuta grupo (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ transforma grupo (aparte se la aro havas strukturon de vektora spaco kaj la elementoj de la grupo agas kiel ĝiaj linearaj transformoj). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de la aro (kutime se la aro estas finia). Ĝi povas esti ekvivalente priskribita ankaŭ kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj kaj estas kutime konsiderata en la finidimensia kazo - ĝi estas la sama kiel grupa ago de G sur ordita bazo de vektora spaco. (eo) In mathematics, a group action on a space is a group homomorphism of a given group into the group of transformations of the space. Similarly, a group action on a mathematical structure is a group homomorphism of a group into the automorphism group of the structure. It is said that the group acts on the space or structure. If a group acts on a structure, it will usually also act on objects built from that structure. For example, the group of Euclidean isometries acts on Euclidean space and also on the figures drawn in it. For example, it acts on the set of all triangles. Similarly, the group of symmetries of a polyhedron acts on the vertices, the edges, and the faces of the polyhedron. A group action on a vector space is called a representation of the group. In the case of a finite-dimensional vector space, it allows one to identify many groups with subgroups of GL(n, K), the group of the invertible matrices of dimension n over a field K. The symmetric group Sn acts on any set with n elements by permuting the elements of the set. Although the group of all permutations of a set depends formally on the set, the concept of group action allows one to consider a single group for studying the permutations of all sets with the same cardinality. (en) En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación que cumple las dos condiciones siguientes: 1. * , donde es el elemento neutro del grupo. 2. * . En tal caso se dice que el grupo actúa sobre , y que el conjunto es un -conjunto. Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva definida sobre . En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo y el grupo . donde denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de . Se dice que el homomorfismo es una representación del grupo por permutación. (es) En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. (fr) Dalam matematika, tindakan grup padaruang adalah homomorfisme grup dari grup tertentu ke dalam grup ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada struktur matematika adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam grup automorfisme dari struktur. Dikatakan bahwa grup bertindak pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok bekerja pada Ruang Euklidean dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua segitiga. Demikian pula, kelompok simetri dari sebuah polihedron bekerja pada , tepi, dan wajah dari polyhedron. Tindakan grup pada ruang vektor (berdimensi-hingga)] disebut dari grup. Ini memungkinkan salah satunya untuk mengidentifikasi banyak grup dengan subkelompok , kelompok dengan dimensi n atas bidang K. Grup simetris Sn bertindak pada setiap himpunan dengan elemen n dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua permutasi dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep tindakan kelompok memungkinkan salah satunya untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan kardinal yang sama. (in) In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche). (it) 군론에서 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다. (ko) 数学における群作用（ぐんさよう、英: group action）は、群を用いて対象の対称性を記述する方法である。 (ja) Działanie grupy – sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru). Działanie grupy jest elastycznym uogólnieniem pojęcia grupy symetrii, w której każdy jej element „działa” jak wzajemnie jednoznaczne przekształcenie (lub „symetria”) pewnego zbioru, lecz bez utożsamiania tego elementu ze wspomnianym przekształceniem. Pozwala to bardziej wyczerpująco opisać symetrie obiektu, takiego jak wielościan, przez zadziałanie tej samej grupy na kilku różnych zbiorach, np. zbiorze wierzchołków, zbiorze krawędzi i zbiorze ścian wielościanu. działania grup na obiektach geometrycznych była główną ideą tzw. programu erlangeńskiego Feliksa Kleina. Ewaryst Galois w swoich pracach dotyczących rozwiązywania wielomianów przez pierwiastniki badał działanie grup Galois na zbiorach pierwiastków wielomianu. Umożliwiając stosowanie idei geometrycznych do bardziej abstrakcyjnych tworów działania grup dostarczają wysokiego poziomu abstrakcji. Wiele obiektów matematycznych ma naturalnie określone na sobie działanie grupy. W szczególności grupy mogą działać także na innych grupach, a nawet na samych sobie. Mimo wspomnianej ogólności teoria działań grup zawiera szeroko stosowane w praktyce twierdzenia, jak np. , które mogą być środkiem podczas dowodzenia mocnych wyników w innych działach matematyki. (pl) Na matemática, uma ação de um grupo G num conjunto X é uma operação α : G × X → X compatível com as operações do grupo G, nos seguintes aspectos: * sendo e a identidade de G, vale α(e, x) = x para cada x ∈ X; * vale α(g ⋅ h, x) = α(g, α(h, x)) para quaisquer g, h ∈ G e x ∈ X. O conceito de ação de grupo assemelha-se ao de espaço vetorial, ainda mais quando se usa a abreviação g ⋅ x para α(g, x).. As mais básicas ações de grupos podem ser tratadas geometricamente, como simetrias. Por exemplo, o n-ésimo grupo diedral age no conjunto de vértices, mudando-os de posições por meios de reflexões e rotações; neste caso, a ação é fiel. O mesmo grupo diedral também tem outra ação dada por α(g, x) = x, isto é, sem mover os vértices, e neste caso a ação não é fiel. As muitas propriedades de ações de grupos aplicam-se em áreas como a teoria dos corpos, teoria dos grafos e até a física quântica. (pt) In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt). (nl) Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп. (ru) Gruppverkan är ett begrepp inom matematik som beskriver hur en grupps element verkar på en mängd. Genom en gruppverkan definierar varje element i en grupp en permutation (en bijektiv avbildning) av en mängd till sig själv. (sv) 数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。 (zh) Ді́я групи на множині — цевідображення що має властивості: * * для всіх де — це нейтральний елемент З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом (uk) |
