Polylogarithm (original) (raw)
수학에서 다중로그(多重log, 영어: polylogarithm 폴리로거리듬[*]) 또는 폴리로그는 로그를 일반화한 특수 함수이다.
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| dbo:abstract | Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe definiert ist. Für geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über: In den Fällen und spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe und mit . Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ausdehnen. In den wichtigsten Anwendungsfällen ist eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken. Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ) einzeln berechnet werden. (de) El polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière) es una función especial definida por la siguiente serie: Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica. La definición dada arriba es válida para todo número complejo s y z tal que . Para obtener el polilogaritmo en el resto del plano complejo, hay que extender la definición mediante una continuación analítica. El caso especial nos da la relación de estas funciones con el logaritmo mientras que los casos especiales y se denominan dilogaritmo (o función de Spence) y trilogaritmo respectivamente. El nombre de la función proviene del hecho de que podría ser definida como integrales iteradas de la misma función: así, el dilogaritmo es una integral del logaritmo, el trilogaritmo del dilogaritmo y así continuamente. Para valores enteros negativos de s, el polilogaritmo es una función racional. El polilogaritmo también aparece en la forma cerrada de la integral de la distribución de Fermi-Dirac y de la distribución de Bose-Einstein, denominándose a veces como la integral de Fermi-Dirac o la integral de Bose-Einstein. El polilogaritmo no debe confundirse con las ni con la función logaritmo integral, la cual tiene una notación similar. (es) In mathematics, the polylogarithm (also known as Jonquière's function, for Alfred Jonquière) is a special function Lis(z) of order s and argument z. Only for special values of s does the polylogarithm reduce to an elementary function such as the natural logarithm or a rational function. In quantum statistics, the polylogarithm function appears as the closed form of integrals of the Fermi–Dirac distribution and the Bose–Einstein distribution, and is also known as the Fermi–Dirac integral or the Bose–Einstein integral. In quantum electrodynamics, polylogarithms of positive integer order arise in the calculation of processes represented by higher-order Feynman diagrams. The polylogarithm function is equivalent to the Hurwitz zeta function — either function can be expressed in terms of the other — and both functions are special cases of the Lerch transcendent. Polylogarithms should not be confused with polylogarithmic functions nor with the offset logarithmic integral which has the same notation, but with one variable. * Different polylogarithm functions in the complex plane * Li -3(z) * Li -2(z) * Li -1(z) * Li0(z) * Li1(z) * Li2(z) * Li3(z) The polylogarithm function is defined by a power series in z, which is also a Dirichlet series in s: This definition is valid for arbitrary complex order s and for all complex arguments z with |z | < 1; it can be extended to | z | ≥ 1 by the process of analytic continuation. (Here the denominator ns is understood as exp(s ln(n)). The special case s = 1 involves the ordinary natural logarithm, Li1(z) = −ln(1−z), while the special cases s = 2 and s = 3 are called the dilogarithm (also referred to as Spence's function) and trilogarithm respectively. The name of the function comes from the fact that it may also be defined as the repeated integral of itself: thus the dilogarithm is an integral of a function involving the logarithm, and so on. For nonpositive integer orders s, the polylogarithm is a rational function. (en) La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout s et |
