Calculus of variations (original) (raw)

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El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional.Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.

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dbo:abstract El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional.Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable. (ca) حساب التغيرات (بالإنجليزية: Calculus of variations)‏ هو من مجالات التحليل الرياضي الذي يتعامل مع زيادة أو تقليل تابعي الدوال التي هي عبارة عن تعيينات من مجموعة من الدوال إلى أعداد حقيقية. غالباً ما يتم التعبير عن تابعات الدوال هذه بتكاملات محددة تشمل الدوال ومشتقاتها. ويكون الاهتمام بالمتغيرات التي تجعل الدوال تصل إلى قيمة عظمى أو صغرى التي يكون فيها معدل التغير صفر. مثال بسيط لهذه المشكلة هو إيجاد منحنى له أقصر طول يربط بين نقطتين. إذا لم يكن هناك أية قيود، فمن الواضح أن الحل خط مستقيم بين نقطتين. ومع ذلك، إذا كان المنحنى مقيد بأن يقع على سطح في الفضاء، إذا فالحل أقل وضوحاً، وربما العديد من الحلول قد تكون موجودة. هذه الحلول معروفة باسم الخطوط الجيوديسية . ومن المشاكل ذات الصلة يعرضها مبدأ فيرما : الضوء يتبع طريق أقصر طول ضوئي يربط بين نقطتين، حيث أن الطول الضوئي يعتمد على المادة المكونة للوسط .من المفاهيم في الميكانيكا هو مبدأ أقل عمل. العديد من المشاكل الهامة تشمل دوال بها عدة متغيرات. حلول المشاكل التي بها قيمة للحدود لمعادلة لابلاس تلبي مبدأ ديريتشليت. مشكلة بلاتو تتطلب إيجاد مساحة أقل منطقة التي تمتد في محيط معين في الفضاء. على الرغم من أن مثل هذه التجارب سهلة نسبياً للتنفيذ، فإن تفسيرها الرياضي أبعد ما يكون عن البساطة: قد يكون هناك واحد أو أكثر من الأسطح ذي مساحة دنيا. (ar) Variační počet je odvětvím matematické analýzy, které se zabývá maximalizací a minimalizací funkcionálů, což jsou zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel. Funkcionály se často vyjadřují jako určité integrály obsahující funkce a jejich derivace. Pozornost je zaměřena na extrémní funkce, pro které funkcionál dosahuje maximální nebo minimální hodnoty, a na stacionární funkce, kde je rychlost změny funkcionálu nulová. Jednoduchým příkladem takového problému je hledání křivky nejkratší délky propojující dva body. V jednoduchém případě je zřejmým řešením úsečka spojující oba body. Pokud ale vyžadujeme, aby křivka ležela v určitém povrchu v prostoru, pak řešení je méně zjevné a může jich existovat i více. Taková řešení jsou známa jako geodetiky. Příbuzný problém plyne z Fermatova principu: světlo se mezi dvěma body šíří po dráze s nejkratší optickou délkou, přičemž optická vzdálenost závisí na vlastnostech prostředí. V mechanice je podobným konceptem . Mnoho důležitých problémů vyžaduje studium funkcí několika proměnných. Řešení okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici musí vyhovovat Dirichletovu principu. je hledání minimálního povrchu, který pokrývá danou prostorovou křivku; řešení lze snadno nalézt ponořením rámečku, který má tvar příslušné křivky, do mýdlového roztoku. Matematická interpretace však není jednoduchá: může se jednat o více než jednu lokální minimalizaci povrchu a výsledek může mít netriviální topologii. (cs) Ο λογισμός των μεταβολών ή μεταβολικός λογισμός είναι κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτησιακών ή τα οποία είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς. Τα συναρτησιακά συχνά εκφράζονται ως ορισμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων και παραγώγων αυτών. Στο λογισμό των μεταβολών το ενδιαφέρον μας στρέφεται γύρω από τις ακρότατες συναρτήσεις, που είναι εκείνες για τις οποίες το συναρτησιακό λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, ή γύρω από τις στάσιμες συναρτήσεις, για τις οποίες η τιμή του συναρτησιακού παραμένει αμετάβλητη. (el) Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de ekstremumaj funkcioj de . La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj. Unu el la plej simplaj ekzemploj de ĉi tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du punktoj. Se ne estas limigoj, la solvaĵo estas evidente rekta streko inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kuŝi sur surfaco en spaco, la solvaĵo estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaĵoj povas ekzisti. Ĉi tiaj solvaĵoj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per en optiko: lumo sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en mekaniko estas la . Multaj gravaj problemoj engaĝas funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaĵoj de randaj valoraj problemoj por la laplaca ekvacio kontentigas la . postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaĵoj povas troviĝi per drata konturo kaj sapa solvaĵo. