Monad (category theory) (original) (raw)
Eine Monade ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Struktur, die gewisse formale Ähnlichkeit mit den Monoiden der Algebra aufweist.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Eine Monade ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Struktur, die gewisse formale Ähnlichkeit mit den Monoiden der Algebra aufweist. (de) En teoría de categorías, una rama de matemáticas, una mónada (también llamada terna, tríada, construcción estándar o construcción fundamental) es un endofunctor (un functor desde una categoría hacia ella misma), junto con dos transformaciones naturales. Las mónadas son utilizadas en la teoría de pares de functores adjuntos, y generalizan los operadores de clausura en conjuntos parcialmente ordenados a categorías arbitrarias. (es) Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les (en), dont les (en). Elles constituent la théorie sous-jacente à la construction du même nom en programmation fonctionnelle. (fr) In category theory, a branch of mathematics, a monad (also triple, triad, standard construction and fundamental construction) is a monoid in the category of endofunctors. An endofunctor is a functor mapping a category to itself, and a monad is an endofunctor together with two natural transformations required to fulfill certain coherence conditions. Monads are used in the theory of pairs of adjoint functors, and they generalize closure operators on partially ordered sets to arbitrary categories. Monads are also useful in the theory of datatypes and in functional programming languages, allowing languages with non-mutable states to do things such as simulate for-loops; see Monad (functional programming). (en) Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monad (juga disebut tripel, triad, konstruksi standar dan konstruksi dasar) adalah (funktor memetakan kategori), dengan dua yang dibutuhkan untuk memenuhi . Monad digunakan dalam teori , dan mereka menggeneralisasi pada himpunan terurut parsial ke kategori arbitrer. (in) 数学の一分野である圏論において、モナド（英語: monad）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、（英語: bicategory）上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はである。 歴史的に、この構造は「双対標準構成（英: dual standard construction）」「トリプル（英: triple）」「モノイド（英: monoid）」「トライアド（英: triad）」と様々な呼称で呼ばれており、これについてソーンダース・マックレーンは『圏論の基礎』の中で「不幸にも「トリプル」という語がこの意味でしばしば用いられたことが無用な混乱を拡大した」と記している。「モナド」という語彙はライプニッツ（モナド (哲学) を参照）からの借用であるが、これを誰が名付けたかは定かではない。少なくとも（英語: Jean Bénabou）の1967年の論文に使用例が存在しており、1969年ごろの段階ではマックレーンもまだ呼称を決定していなかったことを（英語: Ross Street）が明かしている。 (ja) ( 이 문서는 수학에 관한 것입니다. 다른 뜻에 대해서는 모나드 문서를 참고하십시오.) 범주론에서 모나드(영어: monad)는 내부 함자 범주의 모노이드 대상이다. 폐포연산과 대수 구조 다양체의 공통적인 일반화이다. (ko) Monada (kategorii ) – w teorii kategorii, trójka dla której jest pewnym funktorem (kowariantnym), a ( oznacza identyczność) i są takimi transformacjami naturalnymi że: * * Na przykład jeżeli jest porządkiem częściowym, monadą nad jest monotoniczna funkcja taka, że oraz dla dowolnego (Te dwie nierówności wyrażają typy transformacji i Dzięki temu, że relacja jest przechodnia, diagramy w definicji monady komutują.) Z powyższych zależności dla wynika, że czyli Funkcja jest więc idempotentna i traktuje się ją zwykle jako operację domknięcia. (pl) Монада в теории категорий — тройка , где: * функтор из категории в себя, * естественное преобразование * естественное преобразование * следующая диаграмма коммутативна (ассоциативность): * следующая диаграмма коммутативна (двухсторонняя единица): Монада может быть определена через общее понятие моноида в моноидальной категории. Монада над категорией — это моноид в моноидальной категории эндофункторов . Дуальное категорное понятие для монады — . (ru) Na teoria das categorias, uma mónade, mônade