Quadratic field (original) (raw)
V oboru je kvadratické číselné těleso nebo krátce kvadratické těleso definováno jako číselné těleso , jenž je stupně 2 nad tělesem racionálních čísel. Jedná se právě o všechna algebraická nadtělesa , která mají podobu , kde je nečtvercové racionální číslo různé od 0 a 1, přičemž mezi bezčtvercovými a kvadratickými číselnými tělesy je vzájemně jednoznačné zobrazení. Pokud platí , pak všechny prvky kvadratického tělesa patří do reálných čísel a těleso se nazývá reálné kvadratické těleso, pokud naopak , pak jsou reálné jen racionální prvky a těleso se nazývá imaginární kvadratické těleso.
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| dbo:abstract | V oboru je kvadratické číselné těleso nebo krátce kvadratické těleso definováno jako číselné těleso , jenž je stupně 2 nad tělesem racionálních čísel. Jedná se právě o všechna algebraická nadtělesa , která mají podobu , kde je nečtvercové racionální číslo různé od 0 a 1, přičemž mezi bezčtvercovými a kvadratickými číselnými tělesy je vzájemně jednoznačné zobrazení. Pokud platí , pak všechny prvky kvadratického tělesa patří do reálných čísel a těleso se nazývá reálné kvadratické těleso, pokud naopak , pak jsou reálné jen racionální prvky a těleso se nazývá imaginární kvadratické těleso. (cs) Ως τετραγωνικό σώμα (quadratic field) ορίζουμε ένα σώμα αριθμών K βαθμού 2 επί του .Επομένως όπου ο θ είναι αλγεβρικός ακέραιος και . Εύκολα αποδυκνείεται οτι κάθε τετραγωνικό σώμα είναι της μορφής όπου και o είναι ελεύθερος τετραγώνου. Αν d > 0 το σώμα ονομάζεται πραγματικό τετραγωνικό σώμα ενώ αν d < 0 τότε ονομάζεται μιγαδικό τετραγωνικό σώμα. Τα τετραγωνικά σώματα αρχικά μελετήθηκαν ως μέρος της θεωρίας των . Γενικότερα για τους αριθμοθεωρητικούς ενδιαφέρον παρουσιάζει η γνώση του ενός σώματος αριθμών. Το θεώρημα των Stark-Steiger (Σταρκ-Στάιγκερ) μας λέει ότι Αν d < 0, τότε ο αριθμός κλάσεων του Q(√ d) είναι ίσος με 1 αν και μόνο αν d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, or −163. Αντίστοιχο θεώρημα για τα πραγματικά τετραγωνικά σώματα δεν είναι γνωστό. (el) في النظرية الجبرية للأعداد، حقل تربيعي هو حقل الأعداد الجبرية... (ar) Ein quadratischer Zahlkörper ist eine algebraische Körpererweiterung der Form mit einer rationalen Zahl die kein Quadrat in ist. Dies sind genau die Erweiterungen vom Grad über Quadratische Zahlkörper sind, von selbst abgesehen, die einfachsten Zahlkörper. (de) En teoría de números algebraicos, un cuerpo cuadrático es un cuerpo de números algebraicos K de grado dos sobre Q. Es sencillo mostrar que el mapa d ↦ Q(√d) es un biyección desde el conjunto de todos los enteros libres de cuadrados d ≠ 0, 1 al conjunto de todos los cuerpos cuadráticos. Si d > 0 al correspondiente cuerpo cuadrático se le llama cuerpo cuadrático real, y para d < 0 se llama cuerpo cuadrático imaginario o cuerpo cuadrático complejo, corresponde a si sus encajes arquimedianos son reales o complejos. Los cuerpos cuadráticos han sido estudiados en gran profundidad, inicialmente como parte de la teoría de forma cuadrática binaria. El resto son problemas sin resolver. El es importante en particular. (es) In algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over Q, the rational numbers. Every such quadratic field is some Q(√d) where d is a (uniquely defined) square-free integer different from 0 and 1. If d > 0, the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and for d < 0 an imaginary quadratic field or complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers. Quadratic fields have been studied in great depth, initially as part of the theory of binary quadratic forms. There remain some unsolved problems. The class number problem is particularly important. (en) 대수적 수론에서 이차 수체(二次數體, 영어: quadratic field)는 차원이 2인 대수적 수체이다. (ko) In teoria algebrica dei numeri, un campo quadratico è un campo di numeri algebrico di grado due sul campo