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| rdfs:comment | 수학에서 다중로그(多重log, 영어: polylogarithm 폴리로거리듬[*]) 또는 폴리로그는 로그를 일반화한 특수 함수이다. (ko) Polilogarytm (funkcja Jonquière’a) – funkcja specjalna zdefiniowana w następujący sposób: . Szereg ten jest zbieżny dla i dowolnego zespolonego Z tego względu to punkt osobliwy dla każdego Można także zdefiniować polilogarytm w sposób rekurencyjny: dla Uogólnieniem funkcji jest (ang. Lerch transcendent). (pl) Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som (sv) A função polilogarítmica ou polilogaritmo (também conhecida como função de Jonquière) é uma função especial definida pela seguinte série: Esta não é, em geral, uma função elementar, ainda que esteja relacionada com a função logarítmica. A definição dada acima é válida para todo número complexo s e z tal que . Para obter o polilogaritmo no restante do plano complexo, deve-se estender a definição mediante uma extensão analítica. (pt) Полілогарифм — спеціальна функція, що позначається і визначається як нескінченний степеневий ряд де s і z — комплексні числа, причому . Для інших z робиться узагальнення за допомогою аналітичного продовження. * Карта висот полілогарифма на комплексній площині * * * * * * * Частковим випадком є , за якого . Функції і отримали назви дилогарифма і відповідно. Для полілогарифмів різних порядків виконується співвідношення Альтернативними визначеннями полілогарифма є інтеграли Фермі — Дірака і . (uk) Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая и определяемая как бесконечный степенной ряд где s и z — комплексные числа, причём . Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения. * Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости * * * * * * * Частным случаем является , при котором . Функции и получили названия дилогарифма и соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и . (ru) 多重对数函数（英語：polylogarithm，也称：Jonquière's function）是数学中一种特殊的幂级数，定义为： 一般来说，多重对数函数不像对数函数那样是一个初等函数。上述定义中，自变量|z | < 1，s对所有复数值有效。通过解析延拓，可以将z的定义域扩展到更大的范围。 s = 1時的多重对数函数可以用自然對數表示（Li1(z) = −ln(1−z)），s = 2和3的多重对数函数分別稱為dilogarithm及trilogarithm，其名稱的由來是多重对数函数表示為以下的遞迴積分式： 因此s = 2的多重对数函数可表示為自然對數的積分，以此類推。若其階數s為零或負的整數，其多重对数函数為有理函數。 多重对数函数出現在费米-狄拉克分佈及玻色-爱因斯坦分佈解析解的積分式中，因此也稱為费米-狄拉克積分或玻色-爱因斯坦積分。 (zh) El polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière) es una función especial definida por la siguiente serie: Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica. La definición dada arriba es válida para todo número complejo s y z tal que . Para obtener el polilogaritmo en el resto del plano complejo, hay que extender la definición mediante una continuación analítica. (es) Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe definiert ist. Für geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über: In den Fällen und spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe und mit . Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ausdehnen. In den wichtigsten Anwendungsfällen ist eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch (de) La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout s et | z | < 1 par : Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble ℂ des nombres complexes. Les cas particuliers s = 2 et s = 3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein. (fr) In mathematics, the polylogarithm (also known as Jonquière's function, for Alfred Jonquière) is a special function Lis(z) of order s and argument z. Only for special values of s does the polylogarithm reduce to an elementary function such as the natural logarithm or a rational function. In quantum statistics, the polylogarithm function appears as the closed form of integrals of the Fermi–Dirac distribution and the Bose–Einstein distribution, and is also known as the Fermi–Dirac integral or the Bose–Einstein integral. In quantum electrodynamics, polylogarithms of positive integer order arise in the calculation of processes represented by higher-order Feynman diagrams. (en) In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze se per ogni tale che . Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto tramite il prolungamento analitico. Per il polilogaritmo coincide col classico logaritmo Per il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale. quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via. (it) 解析学における多重対数関数（たじゅうたいすうかんすう）またはポリ対数関数（ポリたいすうかんすう、英: polylogarithm、略称ポリログ）もしくはジョンキエールの関数（ジョンキエールのかんすう、仏: fonction de Jonquière）とは特殊関数の一つで、通常 と書かれ、以下のように定義される： ここで は任意の複素数（ただし ）とする。普通、多重対数関数は（対数関数と異なり）初等関数には含めない。 一般に は に関して に極または分岐点を持つので、定義式には という条件が必要であるが、解析接続を用いることで、これより広い範囲の に対し多重対数関数を定義することができる。また、後述する例のように、 を特定の値に固定して、 を の関数とみなす場合には、 の場合であっても、特定の に対しては が収束する場合もある。 特に の場合はよく知られた自然対数に帰着される： また および の場合は特にそれぞれdilogarithm（またはSpenceの関数、en:Spence's function）およびtrilogarithmと呼ばれる。これらの名前は、冒頭の和の代わりに以下のような積分の繰り返しによっても定義できることから来ている： 例えばdilogarithmは自然対数を用いた積分である等。 が負の整数値を取るとき、多重対数関数は有理関数となる。 (ja) |
| rdfs:label | Polylogarithmus (de) Función polilogarítmica (es) Fonction polylogarithme (fr) Polilogaritmo (it) 다중로그 (ko) 多重対数関数 (ja) Polylogarithm (en) Polilogarytm (pl) Função polilogarítmica (pt) Полилогарифм (ru) Polylogaritmen (sv) 多重对数函数 (zh) Полілогарифм (uk) | |||
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