Dyadics (original) (raw)
En mathématiques, et plus précisément en algèbre multilinéaire, le produit dyadique de deux vecteurs, et , chacun ayant la même dimension, est le produit tensoriel de ces vecteurs, lequel est un tenseur d'ordre deux et de rang un.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Das dyadische Produkt (kurz auch Dyade von griech. δύας, dýas „Zweiheit“) oder tensorielle Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Vektoren. Das Ergebnis eines dyadischen Produkts ist eine Matrix (oder ein Tensor zweiter Stufe) mit dem Rang eins. Das dyadische Produkt kann als Spezialfall eines Matrizenprodukts einer einspaltigen Matrix mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden; es entspricht dann dem Kronecker-Produkt dieser beiden Matrizen. Um den Gegensatz zum inneren Produkt (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch äußeres Produkt genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt verwendet wird. Das Konzept des dyadischen Produkts geht auf den US-amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs zurück, der es erstmals im Jahr 1881 im Rahmen seiner Vektoranalysis formulierte. (de) In mathematics, specifically multilinear algebra, a dyadic or dyadic tensor is a second order tensor, written in a notation that fits in with vector algebra. There are numerous ways to multiply two Euclidean vectors. The dot product takes in two vectors and returns a scalar, while the cross product returns a pseudovector. Both of these have various significant geometric interpretations and are widely used in mathematics, physics, and engineering. The dyadic product takes in two vectors and returns a second order tensor called a dyadic in this context. A dyadic can be used to contain physical or geometric information, although in general there is no direct way of geometrically interpreting it. The dyadic product is distributive over vector addition, and associative with scalar multiplication. Therefore, the dyadic product is linear in both of its operands. In general, two dyadics can be added to get another dyadic, and multiplied by numbers to scale the dyadic. However, the product is not commutative; changing the order of the vectors results in a different dyadic. The formalism of dyadic algebra is an extension of vector algebra to include the dyadic product of vectors. The dyadic product is also associative with the dot and cross products with other vectors, which allows the dot, cross, and dyadic products to be combined to obtain other scalars, vectors, or dyadics. It also has some aspects of matrix algebra, as the numerical components of vectors can be arranged into row and column vectors, and those of second order tensors in square matrices. Also, the dot, cross, and dyadic products can all be expressed in matrix form. Dyadic expressions may closely resemble the matrix equivalents. The dot product of a dyadic with a vector gives another vector, and taking the dot product of this result gives a scalar derived from the dyadic. The effect that a given dyadic has on other vectors can provide indirect physical or geometric interpretations. Dyadic notation was first established by Josiah Willard Gibbs in 1884. The notation and terminology are relatively obsolete today. Its uses in physics include continuum mechanics and electromagnetism. In this article, upper-case bold variables denote dyadics (including dyads) whereas lower-case bold variables denote vectors. An alternative notation uses respectively double and single over- or underbars. (en) En mathématiques, et plus précisément en algèbre multilinéaire, le produit dyadique de deux vecteurs, et , chacun ayant la même dimension, est le produit tensoriel de ces vecteurs, lequel est un tenseur d'ordre deux et de rang un. (fr) In matematica, specialmente nell'algebra multilineare, una diade è un tensore di secondo ordine, scritto in una