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn. (eo) The calculus of variations (or Variational Calculus) is a field of mathematical analysis that uses variations, which are small changes in functionsand functionals, to find maxima and minima of functionals: mappings from a set of functions to the real numbers. Functionals are often expressed as definite integrals involving functions and their derivatives. Functions that maximize or minimize functionals may be found using the Euler–Lagrange equation of the calculus of variations. A simple example of such a problem is to find the curve of shortest length connecting two points. If there are no constraints, the solution is a straight line between the points. However, if the curve is constrained to lie on a surface in space, then the solution is less obvious, and possibly many solutions may exist. Such solutions are known as geodesics. A related problem is posed by Fermat's principle: light follows the path of shortest optical length connecting two points, which depends upon the material of the medium. One corresponding concept in mechanics is the principle of least/stationary action. Many important problems involve functions of several variables. Solutions of boundary value problems for the Laplace equation satisfy the Dirichlet's principle. Plateau's problem requires finding a surface of minimal area that spans a given contour in space: a solution can often be found by dipping a frame in soapy water. Although such experiments are relatively easy to perform, their mathematical formulation is far from simple: there may be more than one locally minimizing surface, and they may have non-trivial topology. (en) Die Variationsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik (Optimierung), der theoretischen und der mathematischen Physik. Sie wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu einem Fachgebiet entwickelt. Die Variationsrechnung, ihre verwandten Themen und Anwendungen sind Gegenstand aktueller Lehre, Weiterentwicklung und Forschung. Die Frage „Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden?“ ist das 23. Problem auf Hilberts Liste. Weitere Beiträge lieferten u. a. die Mathematiker Ennio De Giorgi und Charles Morrey. Ihre Forschungsarbeiten führte zur Lösung des 19. Hilbert-Problems mit der Herausforderung „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“. Die von der deutschen Mathematikerin Emmy Noether entwickelten Theoreme, die mit der Variationsrechnung zusammenhängen, spielen heutzutage eine bedeutende Rolle in der modernen Physik (Symmetrie). Der US-Mathematikerin Karen Uhlenbeck wurde 2019 der Abelpreis zugesprochen. Uhlenbeck hat sich intensiv mit der Variationsrechnung befasst. (de) El cálculo de variaciones o cálculo variacional es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable. (es) Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du XVIIIe siècle jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950. Le calcul des variations a des applications dans de nombreux domaines : 1. * l'inconnue étant une courbe paramétrée, on recherche une courbe de longueur minimale (ou extrémale), autrement dit une géodésique ; c'est une question fondamentale en géométrie différentielle ; 2. * l'inconnue étant une surface, on recherche, pour un périmètre donné, la surface d'aire maximale (problème d'isopérimétrie) ; 3. * en physique, le principe de moindre action affirme que les mouvements d'un système matériel se produisent de manière, sinon à minimiser l'action, du moins à rendre celle-ci stationnaire. Ces mouvements peuvent donc être déterminés en minimisant ou en rendant stationnaire cette fonctionnelle, ce qui fait du calcul des variations un outil fondamental pour les physiciens (formulation variationnelle des équations de la physique) ; 4. * une condition nécessaire d'extremum (ou plus généralement de stationnarité) de la fonctionnelle est l'équation d'Euler-Lagrange. Or, il arrive que le but qu'on se propose soit précisément la résolution d'une équation différentielle qu'on montre (en résolvant le « problème inverse du calcul des variations ») être l'équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel ; la résolution de celui-ci (effectuée, par exemple, en passant au ) fournit la solution de celle-là. Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : 1. * l'équation d'Euler-Lagrange (condition nécessaire du premier ordre) ; 2. * les conditions de transversalité (dans le cas de problèmes à extrémités variables) ; 3. * les conditions du second ordre de minimum faible de Legendre et de Jacobi ; 4. * les conditions du second ordre de minimum fort de Weierstrass ; 5. * la relation entre formalisme lagrangien et le formalisme hamiltonien (transformation de Legendre) ; 6. * les équations de Hamilton-Jacobi et le théorème de Jacobi ; 7. * enfin, pour ses applications à la physique, le théorème de Noether. (fr) 변분법(變分法, 영어: calculus of variations)이란 미적분학의 한 분야로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다. (ko) 解析学の一分野、変分法（へんぶんほう、英: calculus of variations, variational calculus; 変分解析学）は、汎函数（函数の集合から実数への写像）の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。 そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは力学における最小作用の原理に対応する。 重要な問題の多くが多変数函数を含む。ラプラス方程式の境界値問題の解はディリクレの原理を満足する。 は空間内の与えられた周回路の張る面積が最小の曲面（）を求める問題であり、しばしばその解を石鹸水に浸した枠が張る石鹸膜として見つけるデモンストレーションを目にする。