Ricci flow (original) (raw)
En geometría diferencial, el flujo de Ricci es un flujo geométrico e intrínseco — un proceso que deforma la métrica de una variedad de Riemann — en forma análoga a la difusión del calor, pero suavizando las irregularidades de la métrica de Riemann. Desempeña un papel importante en la demostración de la conjetura de Poincare (realizada en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelmán basándose en este propio principio), uno de los siete Problemas del Milenio por el cual el Clay Mathematics Institute ofrecía un premio de $1.000.000 por la solución correcta, y en ese contexto también se lo llama el flujo de Ricci–Hamilton.
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| dbo:abstract | In der Mathematik ist der Ricci-Fluss (nach der nach Gregorio Ricci-Curbastro benannten Ricci-Krümmung) ein für eine riemannsche Metrik auf einer glatten Mannigfaltigkeit , so dass diese für die Zeit die partielle Differentialgleichung , löst, wobei die Ricci-Krümmung bezüglich der Metrik ist. Oder anders gesagt, der Ricci-Fluss weist für jedes eine Metrik aus der Familie zu, welche die Gleichung löst. Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die zur Folge hat, dass dort, wo die Ricci-Krümmung positiv ist, sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort, wo sie negativ ist, sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt. Heuristisch gilt, dass sich die Krümmung ähnlich wie eine Wärmeverteilung mit der Zeit gleichmäßig mittelt, und als Grenzfall eine Metrik konstanter Krümmung entsteht. Dies allerdings mathematisch zu präzisieren und zu beweisen ist ein schwieriges Problem, weil Singularitäten (das heißt Entartungen der Metrik) im Fluss auftreten können, so dass sich dieser unter Umständen nicht beliebig lange fortsetzen lässt. Eine wichtige Rolle spielt der Ricci-Fluss im Beweis der Geometrisierungs-Vermutung von 3-Mannigfaltigkeiten durch Grigori Perelman. (de) En geometría diferencial, el flujo de Ricci es un flujo geométrico e intrínseco — un proceso que deforma la métrica de una variedad de Riemann — en forma análoga a la difusión del calor, pero suavizando las irregularidades de la métrica de Riemann. Desempeña un papel importante en la demostración de la conjetura de Poincare (realizada en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelmán basándose en este propio principio), uno de los siete Problemas del Milenio por el cual el Clay Mathematics Institute ofrecía un premio de 1.000.000porlasolucioˊncorrecta,yenesecontextotambieˊnselollamaelflujodeRicci–Hamilton.(es)Dalamgeometridiferensial,alirRicciadalahinstrinsik−suatuprosesyangmendeformasimetrikmanifoldRiemannian−dalamhalinidalamcaraformalanalogdengandifusikalor,dengandemikianmelicinkanketakteraturandalammetrik.AlirRiccimemegangperananpentingdalampembuktian,salahsatudaritujuhyangmanamenawarkanhadiah1.000.000 por la solución correcta, y en ese contexto también se lo llama el flujo de Ricci–Hamilton. (es) Dalam geometri diferensial, alir Ricci adalah instrinsik - suatu proses yang mendeformasi metrik manifold Riemannian - dalam hal ini dalam cara formal analog dengan difusi kalor, dengan demikian melicinkan ketakteraturan dalam metrik. Alir Ricci memegang peranan penting dalam pembuktian , salah satu dari tujuh yang mana menawarkan hadiah 1.000.000porlasolucioˊncorrecta,yenesecontextotambieˊnselollamaelflujodeRicci–Hamilton.(es)Dalamgeometridiferensial,alirRicciadalahinstrinsik−suatuprosesyangmendeformasimetrikmanifoldRiemannian−dalamhalinidalamcaraformalanalogdengandifusikalor,dengandemikianmelicinkanketakteraturandalammetrik.AlirRiccimemegangperananpentingdalampembuktian,salahsatudaritujuhyangmanamenawarkanhadiah1,000,000 untuk solusi yang benar; lihat , dan dalam konteks ini juga disebutalir Ricci-Hamilton. (in) In the mathematical fields of differential geometry and geometric analysis, the Ricci flow (/ˈriːtʃi/ REE-chee, Italian: [ˈrittʃi]), sometimes also referred to as Hamilton's Ricci flow, is a certain partial differential equation for a Riemannian metric. It is often said to be analogous to the diffusion of heat and the heat equation, due to formal similarities in the mathematical structure of the equation. However, it is nonlinear and exhibits many phenomena not present in the study of the heat equation. The Ricci flow, so named for the presence of the Ricci tensor in its definition, was introduced by Richard Hamilton, who used it through the 1980s to prove striking new results in Riemannian geometry. Later extensions of Hamilton's methods by various authors resulted in new applications to geometry, including the resolution of the differentiable sphere conjecture by Simon Brendle and Richard Schoen. Following Shing-Tung Yau's suggestion that the singularities of solutions of the Ricci flow could identify the topological data predicted by William Thurston's geometrization conjecture, Hamilton produced a number of results in the 1990s which were directed towards the conjecture's resolution. In 2002 and 2003, Grigori Perelman presented a number of fundamental new results about the Ricci flow, including a novel variant of some technical aspects of Hamilton's program. Hamilton and Perelman's works are now widely regarded as forming a proof of the Thurston conjecture, including as a special case the Poincaré conjecture, which had been a well-known open problem in the field of geometric topology since 1904. Their results are considered as a milestone in the fields of geometry and topology. (en) Le programme de Hamilton est une idée de « plan d'attaque », due à Richard S. Hamilton, de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la célèbre conjecture de Poincaré. Cet article tente de décrire les raisons d'être de ce programme sans entrer dans les détails. (fr) リッチフロー (Ricci flow) とは、微分幾何学における本来の幾何学的フロー(geometric flow)の一つである。