Closed and exact differential forms (original) (raw)
在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 是微分算子 的核，即 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) 是微分算子 的像，即存在某个微分形式 使得 ， 称为关于 的一个“本原”。 因为 ，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。 当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 与 是闭形式，且存在某个 使得 则我们说 与 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。 与 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 ，故只有 1-形式 具有真正的意义，其外导数 是 这里下标表示偏导数。从而 “闭”的条件是 当 是一个函数时则 “恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。 在上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。
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| dbo:abstract | A l'entorn del càlcul vectorial i dins la topologia diferencial, els conceptes de forma tancada i forma exacta són definits per les formes diferencials, per les equacions d α = 0 perquè una forma donada α sigui una forma tancada, i Α = d β per a una forma exacta, amb α donada i β desconeguda. Com d ² = 0, ser exacta és condició suficient de ser tancada. En termes abstractes, l'interès principal d'aquest parell de definicions és de preguntar si aquesta és també una condició necessària és una manera de detectar la per condicions diferencials. No té cap sentit real preguntar si una 0-forma és exacta, ja que d augmenta el grau en 1. Els casos de formes diferencials en R ² i R ³ eren ja ben conegudes a la física matemàtica del segle xix. En el pla, 0-formes són simplement funcions, i les 2-formes són funcions per l'element d'àrea bàsica dx.dy , de manera que són les 1-formes Α = f ( x , i ) dx + g ( x , i ) di les que són d'interès real. La fórmula per a la derivada exterior d és d α = ( f i - g x ) dx . di on els subíndexs denoten derivades parcials per tant la condició perquè α sigui tancada és f i = g x . En aquest cas si h ( x , i ) és una funció llavors dh = h x dx + h i di . La implicació de 'exacta' a 'tancada' és llavors una conseqüència de la simetria de les segones derivades, pel que fa a x i i . El resultat topològic fonamental aquí és el lema de Poincaré . Estableix que per a un subconjunt obert contractista de X , qualsevol p -forma diferenciable definida en X que sigui tancada, és també exacta, per a qualsevol nombre enter p > 0 (això té contingut només quan p és a màxim n ). Això no és veritat per a un anell obert en el pla, per a algunes 1-formes que no s'estenen suaument al disc sencer, de manera que una certa condició topològica és necessària. En termes de la cohomologia de De Rham, el lema diu que els conjunts contractives tenen els grups de cohomología d'un punt (considerant que els 0-formes constants són tancades però vacu no són exactes). (ca) In mathematics, especially vector calculus and differential topology, a closed form is a differential form α whose exterior derivative is zero (dα = 0), and an exact form is a differential form, α, that is the exterior derivative of another differential form β. Thus, an exact form is in the image of d, and a closed form is in the kernel of d. For an exact form α, α = dβ for some differential form β of degree one less than that of α. The form β is called a "potential form" or "primitive" for α. Since the exterior derivative of a closed form is zero, β is not unique, but can be modified by the addition of any closed form of degree one less than that of α. Because d2 = 0, every exact form is necessarily closed. The question of whether every closed form is exact depends on the topology of the domain of interest. On a contractible domain, every closed form is exact by the . More general questions of this kind on an arbitrary differentiable manifold are the subject of de Rham cohomology, which allows one to obtain purely topological information using differential methods. (en) En matemáticas, en el cálculo vectorial y en la topología diferencial, los conceptos de forma cerrada y forma exacta son definidos para las formas diferenciales, por las ecuaciones para que una forma dada α sea una forma cerrada, y para una forma exacta, con dada y desconocida. Como , ser exacta es condición suficiente para ser cerrada. En términos abstractos, el interés principal de este par de definiciones es preguntar si ésta es también una condición necesaria es una manera de detectar la por condiciones diferenciales. No tiene ningún sentido real preguntar si una 0-forma es exacta, dado que d aumenta el grado en 1. (es) 在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 是微分算子 的核，即 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) 是微分算子 的像，即存在某个微分形式 使得 ， 称为关于 的一个“本原”。 因为 ，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。 当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 与 是闭形式，且存在某个 使得 则我们说 与 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。 与 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 ，故只有 1-形式 具有真正的意义，其外导数 是 这里下标表示偏导数。从而 “闭”的条件是 当 是一个函数时则 “恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。 在上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。 (zh) |
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| rdfs:label | Formes diferencials tancades i exactes (ca) Closed and exact differential forms (en) Formas diferenciales cerradas y exactas (es) 闭形式和恰当形式 (zh) |
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