こうした経験は比較的容易に実験できるけれども、その数学的解釈は簡単とはほど遠い（局所的に最小化する曲面は複数存在し得るし、非自明な位相を持ち得る）。 (ja) Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi funzionale che si occupa della ricerca e delle proprietà dei punti estremali (i massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni. I funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate; l'interesse è per le funzioni "estremali", cioè quelle che rendono massimo o minimo il valore del funzionale. Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa forma; un esempio è quello della curva brachistocrona, il percorso da un punto A ad un punto B non allineati verticalmente lungo il quale una particella sottoposta alla gravità scenderebbe nel minor tempo. In questo caso si deve minimizzare la funzione che rappresenta il tempo fra tutte le curve da A a B. (it) Variatierekening is een onderdeel van de functionaalanalyse, dat is het gebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met 'functies van functies'. In de variatierekening wordt gezocht naar functies waarvoor de relevante functionaal een stationair punt heeft, dus een maximum, een minimum of een zadelpunt. De variatierekening is in de 18e eeuw ontwikkeld door Euler en Lagrange. In veel gevallen wordt de algemene oplossing gevonden gegeven door de Euler-Lagrange-vergelijking, een partiële differentiaalvergelijking. (nl) Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych. Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji. (pl) O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero. Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação. (pt) Variationskalkyl behandlar problemet att bestämma det minsta värdet av en funktional E(f) som beror av en funktion f. Genom att välja olika funktioner f fås olika värden på funktionalen E(f). Problemet är att finna den funktion f som ger det minsta värdet hos E(f). Medan man i vanlig matematisk analys varierar ett tal och söker efter det tal x som ger det minsta eller största värdet hos en given fix funktion g(x), så varierar man i variationskalkyl en funktion, f, för att hitta ett extremvärde. Ett viktigt problem som går att lösa med hjälp av variationskalkyl är problemet att bestämma det kortaste avståndet E(f) mellan två fixerade punkter där f är en funktion som går genom de fixerade punkterna. En viktig sak att notera är vilken mängd de två punkterna i fråga tillhör: * Om de ligger i det tredimensionella rummet är det kortaste avståndet den räta linje som sammanbinder punkterna. * Om de ligger på ett klot är det kortaste avståndet en storcirkelbåge som sammanbinder punkterna. För att matematiskt formulera variationsproblemet då de fixerade punkterna, och , ligger i planet låter vi vara en funktion som går genom de två punkterna: och Längden E(f) hos funktionens graf ges då av integralen där betecknar derivatan av funktionen f. Genom att variera funktionen f får vi olika värden på längden E(f). Vi vill se vad som händer med längden för funktionskurvor som ligger nära funktionskurvan f. Ett sätt att göra detta på är att ersätta f med funktionen där är ett litet positivt tal och en godtyckligt vald funktion som låter sig deriveras obegränsat. (sv) Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — один из мощнейших инструментов получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике (см. Вариационные принципы). (ru) Варіаці́йне чи́слення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Примітка: функціонали можна також інтегрувати по простору функцій. Цю операцію вперше застосував американський фізик Річард Фейнман, ввівши поняття інтеграла функціонала по траєкторіях. Цей інтеграл виявляється збіжним за умови, що підінтегральний функціонал досить швидко прямує до нуля, коли осциляції аргументної функції наростають. (uk) 变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。 (zh)
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rdfs:comment El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional.Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable. (ca) Ο λογισμός των μεταβολών ή μεταβολικός λογισμός είναι κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτησιακών ή τα οποία είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς. Τα συναρτησιακά συχνά εκφράζονται ως ορισμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων και παραγώγων αυτών. Στο λογισμό των μεταβολών το ενδιαφέρον μας στρέφεται γύρω από τις ακρότατες συναρτήσεις, που είναι εκείνες για τις οποίες το συναρτησιακό λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, ή γύρω από τις στάσιμες συναρτήσεις, για τις οποίες η τιμή του συναρτησιακού παραμένει αμετάβλητη. (el) El cálculo de variaciones o cálculo variacional es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable. (es) 변분법(變分法, 영어: calculus of variations)이란 미적분학의 한 분야로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다. (ko) Variatierekening is een onderdeel van de functionaalanalyse, dat is het gebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met 'functies van functies'. In de variatierekening wordt gezocht naar functies waarvoor de relevante functionaal een stationair punt heeft, dus een maximum, een minimum of een zadelpunt. De variatierekening is in de 18e eeuw ontwikkeld door Euler en Lagrange. In veel gevallen wordt de algemene oplossing gevonden gegeven door de Euler-Lagrange-vergelijking, een partiële differentiaalvergelijking. (nl) Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych. Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji. (pl) Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — один из мощнейших инструментов получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике (см. Вариационные принципы). (ru) Варіаці́йне чи́слення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Примітка: функціонали можна також інтегрувати по простору функцій. Цю операцію вперше застосував американський фізик Річард Фейнман, ввівши поняття інтеграла функціонала по траєкторіях. Цей інтеграл виявляється збіжним за умови, що підінтегральний функціонал досить швидко прямує до нуля, коли осциляції аргументної функції наростають. (uk) 变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。 (zh) حساب التغيرات (بالإنجليزية: Calculus of variations)‏ هو من مجالات التحليل الرياضي الذي يتعامل مع زيادة أو تقليل تابعي الدوال التي هي عبارة عن تعيينات من مجموعة من الدوال إلى أعداد حقيقية. غالباً ما يتم التعبير عن تابعات الدوال هذه بتكاملات محددة تشمل الدوال ومشتقاتها. ويكون الاهتمام بالمتغيرات التي تجعل الدوال تصل إلى قيمة عظمى أو صغرى التي يكون فيها معدل التغير صفر. (ar) Variační počet je odvětvím matematické analýzy, které se zabývá maximalizací a minimalizací funkcionálů, což jsou zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel. Funkcionály se často vyjadřují jako určité integrály obsahující funkce a jejich derivace. Pozornost je zaměřena na extrémní funkce, pro které funkcionál dosahuje maximální nebo minimální hodnoty, a na stacionární funkce, kde je rychlost změny funkcionálu nulová. (cs) The calculus of variations (or Variational Calculus) is a field of mathematical analysis that uses variations, which are small changes in functionsand functionals, to find maxima and minima of functionals: mappings from a set of functions to the real numbers. Functionals are often expressed as definite integrals involving functions and their derivatives. Functions that maximize or minimize functionals may be found using the Euler–Lagrange equation of the calculus of variations. (en) Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de ekstremumaj funkcioj de . La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj. (eo) Die Variationsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik (Optimierung), der theoretischen und der mathematischen Physik. Sie wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu einem Fachgebiet entwickelt. Die Variationsrechnung, ihre verwandten Themen und Anwendungen sind Gegenstand aktueller Lehre, Weiterentwicklung und Forschung. Die Frage „Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden?“ ist das 23. Problem auf Hilberts Liste. Weitere Beiträge lieferten u. a. die Mathematiker Ennio De Giorgi und Charles Morrey. Ihre Forschungsarbeiten führte zur Lösung des 19. Hilbert-Problems mit der Herausforderung „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“. Die von der deutschen Mathematikerin Emmy Noeth (de) Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : (fr) Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi funzionale che si occupa della ricerca e delle proprietà dei punti estremali (i massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni. (it) 解析学の一分野、変分法（へんぶんほう、英: calculus of variations, variational calculus; 変分解析学）は、汎函数（函数の集合から実数への写像）の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。 そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは力学における最小作用の原理に対応する。 (ja) O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero. (pt) Variationskalkyl behandlar problemet att bestämma det minsta värdet av en funktional E(f) som beror av en funktion f. Genom att välja olika funktioner f fås olika värden på funktionalen E(f). Problemet är att finna den funktion f som ger det minsta värdet hos E(f). Medan man i vanlig matematisk analys varierar ett tal och söker efter det tal x som ger det minsta eller största värdet hos en given fix funktion g(x), så varierar man i variationskalkyl en funktion, f, för att hitta ett extremvärde. där är ett litet positivt tal och en godtyckligt vald funktion som låter sig deriveras obegränsat. (sv)
rdfs:label Calculus of variations (en) حساب المتغيرات (ar) Càlcul de variacions (ca) Variační počet (cs) Variationsrechnung (de) Λογισμός των μεταβολών (el) Variada kalkulo (eo) Cálculo de variaciones (es) Calcul des variations (fr) Calcolo delle variazioni (it) 変分法 (ja) 변분법 (ko) Variatierekening (nl) Rachunek wariacyjny (pl) Cálculo variacional (pt) Вариационное исчисление (ru) Variationskalkyl (sv) Варіаційне числення (uk) 变分法 (zh)
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