Convergence of random variables (original) (raw)
En teoria de la probabilitat, l'estudi de la convergència de variables aleatòries és fonamental, tant per la seva riquesa matemàtica (lleis dels grans nombres, teorema del límit central, llei del logaritme iterat, etc.) com per les seves aplicacions a l'Estadística. En aquest article s'estudien les convergències més habituals: en distribució o llei, en probabilitat, quasi segura i en mitjana d'ordre . La referència general d'aquesta pàgina és Serfling on es troben les demostracions o les referències corresponents, i nombrosos exemples i contraexemples.
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(ca) في نظرية الاحتمالات، توجد عدة مفاهيم مختلفة لتقارب المتغيرات العشوائية. يعد تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية لبعض المتغيرات العشوائية الحد مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات وتطبيقاته على الإحصاء والعمليات العشوائية. تُعرف نفس المفاهيم في الرياضيات الأكثر عمومية باسم التقارب العشوائي وتضفي الطابع الرسمي على فكرة أنه يمكن توقع تسلسل الأحداث العشوائية أو غير المتوقعة في بعض الأحيان في سلوك لا يتغير بشكل أساسي عند دراسة العناصر البعيدة بدرجة كافية في التسلسل. تتعلق المفاهيم المختلفة الممكنة للتقارب بكيفية وصف مثل هذا السلوك: سلوكان مفهمان بسهولة هما أن التسلسل يأخذ في نهاية المطاف قيمة ثابتة، وأن القيم في التسلسل تستمر في التغيير ولكن يمكن وصفها بتوزيع الاحتمالات غير المتغير. (ar) V teorii pravděpodobnosti existuje několik různých pojmů konvergence náhodných proměnných. Konvergence posloupnosti náhodných proměnných k nějaké limitní náhodné proměnné je důležitým konceptem v teorii pravděpodobnosti, a v jejích aplikacích na statistiku a náhodné procesy. Stejné koncepty jsou známy v matematice obecněji jako stochastická konvergence a formalizují očekávání, že chování posloupnosti v zásadě náhodných nebo nepředpověditelných událostí se někdy může ustálit do formy, která se v zásadě nemění, když zkoumáme položky, které jsou v posloupnosti dostatečně daleko. Různé typy konvergence se odvíjejí od toho, jak lze takové chování charakterizovat: dva snadno představitelné případy jsou, že posloupnost začne být od určitého členu konstantní, nebo že hodnoty posloupnosti se budou dále měnit, ale bude možné je popsat nějakým pevným rozdělením pravděpodobnosti. (cs) In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem Stichprobenumfang, weil das asymptotische Verhalten der Experimente immer von den einzelnen Realisierungen abhängt und wir es also formal mit der Konvergenz von Funktionen zu tun haben. Daher haben sich im Laufe der Zeit unterschiedlich starke Konzepte herausgebildet, die wichtigsten dieser Konvergenzarten werden im Folgenden kurz vorgestellt. (de) Στη θεωρία πιθανοτήτων, υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες της σύγκλισης των τυχαίων μεταβλητών. Η σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών σε κάποιο όριο τυχαίας μεταβλητής είναι μια σημαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τις εφαρμογές της σε στατιστικές και στοχαστικές διαδικασίες. Οι ίδιες έννοιες είναι γνωστές στα γενικότερα μαθηματικά, όπως η σύγκλιση στοχαστικών και να επισημοποιήσει την ιδέα ότι μια σειρά από ουσιαστικά τυχαία ή απρόβλεπτα γεγονότα μπορούν μερικές φορές να εγκατασταθούν σε μια συμπεριφορά που είναι ουσιαστικά αμετάβλητη όταν τα αρκετά στοιχεία μέσα στην ακολουθία μελετώνται. Οι διάφορες πιθανές έννοιες της σύγκλισης σχετίζονται με το πώς μπορεί να χαρακτηριστεί μια τέτοια συμπεριφορά: δύο εύκολα κατανοητές συμπεριφορές είναι ότι η αλληλουχία παίρνει τελικά μια σταθερή τιμή, και ότι οι τιμές στην αλληλουχία συνεχίζουν να αλλάζουν, αλλά μπορεί να περιγραφεί με μια αμετάβλητη κατανομή πιθανότητας. (el) In probability theory, there exist several different notions of convergence of random variables. The convergence of sequences of random variables to some limit random variable is an important concept in probability theory, and its applications to statistics and stochastic processes. The same concepts are known in more general mathematics as stochastic convergence and they formalize