notazione che si adatta all'. Trattasi di un ente geometrico caratterizzato dalla sua influenza e la sua azione su altri vettori dello spazio vettoriale di tramite il prodotto scalare. Per la continuazione sull'argomento diadi è utile far riferimento all'operazione di prodotto diadico. (it) Een dyade of dyadisch product van twee vectoren uit dezelfde vectorruimte is het tensorproduct dat ontstaat als matrixproduct van de eerste vector opgevat als kolomvector en de tweede vector opgevat als rijvector. Het begrip is ingevoerd door de Amerikaanse natuurkundige Josiah Willard Gibbs. Algemeen kan het dyadisch product van de vectoren en gedefinieerd worden door de eisen dat voor elke vector moet gelden: en waarin het inproduct voorstelt. De in de inleiding gegeven definitie van dyade voor euclidische vectoren: kan dan afgeleid worden. (nl) 多重線型代数学における二項積（にこうせき、英: dyadic）あるいは二項テンソル (dyadic tensor) は、二つのベクトルのある種の積として得られる二階テンソルである。二項積はしばしば二つのベクトルを併置することで表され、しかしその振舞いは行列に対応する法則に従う。二項積に関する用語や概念は今日では比較的時代遅れのものであるが、連続体力学や電磁気学などの物理学において引き続き用例がある。 二項積の記法を確立した最初の人はジョサイア・ウィラード・ギブスで1884年の事である。 （本項では、大文字太字は二項積、小文字太字はベクトルを表すものとする。別な表記法として二項積およびベクトルのそれぞれに二重および一重の上付きまたは下付きのバーを付けるものがある。） (ja) Em álgebra linear, o produto diádico é referido tipicamente ao produto tensorial de dois vetores. O resultado da aplicação do produto diádico a um par de é uma matriz. O produto diádico de vetores pode também ser identificado como um caso especial do de matrizes. (pt) Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) z wektorem (wierszowym) tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np. Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy. (pl) 在多重線性代數裡，並矢張量(dyadic tensor)是一個以特別標記法寫出的二階張量，是由成對的向量並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表達式，類似於矩陣代數規則的方法。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢(dyad)。兩個單位基底向量的並矢積稱為單位並矢(unit dyad)。純量與單位並矢的乘積就是並矢。 例如，設定兩個三維向量 和 ， ， ； 其中， 、 、，形成了一個三維空間裏的標準正交基的單位基底向量。 那麼， 與 並置成為 ； 其中， 、 、 等等，都是單位並矢， 、 、 等等，都是並矢。 並矢張量 也可以表達為 。 (zh) Діада — це тензор другого рангу в спеціальному записі. Двоелементний тензор складається з пари векторів. Кожна частина двоелементного тензора це пара (dyad). Пара це з'єднання двох базисних векторів і скалярних коефіцієнтів. Наприклад: і це пара двовимірних векторів. Тоді з'єднання A і X це: . Двоелементний тривимірний тензор це i i + j j + k k. Двоелементний тензор j i − i j це оператор обертання на 90° в двох вимірах. Він діє зліва від вектора і проводить обертання: (uk) Диа́да — это специальный тензор второго ранга, внешнее произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид В бескоординатной форме , либо просто Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц. (ru) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.ismolindell.com/publications/monographs/pdf/Aftis.pdf https://web.archive.org/web/20100626102357/http:/www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf https://web.archive.org/web/20100630182142/http:/my.ece.ucsb.edu/bobsclass/201B/W01/vectors.pdf https://web.archive.org/web/20150501040845/http:/chem4823.usask.ca/nmr/tensor.pdf http://www.stanford.edu/class/me331b/documents/VectorBasisIndependent.pdf%7Cauthor=P. https://archive.org/details/vectoranalysis00gibb/page/260 https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20050175884_2005173651.pdf |