ou mônada (ou tripla, nome porém menos usado) é um endofunctor, junto a duas transformações naturais, satisfazendo regras formalmente análogas às de um monoide. Aplicações do conceito incluem a determinação de equivalências com as categorias de álgebras sobre mônades, sendo centrais na álgebra universal, além do uso na ciência da computação como modelo conveniente para, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo. (pt) 數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction），是一個（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定的兩個自然變換，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對，並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Coherence_law_for_the_multiplication_of_a_monad.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.dcs.ed.ac.uk/home/dt/CT/categories.pdf%7Ctitle=Category http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22.pdf%7Ctitle=Category https://www.youtube.com/view_play_list%3Fp=0E91279846EC843E http://math.ucr.edu/home/baez/week89.html |
| dbo:wikiPageID | 355140 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 24436 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119078011 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Beck's_monadicity_theorem dbr:Power_set dbr:Roger_Godement dbr:Modal_logic dbr:Monoid_(category_theory) dbr:Monoidal_category dbr:Topos_theory dbr:Homeomorphisms dbr:Vector_space dbr:Interior_algebra dbr:Intuitionistic_logic dbr:Universal_algebra dbr:Commutative_diagrams dbr:Concatenation dbr:Convex_set dbr:Mathematics dbr:Natural_transformation dbr:Closure_operator dbr:Coherence_condition dbr:Galois_connection dbr:Monad_(functional_programming) dbr:Monoid dbr:Conservative_functor dbr:Equivalence_of_categories dbr:Opposite_category dbr:Functional_programming dbr:Functor dbr:Identity_element dbr:2-category dbr:Adjoint_functors dbc:Adjoint_functors dbr:Category_of_sets dbr:Type_theory dbr:Distributive_law_between_monads dbr:Dual_(category_theory) dbr:Hausdorff_space dbr:Lawvere_theory dbr:Algebraic_geometry dbr:Faithfully_flat_module dbr:Field_(mathematics) dbr:Partially_ordered_set dbr:Faithfully_flat_descent dbr:Forgetful_functor dbr:Double_dual dbr:Functional_programming_language dbr:Ultrafilter dbr:Group_(mathematics) dbr:Jean_Bénabou dbr:Associativity dbc:Category_theory dbr:Abstract_algebra dbr:Coalgebra dbr:Codensity_monad dbr:Coequalizer dbr:Highly_structured_ring_spectrum dbr:Symmetric_tensor dbr:Free_group dbr:Endofunctor dbr:If_and_only_if dbr:Category_(mathematics) dbr:Category_of_groups dbr:Category_theory dbr:Kleisli_category dbr:Mathematical_model dbr:Singleton_(mathematics) dbr:Union_(set_theory) dbr:Tensor_algebra dbr:Image_(mathematics) dbr:Strong_monad dbr:Polyad dbr:Dual_vector_space dbr:Variety_of_algebras dbr:S4_algebra dbr:Eilenberg–Moore_category dbr:Descent_(category_theory) dbr:Adjunction_(category_theory) dbr:Identity_functor dbr:Comonoid dbr:Compact_topological_space dbr:Monads_in_functional_programming dbr:B:Haskell/Category_theory dbr:File:Coherence_law_for_the_multiplication_of_a_monad.svg dbr:File:Coherence_law_for_the_unit_of_a_monad.svg dbr:File:Monad_morphism_algebra.svg dbr:File:Monad_multi_algebra.svg dbr:File:Monad_multiplication_explicit.svg dbr:File:Monad_unit_algebra.svg dbr:File:Monad_unit_explicit.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Distinguish dbt:For dbt:Harvtxt dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Spaces |
| dct:subject | dbc:Adjoint_functors dbc:Category_theory |