the idea that a sequence of essentially random or unpredictable events can sometimes be expected to settle down into a behavior that is essentially unchanging when items far enough into the sequence are studied. The different possible notions of convergence relate to how such a behavior can be characterized: two readily understood behaviors are that the sequence eventually takes a constant value, and that values in the sequence continue to change but can be described by an unchanging probability distribution. (en) En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos. (es) Probabilitate teorian, konbergentzia estokastikoa zorizko aldagaien segida batek limitean duen joera aztertzen duen arloa da. Konbergentziaren azterketa funtsezkoa inferentzia estatistikoan, lagin handietan zenbatesleek dituzten propietateak aztertzean kasu. Konbergentzia modu asko daude, limiteko joerak nola definitzen diren; horrela, eta bereizten dira, besteak beste. Limitearen teorema zentrala, zenbaki handien legea eta bestelako teoremek ezartzen dituzte konbergentzia estokastikoaren emaitzak, zorizko aldagaiek segidak betetzen dituen baldintzen arabera. Konbergentzia estokastikoaren oinarri teorikoak XIX. mendean eta batez ere XX. mendearen lehenengo zatian garatu ziren, matematika-tresna zorrotzak erabiliz eta Andrei Kolmogoroven eskutik besteak beste. (eu) Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires (si celle-ci existe).Ce résultat est connu sous le nom de loi forte des grands nombres. Dans cet article, on suppose que (Xn) est une suite de variables aléatoires réelles, que X est une variable aléatoire réelle, et que toutes ces variables sont définies sur un même espace probabilisé . D'éventuelles généralisations seront discutées. (fr) In teoria della probabilità e statistica è molto vivo il problema di studiare fenomeni con comportamento incognito ma, nei grandi numeri, riconducibili a fenomeni noti e ben studiati. A ciò vengono in soccorso i vari teoremi di convergenza di variabili casuali, che appunto studiano le condizioni sotto cui certe successioni di variabili casuali di una certa distribuzione tendono ad altre distribuzioni. I più importanti risultati raggiungibili sotto forma di convergenza di variabili casuali sono il teorema centrale del limite, che afferma che, col crescere della numerosità di un campione, la distribuzione di probabilità della sua media è più o meno come quella di una gaussiana e la legge dei grandi numeri, che giustifica l'utilizzo della media del campione come stima del valore atteso della legge di ogni singola osservazione. Si distinguono più tipi di convergenza. Ognuna di queste condizioni si esporrà qua per variabili casuali reali univariate, ma si generalizza senza troppe difficoltà per variabili casuali multivariate. (it) 확률변수의 수렴에는 여러 가지의 정의가 존재한다. (ko) In de kansrekening kan convergentie van een rij stochastische variabelen verschillende betekenissen hebben. Anders dan bij rijen getallen is er geen voor de hand liggende definitie voor het asymptotische gedrag bij toenemende omvang van de steekproef. Daardoor zijn er verschillende convergentiebegrippen ontstaan, van verschillende sterkte. De belangrijkste daarvan worden in dit lemma besproken. Het gaat steeds om een rij stochastische variabelen , gedefinieerd op een kansruimte (nl) 数学の確率論の分野において、確率変数の収束（かくりつへんすうのしゅうそく、英: convergence of random variables）に関しては、いくつかの異なる概念がある。確率変数列のある極限への収束は、確率論や、その応用としての統計学や確率過程の研究における重要な概念の一つである。より一般的な数学において同様の概念は確率収束 (stochastic convergence) として知られ、その概念は、本質的にランダムあるいは予測不可能な事象の列は、その列から十分離れているアイテムを研究する場合において、しばしば、本質的に不変な挙動へと落ち着くことが予想されることがある、という考えを定式化するものである。異なる収束の概念とは、そのような挙動の特徴づけに関連するものである：すぐに分かる二つの挙動とは、その列が最終的に定数となるか、あるいはその列に含まれる値は変動を続けるがある不変な確率分布によってその変動が表現される、というようなものである。 (ja) Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą zbieżnością. (pl) Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин. (ru) Em teoria das probabilidades, existem várias noções diferentes de convergência de variáveis aleatórias. A convergência de sequências de variáveis aleatórias a alguma variável aleatória limite é um importante conceito em teoria das probabilidades e tem aplicações na estatística e nos processos estocásticos. Os mesmos conceitos são conhecidos em matemática geral como convergência estocástica e formalizam a ideia de que é possível esperar que uma sequência de eventos essencialmente aleatórios ou imprevisíveis às vezes mantenha um comportamento essencialmente imutável quando itens suficientemente distantes na sequência são estudados. As possíveis noções diferentes de convergência se relacionam a como tal comportamento pode ser caracterizado: dois comportamentos prontamente entendidos são que a sequência eventualmente assume um valor constante e que os valores na sequência continuam mudando, mas podem ser descritos por uma distribuição de probabilidade imutável. (pt) У теорії ймовірностей існує декілька видів збіжності випадкових величин. Збіжність послідовності випадкових величин до деякої граничної випадкової величини має широке застосування у статистиці та теорії випадкових процесів. (uk) 概率论中有若干关于随机变量收敛（Convergence of random variables）的定义。研究一列随机变量是否会收敛到某个极限随机变量是概率论中的重要内容，在统计概率和随机过程中都有应用。在更广泛的数学领域中，随机变量的收敛被称为随机收敛，表示一系列本质上随机不可预测的事件所发生的模式可以在样本数量足够大的时候得到合理可靠的预测。各种不同的收敛定义实际上是表示预测时不同的刻画方式。 (zh) |
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| dbp:data | Consider a man who tosses seven coins every morning. Each afternoon, he donates one pound to a charity for each head that appeared. The first time the result is all tails, however, he will stop permanently. (en) Suppose a new dice factory has just been built. The first few dice come out quite biased, due to imperfections in the production process. The outcome from tossing any of them will follow a distribution markedly different from the desired uniform distribution. (en) Consider an animal of some short-lived species. We record the amount of food that this animal consumes per day. This sequence of numbers will be unpredictable, but we may be quite certain that one day the number will become zero, and will stay zero forever after. (en) Let be the fraction of heads after tossing up an unbiased coin times. Then has the Bernoulli distribution with expected value and variance . The subsequent random variables will all be distributed binomially. (en) We may be almost sure that one day this amount will be zero, and stay zero forever after that. (en) Suppose that a random number generator generates a pseudorandom floating point number between 0 and 1. Let random variable represent the distribution of possible outputs by the algorithm. Because the pseudorandom number is generated deterministically, its next value is not truly random. Suppose that as you observe a sequence of randomly generated numbers, you can deduce a pattern and make increasingly accurate predictions as to what the next randomly generated number will be. Let be your guess of the value of the next random number after observing the first random numbers. As you learn the pattern and your guesses become more accurate, not only will the distribution of converge to the distribution of , but the outcomes of will converge to the outcomes of . (en) Consider the following experiment. First, pick a random person in the street. Let be their height, which is ex ante a random variable. Then ask other people to estimate this height by eye. Let be the average of the first responses. Then by the law of large numbers, the sequence will converge in probability to the random variable . (en) Suppose is an iid sequence of uniform random variables. Let be their sums. Then according to the central limit theorem, the distribution of approaches the normal distribution. This convergence is shown in the picture: as grows larger, the shape of the probability density function gets closer and closer to the Gaussian curve. center|200px (en) Let X1, X2, … be the daily amounts the charity received from him. (en) As the factory is improved, the dice become less and less loaded, and the outcomes from tossing a newly produced die will follow the uniform distribution more and more closely. (en) However, when we consider any finite number of days, there is a nonzero probability the terminating condition will not occur. (en) As grows larger, this distribution will gradually start to take shape more and more similar to the bell curve of the normal distribution. If we shift and rescale appropriately, then will be converging in distribution to the standard normal, the result that follows from the celebrated central limit theorem. (en) |