リッチフローは、熱伝導方程式に形式的に似た方法でリーマン多様体の計量の特異点を滑らかに変形する過程である。 グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)の名前に因むリッチフローは、最初にリチャード・ハミルトン (Richard Hamilton) により1981年に導入され、リッチ・ハミルトンフロー (Ricci–Hamilton flow) とも呼ばれる。リッチフローは、最初にグリゴリー・ペレルマン (Grigori Perelman) によりポアンカレ予想の証明のために使われ、同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる(differentiable sphere theorem) の証明に使われた。 (ja) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een Ricci-stroom een intrinsieke - een proces dat de metriek van een Riemann-variëteit vervormt - in dit geval op een manier die formeel analoog is aan de diffusie van warmte, waardoor onregelmatigheden in de metriek worden glad gestreken. De Ricci-stroom speelt een belangrijke rol in het bewijs van het vermoeden van Poincaré, een van de zeven Millenniumprijsprobleem, waarvoor het Clay Mathematics Instituut in het jaar 2000 voor een juiste oplossing een prijs van $1.000.000 dollar heeft uitgeloofd; zie de oplossing van het vermoeden van Poincaré. In deze context spreekt men ook van de Ricci-Hamilton-stroom. (nl) Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии. Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности. Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро. (ru) 里奇-哈密顿流，一般称为里奇流（英語：Ricci flow）在微分几何中是指一种固有的几何学流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让度规张量随时间变化，观察在流形的变形下，里奇曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是里奇-哈密顿流方程，是一个拟线性抛物型方程组。 里奇流以義大利數學家格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗的名字命名，由美國數學家理查德·哈密顿于1981年首次引入。这个工具同时被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷尔曼用于解决千禧年大奖难题之一的庞加莱猜想。同样的，西蒙·布伦德和理查德·肖恩正是使用它，使完成证明。 (zh) Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді. Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності. Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро. (uk) |
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Alir Ricci memegang peranan penting dalam pembuktian , salah satu dari tujuh yang mana menawarkan hadiah 1.000.000porlasolucioˊncorrecta,yenesecontextotambieˊnselollamaelflujodeRicci–Hamilton.(es)Dalamgeometridiferensial,alirRicciadalahinstrinsik−suatuprosesyangmendeformasimetrikmanifoldRiemannian−dalamhalinidalamcaraformalanalogdengandifusikalor,dengandemikianmelicinkanketakteraturandalammetrik.AlirRiccimemegangperananpentingdalampembuktian,salahsatudaritujuhyangmanamenawarkanhadiah1,000,000 untuk solusi yang benar; lihat , dan dalam konteks ini juga disebutalir Ricci-Hamilton. (in) Le programme de Hamilton est une idée de « plan d'attaque », due à Richard S. Hamilton, de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la célèbre conjecture de Poincaré. Cet article tente de décrire les raisons d'être de ce programme sans entrer dans les détails. (fr) リッチフロー (Ricci flow) とは、微分幾何学における本来の幾何学的フロー(geometric flow)の一つである。リッチフローは、熱伝導方程式に形式的に似た方法でリーマン多様体の計量の特異点を滑らかに変形する過程である。 グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)の名前に因むリッチフローは、最初にリチャード・ハミルトン (Richard Hamilton) により1981年に導入され、リッチ・ハミルトンフロー (Ricci–Hamilton flow) とも呼ばれる。リッチフローは、最初にグリゴリー・ペレルマン (Grigori Perelman) によりポアンカレ予想の証明のために使われ、同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる(differentiable sphere theorem) の証明に使われた。 (ja) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een Ricci-stroom een intrinsieke - een proces dat de metriek van een Riemann-variëteit vervormt - in dit geval op een manier die formeel analoog is aan de diffusie van warmte, waardoor onregelmatigheden in de metriek worden glad gestreken. De Ricci-stroom speelt een belangrijke rol in het bewijs van het vermoeden van Poincaré, een van de zeven Millenniumprijsprobleem, waarvoor het Clay Mathematics Instituut in het jaar 2000 voor een juiste oplossing een prijs van $1.000.000 dollar heeft uitgeloofd; zie de oplossing van het vermoeden van Poincaré. In deze context spreekt men ook van de Ricci-Hamilton-stroom. (nl) Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии. Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности. Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро. (ru) 里奇-哈密顿流，一般称为里奇流（英語：Ricci flow）在微分几何中是指一种固有的几何学流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让度规张量随时间变化，观察在流形的变形下，里奇曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是里奇-哈密顿流方程，是一个拟线性抛物型方程组。 里奇流以義大利數學家格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗的名字命名，由美國數學家理查德·哈密顿于1981年首次引入。这个工具同时被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷尔曼用于解决千禧年大奖难题之一的庞加莱猜想。同样的，西蒙·布伦德和理查德·肖恩正是使用它，使完成证明。 (zh) Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді. Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності. Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро. (uk) In der Mathematik ist der Ricci-Fluss (nach der nach Gregorio Ricci-Curbastro benannten Ricci-Krümmung) ein für eine riemannsche Metrik auf einer glatten Mannigfaltigkeit , so dass diese für die Zeit die partielle Differentialgleichung , löst, wobei die Ricci-Krümmung bezüglich der Metrik ist. Oder anders gesagt, der Ricci-Fluss weist für jedes eine Metrik aus der Familie zu, welche die Gleichung löst. 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