| gold:hypernym | dbr:Endofunctor |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | Eine Monade ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Struktur, die gewisse formale Ähnlichkeit mit den Monoiden der Algebra aufweist. (de) En teoría de categorías, una rama de matemáticas, una mónada (también llamada terna, tríada, construcción estándar o construcción fundamental) es un endofunctor (un functor desde una categoría hacia ella misma), junto con dos transformaciones naturales. Las mónadas son utilizadas en la teoría de pares de functores adjuntos, y generalizan los operadores de clausura en conjuntos parcialmente ordenados a categorías arbitrarias. (es) In category theory, a branch of mathematics, a monad (also triple, triad, standard construction and fundamental construction) is a monoid in the category of endofunctors. An endofunctor is a functor mapping a category to itself, and a monad is an endofunctor together with two natural transformations required to fulfill certain coherence conditions. Monads are used in the theory of pairs of adjoint functors, and they generalize closure operators on partially ordered sets to arbitrary categories. Monads are also useful in the theory of datatypes and in functional programming languages, allowing languages with non-mutable states to do things such as simulate for-loops; see Monad (functional programming). (en) Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monad (juga disebut tripel, triad, konstruksi standar dan konstruksi dasar) adalah (funktor memetakan kategori), dengan dua yang dibutuhkan untuk memenuhi . Monad digunakan dalam teori , dan mereka menggeneralisasi pada himpunan terurut parsial ke kategori arbitrer. (in) 数学の一分野である圏論において、モナド（英語: monad）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、（英語: bicategory）上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はである。 歴史的に、この構造は「双対標準構成（英: dual standard construction）」「トリプル（英: triple）」「モノイド（英: monoid）」「トライアド（英: triad）」と様々な呼称で呼ばれており、これについてソーンダース・マックレーンは『圏論の基礎』の中で「不幸にも「トリプル」という語がこの意味でしばしば用いられたことが無用な混乱を拡大した」と記している。「モナド」という語彙はライプニッツ（モナド (哲学) を参照）からの借用であるが、これを誰が名付けたかは定かではない。少なくとも（英語: Jean Bénabou）の1967年の論文に使用例が存在しており、1969年ごろの段階ではマックレーンもまだ呼称を決定していなかったことを（英語: Ross Street）が明かしている。 (ja) ( 이 문서는 수학에 관한 것입니다. 다른 뜻에 대해서는 모나드 문서를 참고하십시오.) 범주론에서 모나드(영어: monad)는 내부 함자 범주의 모노이드 대상이다. 폐포연산과 대수 구조 다양체의 공통적인 일반화이다. (ko) Monada (kategorii ) – w teorii kategorii, trójka dla której jest pewnym funktorem (kowariantnym), a ( oznacza identyczność) i są takimi transformacjami naturalnymi że: * * Na przykład jeżeli jest porządkiem częściowym, monadą nad jest monotoniczna funkcja taka, że oraz dla dowolnego (Te dwie nierówności wyrażają typy transformacji i Dzięki temu, że relacja jest przechodnia, diagramy w definicji monady komutują.) Z powyższych zależności dla wynika, że czyli Funkcja jest więc idempotentna i traktuje się ją zwykle jako operację domknięcia. (pl) Монада в теории категорий — тройка , где: * функтор из категории в себя, * естественное преобразование * естественное преобразование * следующая диаграмма коммутативна (ассоциативность): * следующая диаграмма коммутативна (двухсторонняя единица): Монада может быть определена через общее понятие моноида в моноидальной категории. Монада над категорией — это моноид в моноидальной категории эндофункторов . Дуальное категорное понятие для монады — . (ru) Na teoria das categorias, uma mónade, mônade ou mônada (ou tripla, nome porém menos usado) é um endofunctor, junto a duas transformações naturais, satisfazendo regras formalmente análogas às de um monoide. Aplicações do conceito incluem a determinação de equivalências com as categorias de álgebras sobre mônades, sendo centrais na álgebra universal, além do uso na ciência da computação como modelo conveniente para, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo. (pt) 數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction），是一個（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定的兩個自然變換，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對，並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。 (zh) Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. (fr) |