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| dbp:header | Dice factory (en) Example 1 (en) Example 2 (en) Graphic example (en) Height of a person (en) Predicting random number generation (en) Tossing coins (en) |
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| dbp:title | Examples of almost sure convergence (en) Examples of convergence in distribution (en) Examples of convergence in probability (en) |
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(ca) في نظرية الاحتمالات، توجد عدة مفاهيم مختلفة لتقارب المتغيرات العشوائية. يعد تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية لبعض المتغيرات العشوائية الحد مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات وتطبيقاته على الإحصاء والعمليات العشوائية. تُعرف نفس المفاهيم في الرياضيات الأكثر عمومية باسم التقارب العشوائي وتضفي الطابع الرسمي على فكرة أنه يمكن توقع تسلسل الأحداث العشوائية أو غير المتوقعة في بعض الأحيان في سلوك لا يتغير بشكل أساسي عند دراسة العناصر البعيدة بدرجة كافية في التسلسل. تتعلق المفاهيم المختلفة الممكنة للتقارب بكيفية وصف مثل هذا السلوك: سلوكان مفهمان بسهولة هما أن التسلسل يأخذ في نهاية المطاف قيمة ثابتة، وأن القيم في التسلسل تستمر في التغيير ولكن يمكن وصفها بتوزيع الاحتمالات غير المتغير. (ar) In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem Stichprobenumfang, weil das asymptotische Verhalten der Experimente immer von den einzelnen Realisierungen abhängt und wir es also formal mit der Konvergenz von Funktionen zu tun haben. Daher haben sich im Laufe der Zeit unterschiedlich starke Konzepte herausgebildet, die wichtigsten dieser Konvergenzarten werden im Folgenden kurz vorgestellt. (de) En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos. (es) Probabilitate teorian, konbergentzia estokastikoa zorizko aldagaien segida batek limitean duen joera aztertzen duen arloa da. Konbergentziaren azterketa funtsezkoa inferentzia estatistikoan, lagin handietan zenbatesleek dituzten propietateak aztertzean kasu. Konbergentzia modu asko daude, limiteko joerak nola definitzen diren; horrela, eta bereizten dira, besteak beste. Limitearen teorema zentrala, zenbaki handien legea eta bestelako teoremek ezartzen dituzte konbergentzia estokastikoaren emaitzak, zorizko aldagaiek segidak betetzen dituen baldintzen arabera. Konbergentzia estokastikoaren oinarri teorikoak XIX. mendean eta batez ere XX. mendearen lehenengo zatian garatu ziren, matematika-tresna zorrotzak erabiliz eta Andrei Kolmogoroven eskutik besteak beste. (eu) 확률변수의 수렴에는 여러 가지의 정의가 존재한다. (ko) In de kansrekening kan convergentie van een rij stochastische variabelen verschillende betekenissen hebben. Anders dan bij rijen getallen is er geen voor de hand liggende definitie voor het asymptotische gedrag bij toenemende omvang van de steekproef. Daardoor zijn er verschillende convergentiebegrippen ontstaan, van verschillende sterkte. De belangrijkste daarvan worden in dit lemma besproken. Het gaat steeds om een rij stochastische variabelen , gedefinieerd op een kansruimte (nl) 数学の確率論の分野において、確率変数の収束（かくりつへんすうのしゅうそく、英: convergence of random variables）に関しては、いくつかの異なる概念がある。確率変数列のある極限への収束は、確率論や、その応用としての統計学や確率過程の研究における重要な概念の一つである。より一般的な数学において同様の概念は確率収束 (stochastic convergence) として知られ、その概念は、本質的にランダムあるいは予測不可能な事象の列は、その列から十分離れているアイテムを研究する場合において、しばしば、本質的に不変な挙動へと落ち着くことが予想されることがある、という考えを定式化するものである。異なる収束の概念とは、そのような挙動の特徴づけに関連するものである：すぐに分かる二つの挙動とは、その列が最終的に定数となるか、あるいはその列に含まれる値は変動を続けるがある不変な確率分布によってその変動が表現される、というようなものである。 (ja) Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą zbieżnością. (pl) Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин. (ru) У теорії ймовірностей існує декілька видів збіжності випадкових величин. Збіжність послідовності випадкових величин до деякої граничної випадкової величини має широке застосування у статистиці та теорії випадкових процесів. (uk) 概率论中有若干关于随机变量收敛（Convergence of random variables）的定义。