dei razionali . La funzione è una biiezione dall'insieme di tutti gli interi privi di quadrati all'insieme di tutti i campi quadratici. Se il campo quadratico corrispondente è chiamato campo quadratico reale, se il campo quadratico corrispondente è detto campo quadratico complesso o campo quadratico immaginario, a seconda del fatto che sia o meno un sottocampo del campo dei numeri reali. I campi quadratici sono stati inizialmente studiati come parte della teoria delle . Anche se la teoria dei campi quadratici è stata ampiamente studiata, alcuni problemi restano ancora irrisolti. Il problema del è uno dei più importanti. (it) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een kwadratisch lichaam (Nederlands-Nederlandse term) of kwadratisch veld (Belgisch-Nederlandse term) een algebraïsch getallenlichaam van graad twee over de rationale getallen dat een uitbreiding van de vorm , met een kwadraatvrij geheel getal. (nl) 二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、 と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。 (ja) Ciało kwadratowe – ciało liczbowe o stopniu rozszerzenia 2 nad ciałem liczb wymiernych. Symbolicznie zbiór liczb wymiernych rozszerzony o gdzie jest pewną bezkwadratową liczbą całkowitą zapisujemy jako . Ciała kwadratowe są najprostszymi nietrywialnymi ciałami liczbowymi i były jako pierwsze historycznie wnikliwie badane, co położyło podwaliny pod współczesną algebraiczną teorię liczb. Po dziś dzień ciała kwadratowe stanowią niewyczerpane źródło interesujących i trudnych problemów matematycznych oraz mają niezwykle ważne zastosowania praktyczne w . (pl) Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над . Можно доказать, что отображение задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным. (ru) Em matemática, um corpo quadrático é um corpo numérico algébrico K de grau dois sobre Q. É mais fácil mostrar que a função d ↦ Q(√d) é uma bijeção do conjunto de todos os inteiros sem fator quadráticos d≠0,1 ao conjunto de todos os corpos quadráticos. Se d > 0 o corpo quadrático correspondente é chamado um corpo quadrático real, e para d < 0 um corpo quadrático imaginário ou corpo quadrático complexo, correspondendo no caso de sua imersão arquimediana ser real ou complexa. (pt) Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел . Будь-яке квадратичне поле має вигляд , де , тобто одержується приєднанням до поля елемента . , де . Тому будь-яке квадратичне поле має вид , де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким. При d > 0 поле називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля тобто базис кільця цілих чисел поля над кільцем цілих раціональних чисел , можна взяти при ; при . Дискримінант D поля рівний відповідно d при і 4d при . (uk) 在代數數論中，二次域是在有理數域上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成，其中無平方數因數。若，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於是否為全實域 二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如。 (zh) |
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(de) 대수적 수론에서 이차 수체(二次數體, 영어: quadratic field)는 차원이 2인 대수적 수체이다. (ko) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een kwadratisch lichaam (Nederlands-Nederlandse term) of kwadratisch veld (Belgisch-Nederlandse term) een algebraïsch getallenlichaam van graad twee over de rationale getallen dat een uitbreiding van de vorm , met een kwadraatvrij geheel getal. (nl) 二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、 と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。 (ja) Ciało kwadratowe – ciało liczbowe o stopniu rozszerzenia 2 nad ciałem liczb wymiernych. Symbolicznie zbiór liczb wymiernych rozszerzony o gdzie jest pewną bezkwadratową liczbą całkowitą zapisujemy jako . Ciała kwadratowe są najprostszymi nietrywialnymi ciałami liczbowymi i były jako pierwsze historycznie wnikliwie badane, co położyło podwaliny pod współczesną algebraiczną teorię liczb. Po dziś dzień ciała kwadratowe stanowią niewyczerpane źródło interesujących i trudnych problemów matematycznych oraz mają niezwykle ważne zastosowania praktyczne w . (pl) Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над . Можно доказать, что отображение задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным. (ru) Em matemática, um corpo quadrático é um corpo numérico algébrico K de grau dois sobre Q. É mais fácil mostrar que a função d ↦ Q(√d) é uma bijeção do conjunto de todos os inteiros sem fator quadráticos d≠0,1 ao conjunto de todos os corpos quadráticos. Se d > 0 o corpo quadrático correspondente é chamado um corpo quadrático real, e para d < 0 um corpo quadrático imaginário ou corpo quadrático complexo, correspondendo no caso de sua imersão arquimediana ser real ou complexa. (pt) Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел . Будь-яке квадратичне поле має вигляд , де , тобто одержується приєднанням до поля елемента . , де . Тому будь-яке квадратичне поле має вид , де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким. При d > 0 поле називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля тобто базис кільця цілих чисел поля над кільцем цілих раціональних чисел , можна взяти при ; при . Дискримінант D поля рівний відповідно d при і 4d при . (uk) 在代數數論中，二次域是在有理數域上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成，其中無平方數因數。若，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於是否為全實域 二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如。 (zh) Ως τετραγωνικό σώμα (quadratic field) ορίζουμε ένα σώμα αριθμών K βαθμού 2 επί του .Επομένως όπου ο θ είναι αλγεβρικός ακέραιος και . Εύκολα αποδυκνείεται οτι κάθε τετραγωνικό σώμα είναι της μορφής όπου και o είναι ελεύθερος τετραγώνου. Αν d > 0 το σώμα ονομάζεται πραγματικό τετραγωνικό σώμα ενώ αν d < 0 τότε ονομάζεται μιγαδικό τετραγωνικό σώμα. Τα τετραγωνικά σώματα αρχικά μελετήθηκαν ως μέρος της θεωρίας των . Γενικότερα για τους αριθμοθεωρητικούς ενδιαφέρον παρουσιάζει η γνώση του ενός σώματος αριθμών. Το θεώρημα των Stark-Steiger (Σταρκ-Στάιγκερ) μας λέει ότι (el) En teoría de números algebraicos, un cuerpo cuadrático es un cuerpo de números algebraicos K de grado dos sobre Q. Es sencillo mostrar que el mapa d ↦ Q(√d) es un biyección desde el conjunto de todos los enteros libres de cuadrados d ≠ 0, 1 al conjunto de todos los cuerpos cuadráticos. Si d > 0 al correspondiente cuerpo cuadrático se le llama cuerpo cuadrático real, y para d < 0 se llama cuerpo cuadrático imaginario o cuerpo cuadrático complejo, corresponde a si sus encajes arquimedianos son reales o complejos. (es) In algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over Q, the rational numbers. Every such quadratic field is some Q(√d) where d is a (uniquely defined) square-free integer different from 0 and 1. If d > 0, the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and for d < 0 an imaginary quadratic field or complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers. (en) In teoria algebrica dei numeri, un campo quadratico è un campo di numeri algebrico di grado due sul campo dei razionali . La funzione è una biiezione dall'insieme di tutti gli interi privi di quadrati all'insieme di tutti i campi quadratici. Se il campo quadratico corrispondente è chiamato campo quadratico reale, se il campo quadratico corrispondente è detto campo quadratico complesso o campo quadratico immaginario, a seconda del fatto che sia o meno un sottocampo del campo dei numeri reali. (it) |
| rdfs:label | حقل تربيعي (ar) Kvadratické těleso (cs) Quadratischer Zahlkörper (de) Τετραγωνικό σώμα (el) Cuerpo cuadrático (es) Campo quadratico (it) Corps quadratique (fr) 二次体 (ja) 이차 수체 (ko) Ciało kwadratowe (pl) Quadratic field (en) Kwadratisch lichaam (Ned) / veld (Be) (nl) Corpo quadrático (pt) Квадратичное поле (ru) Квадратичне поле (uk) 二次域 (zh) |
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