| dbo:wikiPageID | 17928005 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 29170 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117395991 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_coordinates dbr:Rodrigues'_rotation_formula dbr:Scalar_multiplication dbr:Electromagnetism dbr:Monomial dbr:Bra–ket_notation dbr:Determinant dbr:Josiah_Willard_Gibbs dbr:Vector_space dbr:Pseudovector dbr:Quaternions dbr:Column_vector dbr:Commutative dbr:Continuum_mechanics dbr:Cross_product dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_algebra dbr:McGraw-Hill dbr:Engineering dbr:Multilinear_algebra dbr:Lorentz_boost dbr:Stanford dbr:Frobenius_inner_product dbr:Standard_basis dbr:Physics dbr:Plane_(geometry) dbr:Three-dimensional_space dbr:Trace_(linear_algebra) dbr:Transpose dbr:Distributive_property dbr:Dual_basis dbr:Linear_map dbr:Square_matrix dbr:Dual_space dbr:Euclidean_space dbr:Euclidean_vector dbr:Field_(mathematics) dbr:Rank_(linear_algebra) dbr:Vector_projection dbr:Vector_rejection dbr:Isomorphic dbr:Tensor dbr:Tensor_product dbr:Tensor_rank dbc:Tensors dbr:Bivector dbr:Tensor_(intrinsic_definition) dbr:Vector_algebra dbr:Differential_form dbr:Dimension dbr:Dot_product dbr:Special_relativity dbr:Tensor_order dbr:Inner_product dbr:Kronecker_product dbr:Associative dbr:Unit_vector dbr:Lorentz_factor dbr:Scalar_(physics) dbr:Row_and_column_vectors dbr:Linear dbr:Outer_product dbr:Multivector dbr:Polyadic_algebra dbr:Vector_addition dbr:Levi-Civita_tensor dbr:Basis_vector dbr:Basis_vectors dbr:Rotation_operator_(vector_space) dbr:Cross_product_matrix dbr:Adjugate dbr:Complex_vector |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_news dbt:Dubious dbt:Further dbt:Main dbt:N/a dbt:Ordered_list dbt:Reflist dbt:Tensors |
| dct:subject | dbc:Tensors |
| gold:hypernym | dbr:Tensor |
| rdf:type | yago:WikicatTensors yago:Abstraction100002137 yago:Cognition100023271 yago:Concept105835747 yago:Content105809192 yago:Idea105833840 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:Quantity105855125 yago:Tensor105864481 yago:Variable105857459 |
| rdfs:comment | En mathématiques, et plus précisément en algèbre multilinéaire, le produit dyadique de deux vecteurs, et , chacun ayant la même dimension, est le produit tensoriel de ces vecteurs, lequel est un tenseur d'ordre deux et de rang un. (fr) In matematica, specialmente nell'algebra multilineare, una diade è un tensore di secondo ordine, scritto in una notazione che si adatta all'. Trattasi di un ente geometrico caratterizzato dalla sua influenza e la sua azione su altri vettori dello spazio vettoriale di tramite il prodotto scalare. Per la continuazione sull'argomento diadi è utile far riferimento all'operazione di prodotto diadico. (it) Een dyade of dyadisch product van twee vectoren uit dezelfde vectorruimte is het tensorproduct dat ontstaat als matrixproduct van de eerste vector opgevat als kolomvector en de tweede vector opgevat als rijvector. Het begrip is ingevoerd door de Amerikaanse natuurkundige Josiah Willard Gibbs. Algemeen kan het dyadisch product van de vectoren en gedefinieerd worden door de eisen dat voor elke vector moet gelden: en waarin het inproduct voorstelt. De in de inleiding gegeven definitie van dyade voor euclidische vectoren: kan dan afgeleid worden. (nl) 多重線型代数学における二項積（にこうせき、英: dyadic）あるいは二項テンソル (dyadic tensor) は、二つのベクトルのある種の積として得られる二階テンソルである。二項積はしばしば二つのベクトルを併置することで表され、しかしその振舞いは行列に対応する法則に従う。二項積に関する用語や概念は今日では比較的時代遅れのものであるが、連続体力学や電磁気学などの物理学において引き続き用例がある。 二項積の記法を確立した最初の人はジョサイア・ウィラード・ギブスで1884年の事である。 （本項では、大文字太字は二項積、小文字太字はベクトルを表すものとする。別な表記法として二項積およびベクトルのそれぞれに二重および一重の上付きまたは下付きのバーを付けるものがある。） (ja) Em álgebra linear, o produto diádico é referido tipicamente ao produto tensorial de dois vetores. O resultado da aplicação do produto diádico a um par de é uma matriz. O produto diádico de vetores pode também ser identificado como um caso especial do de matrizes. (pt) Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) z wektorem (wierszowym) tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np. Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy. (pl) 在多重線性代數裡，並矢張量(dyadic tensor)是一個以特別標記法寫出的二階張量，是由成對的向量並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表達式，類似於矩陣代數規則的方法。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢(dyad)。兩個單位基底向量的並矢積稱為單位並矢(unit dyad)。純量與單位並矢的乘積就是並矢。 例如，設定兩個三維向量 和 ， ， ； 其中， 、 、，形成了一個三維空間裏的標準正交基的單位基底向量。 那麼， 與 並置成為 ； 其中， 、 、 等等，都是單位並矢， 、 、 等等，都是並矢。 並矢張量 也可以表達為 。 (zh) Діада — це тензор другого рангу в спеціальному записі. Двоелементний тензор складається з пари векторів. Кожна частина двоелементного тензора це пара (dyad). Пара це з'єднання двох базисних векторів і скалярних коефіцієнтів. Наприклад: і це пара двовимірних векторів. Тоді з'єднання A і X це: . Двоелементний тривимірний тензор це i i + j j + k k. Двоелементний тензор j i − i j це оператор обертання на 90° в двох вимірах. Він діє зліва від вектора і проводить обертання: (uk) Диа́да — это специальный тензор второго ранга, внешнее произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид В бескоординатной форме , либо просто Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц. (ru) In mathematics, specifically multilinear algebra, a dyadic or dyadic tensor is a second order tensor, written in a notation that fits in with vector algebra. There are numerous ways to multiply two Euclidean vectors. The dot product takes in two vectors and returns a scalar, while the cross product returns a pseudovector. Both of these have various significant geometric interpretations and are widely used in mathematics, physics, and engineering. The dyadic product takes in two vectors and returns a second order tensor called a dyadic in this context. A dyadic can be used to contain physical or geometric information, although in general there is no direct way of geometrically interpreting it. (en) Das dyadische Produkt (kurz auch Dyade von griech. δύας, dýas „Zweiheit“) oder tensorielle Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Vektoren. Das Ergebnis eines dyadischen Produkts ist eine Matrix (oder ein Tensor zweiter Stufe) mit dem Rang eins. Das dyadische Produkt kann als Spezialfall eines Matrizenprodukts einer einspaltigen Matrix mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden; es entspricht dann dem Kronecker-Produkt dieser beiden Matrizen. Um den Gegensatz zum inneren Produkt (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch äußeres Produkt genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt verwendet wird. (de) |
| rdfs:label | Dyadisches Produkt (de) Dyadics (en) Produit dyadique (fr) Diade (matematica) (it) 二項積 (ja) Dyade (wiskunde) (nl) Iloczyn diadyczny (pl) Диада (ru) Produto diádico (pt) Діада (uk) 並矢張量 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Dyadics yago-res:Dyadics wikidata:Dyadics dbpedia-de:Dyadics dbpedia-fr:Dyadics dbpedia-it:Dyadics dbpedia-ja:Dyadics dbpedia-nl:Dyadics dbpedia-pl:Dyadics dbpedia-pt:Dyadics dbpedia-ru:Dyadics dbpedia-sl:Dyadics dbpedia-sq:Dyadics http://tg.dbpedia.org/resource/Диада dbpedia-uk:Dyadics dbpedia-zh:Dyadics https://global.dbpedia.org/id/2Fonx |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Dyadics?oldid=1117395991&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Dyadics |
| is dbo:knownFor of | dbr:Josiah_Willard_Gibbs |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Dyadic |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Dyad_product dbr:Dyadic_product dbr:Dyadic_tensor dbr:Double-dot_product dbr:Diadic dbr:Diadic_product |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Derivation_of_the_Navier–Stokes_equations dbr:Josiah_Willard_Gibbs dbr:Vector_calculus_identities dbr:Index_of_physics_articles_(D) dbr:Radiation_stress dbr:Electromagnetic_wave_equation dbr:Geometric_algebra dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Crystal_plasticity dbr:Strassen_algorithm dbr:APL_(programming_language) dbr:Tensor dbr:Dyadic dbr:Bivector dbr:Dot_product dbr:Navier–Stokes_equations dbr:Chapman–Enskog_theory dbr:Outer_product dbr:Two-vector dbr:Stigma_management dbr:Dyad_product dbr:Dyadic_product dbr:Dyadic_tensor dbr:Double-dot_product dbr:Diadic dbr:Diadic_product |
| is dbp:knownFor of | dbr:Josiah_Willard_Gibbs |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Index_notation |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Dyadics |