| rdfs:label | Monade (Kategorientheorie) (de) Mónada (teoría de categorías) (es) Monade (théorie des catégories) (fr) Monad (teori kategori) (in) モナド (圏論) (ja) 모나드 (범주론) (ko) Monad (category theory) (en) Monada (teoria kategorii) (pl) Mónade (teoria das categorias) (pt) Монада (теория категорий) (ru) 單子 (範疇論) (zh) |
| rdfs:seeAlso | dbr:F-algebra |
| owl:differentFrom | dbr:Monad_(linear_algebra) |
| owl:sameAs | freebase:Monad (category theory) wikidata:Monad (category theory) dbpedia-de:Monad (category theory) dbpedia-es:Monad (category theory) dbpedia-fr:Monad (category theory) dbpedia-id:Monad (category theory) dbpedia-ja:Monad (category theory) dbpedia-ko:Monad (category theory) dbpedia-pl:Monad (category theory) dbpedia-pt:Monad (category theory) dbpedia-ru:Monad (category theory) dbpedia-zh:Monad (category theory) https://global.dbpedia.org/id/bvs2 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Monad_(category_theory)?oldid=1119078011&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Coherence_law_for_the_multiplication_of_a_monad.svg wiki-commons:Special:FilePath/Coherence_law_for_the_unit_of_a_monad.svg wiki-commons:Special:FilePath/Monad_morphism_algebra.svg wiki-commons:Special:FilePath/Monad_multi_algebra.svg wiki-commons:Special:FilePath/Monad_multiplication_explicit.svg wiki-commons:Special:FilePath/Monad_unit_algebra.svg wiki-commons:Special:FilePath/Monad_unit_explicit.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Monad_(category_theory) |
| is dbo:knownFor of | dbr:Roger_Godement |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Monad |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:T-algebra dbr:Comonad dbr:Eilenberg–Moore_algebra dbr:Triple_(category_theory) dbr:Double_dualization_monad dbr:Algebra_for_a_monad dbr:Algebra_over_a_monad dbr:Cotriple dbr:Eilenberg-Moore_algebra dbr:Eilenberg-Moore_category dbr:Eilenberg–Moore_category dbr:Monad_(math) dbr:Monadic_adjunction dbr:Monadic_functor dbr:Tripleable |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Categories_for_the_Working_Mathematician dbr:Roger_Godement dbr:List_of_algebras dbr:Monad dbr:Monadic dbr:Monoid_(category_theory) dbr:Monoidal_category dbr:Monoidal_monad dbr:Olog dbr:David_Spivak dbr:Algebraic_structure dbr:Peter_Buneman dbr:Regular_category dbr:Ultrafilter_(set_theory) dbr:T-algebra dbr:Universal_algebra dbr:List_of_mathematical_uses_of_Latin_letters dbr:Pseudoalgebra dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Comonad dbr:Closure_operator dbr:Glossary_of_category_theory dbr:Conservative_functor dbr:Operad dbr:Adjoint_functors dbr:Distributive_law_between_monads dbr:Distributive_property dbr:Haskell_features dbr:Lawvere_theory dbr:Eta dbr:Field_with_one_element dbr:Band_(algebra) dbr:Eilenberg–Moore_algebra dbr:Pseudomonad dbr:Codensity_monad dbr:Triple_(category_theory) dbr:Reflective_subcategory dbr:Double_dualization_monad dbr:Arrow_(computer_science) dbr:Free_object dbr:Algebra_for_a_monad dbr:Algebra_over_a_monad dbr:Category_of_relations dbr:Kleisli_category dbr:Variety_(universal_algebra) dbr:F-algebra dbr:Strong_monad dbr:Universal_property dbr:Polyad dbr:Simplex_category dbr:Outline_of_category_theory dbr:Transformation_semigroup dbr:Cotriple dbr:Eilenberg-Moore_algebra dbr:Eilenberg-Moore_category dbr:Eilenberg–Moore_category dbr:Monad_(math) dbr:Monadic_adjunction dbr:Monadic_functor dbr:Tripleable |
| is dbp:knownFor of | dbr:Roger_Godement |
| is owl:differentFrom of | dbr:Monad_(linear_algebra) |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Monad_(category_theory) |