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| rdfs:comment | Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či . (cs) En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. (fr) In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche). (it) 군론에서 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다. (ko) 数学における群作用（ぐんさよう、英: group action）は、群を用いて対象の対称性を記述する方法である。 (ja) In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt). (nl) Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп. (ru) Gruppverkan är ett begrepp inom matematik som beskriver hur en grupps element verkar på en mängd. Genom en gruppverkan definierar varje element i en grupp en permutation (en bijektiv avbildning) av en mängd till sig själv. (sv) 数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。 (zh) Ді́я групи на множині — цевідображення що має властивості: * * для всіх де — це нейтральний елемент З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом (uk) En matemàtiques, un grup de simetria és una abstracció emprada per descriure les simetries d'un objecte. Una acció de grup formalitza la relació entre el grup i les simetries de l'objecte; relaciona cada element del grup amb una transformada particular de l'objecte. Si G és un grup i X és un conjunt, llavors hom pot definir una acció de grup com un homomorfisme de grups h de G al grup simètric sobre X. L'acció assigna una permutació de X a cada element de grup, de tal manera que la permutació de X assignada a: (ca) In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe als „aktiver“ Teil und eine Menge als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements auf der Menge ist eine Transformation (Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente auf den Elementen der Menge in der Weise, dass die Aktion des Produkts der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht. Die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge. (de) Ĉi tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon . En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per la nocio de grupa ago: ĉiu elemento de la grupo "agas" tiel, ke ĝi permutas laŭ "simetrio" elementojn de iu aro. En ĉi tia situacio, la grupo estas ankaŭ nomata permuta grupo (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ transforma grupo (aparte se la aro havas strukturon de vektora spaco kaj la elementoj de la grupo agas kiel ĝiaj linearaj transformoj). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de la aro (kutime se la aro estas finia). Ĝi povas esti ekvivalente priskribita ankaŭ kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj kaj estas kutime konsiderata en la (eo) En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación que cumple las dos condiciones siguientes: 1. * , donde es el elemento neutro del grupo. 2. * . En tal caso se dice que el grupo actúa sobre , y que el conjunto es un -conjunto. Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva definida sobre . En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo y el grupo . (es) In mathematics, a group action on a space is a group homomorphism of a given group into the group of transformations of the space. Similarly, a group action on a mathematical structure is a group homomorphism of a group into the automorphism group of the structure. It is said that the group acts on the space or structure. If a group acts on a structure, it will usually also act on objects built from that structure. For example, the group of Euclidean isometries acts on Euclidean space and also on the figures drawn in it. For example, it acts on the set of all triangles. Similarly, the group of symmetries of a polyhedron acts on the vertices, the edges, and the faces of the polyhedron. (en) Dalam matematika, tindakan grup padaruang adalah homomorfisme grup dari grup tertentu ke dalam grup ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada struktur matematika adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam grup automorfisme dari struktur. Dikatakan bahwa grup bertindak pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok bekerja pada Ruang Euklidean dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua segitiga. Demikian pula, kelompok simetri dari sebuah polihedron bekerja pada , tepi, dan wajah dari polyhedron. (in) Działanie grupy – sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru). (pl) Na matemática, uma ação de um grupo G num conjunto X é uma operação α : G × X → X compatível com as operações do grupo G, nos seguintes aspectos: * sendo e a identidade de G, vale α(e, x) = x para cada x ∈ X; * vale α(g ⋅ h, x) = α(g, α(h, x)) para quaisquer g, h ∈ G e x ∈ X. O conceito de ação de grupo assemelha-se ao de espaço vetorial, ainda mais quando se usa a abreviação g ⋅ x para α(g, x).. As muitas propriedades de ações de grupos aplicam-se em áreas como a teoria dos corpos, teoria dos grafos e até a física quântica. (pt) |
| rdfs:label | Acció (matemàtiques) (ca) Akce grupy na množině (cs) Gruppenoperation (de) Grupa ago (eo) Acción (matemática) (es) Tindakan grup (matematika) (in) Group action (en) Action de groupe (mathématiques) (fr) Azione di gruppo (it) 群作用 (ja) 군의 작용 (ko) Groepswerking (nl) Ação de grupo (pt) Działanie grupy na zbiorze (pl) Gruppverkan (sv) Действие группы (ru) Дія групи (uk) 群作用 (zh) |
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