研究一列随机变量是否会收敛到某个极限随机变量是概率论中的重要内容，在统计概率和随机过程中都有应用。在更广泛的数学领域中，随机变量的收敛被称为随机收敛，表示一系列本质上随机不可预测的事件所发生的模式可以在样本数量足够大的时候得到合理可靠的预测。各种不同的收敛定义实际上是表示预测时不同的刻画方式。 (zh) V teorii pravděpodobnosti existuje několik různých pojmů konvergence náhodných proměnných. Konvergence posloupnosti náhodných proměnných k nějaké limitní náhodné proměnné je důležitým konceptem v teorii pravděpodobnosti, a v jejích aplikacích na statistiku a náhodné procesy. Stejné koncepty jsou známy v matematice obecněji jako stochastická konvergence a formalizují očekávání, že chování posloupnosti v zásadě náhodných nebo nepředpověditelných událostí se někdy může ustálit do formy, která se v zásadě nemění, když zkoumáme položky, které jsou v posloupnosti dostatečně daleko. Různé typy konvergence se odvíjejí od toho, jak lze takové chování charakterizovat: dva snadno představitelné případy jsou, že posloupnost začne být od určitého členu konstantní, nebo že hodnoty posloupnosti se budou (cs) Στη θεωρία πιθανοτήτων, υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες της σύγκλισης των τυχαίων μεταβλητών. Η σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών σε κάποιο όριο τυχαίας μεταβλητής είναι μια σημαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τις εφαρμογές της σε στατιστικές και στοχαστικές διαδικασίες. Οι ίδιες έννοιες είναι γνωστές στα γενικότερα μαθηματικά, όπως η σύγκλιση στοχαστικών και να επισημοποιήσει την ιδέα ότι μια σειρά από ουσιαστικά τυχαία ή απρόβλεπτα γεγονότα μπορούν μερικές φορές να εγκατασταθούν σε μια συμπεριφορά που είναι ουσιαστικά αμετάβλητη όταν τα αρκετά στοιχεία μέσα στην ακολουθία μελετώνται. Οι διάφορες πιθανές έννοιες της σύγκλισης σχετίζονται με το πώς μπορεί να χαρακτηριστεί μια τέτοια συμπεριφορά: δύο εύκολα κατανοητές συμπεριφορές είναι ότι η αλληλουχία παίρνει τελικά μια (el) In probability theory, there exist several different notions of convergence of random variables. The convergence of sequences of random variables to some limit random variable is an important concept in probability theory, and its applications to statistics and stochastic processes. The same concepts are known in more general mathematics as stochastic convergence and they formalize the idea that a sequence of essentially random or unpredictable events can sometimes be expected to settle down into a behavior that is essentially unchanging when items far enough into the sequence are studied. The different possible notions of convergence relate to how such a behavior can be characterized: two readily understood behaviors are that the sequence eventually takes a constant value, and that values (en) Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires (si celle-ci existe).Ce résultat est connu sous le nom de loi forte des grands nombres. (fr) In teoria della probabilità e statistica è molto vivo il problema di studiare fenomeni con comportamento incognito ma, nei grandi numeri, riconducibili a fenomeni noti e ben studiati. A ciò vengono in soccorso i vari teoremi di convergenza di variabili casuali, che appunto studiano le condizioni sotto cui certe successioni di variabili casuali di una certa distribuzione tendono ad altre distribuzioni. (it) Em teoria das probabilidades, existem várias noções diferentes de convergência de variáveis aleatórias. A convergência de sequências de variáveis aleatórias a alguma variável aleatória limite é um importante conceito em teoria das probabilidades e tem aplicações na estatística e nos processos estocásticos. Os mesmos conceitos são conhecidos em matemática geral como convergência estocástica e formalizam a ideia de que é possível esperar que uma sequência de eventos essencialmente aleatórios ou imprevisíveis às vezes mantenha um comportamento essencialmente imutável quando itens suficientemente distantes na sequência são estudados. 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