Quaternion (original) (raw)
Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions) αποτελούν μία μη-αντιμεταθετική επέκταση της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών. Παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά από τον Ιρλανδό μαθηματικό Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον το 1843 και εφαρμόστηκαν στη μηχανική μέσα στον τρισδιάστατο χώρο. Η αρχική διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό ήταν σε μορφή τετραδονίων. Σήμερα, στις περισσότερες εφαρμογές έχουν αντικατασταθεί από την απλούστερη . Παρόλα αυτά, συναντώνται ακόμη σε εφαρμογές όπως στα τρισδιάστατα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η άλγεβρα των τετραδονίων συχνά συμβολίζεται με το γράμμα H (προς τιμήν του Hamilton) ή με το παχύ (Unicode U+210D, ℍ).
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion) في مجال الرياضيات هو امتداد عملية غير تبديلية للأعداد المركبة. وصَف الكواتيرنيون السير ويليام هاميلتون في عام1843 وطبقهم على الميكانيك في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في البداية تم اعتبار الكواتيرنيون عنصرا غير مفيد لأنها تخالف قانون العملية التبديلية ab = ba. على الرغم أنه تم الاستعاضة عنهم في كثير من التطبيقات بالأشعة والمصفوفات، إلا ما زال يوجد لهم العديد من الاستخدامات في الرياضيات النظرية والتطبيقية، بشكل خاص الحسابات المتعلقة بالدوران ثلاثي الأبعاد كما في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد. في العصر الحديث يشار إلى الكواترنيون بالرمز الجبري H نسبة إلى العالم هاميلتون أو باستخدام الرمز العريض . (ar) V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení. Poprvé byly kvaterniony popsány Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843 a na jeho počest se obvykle označují počátečním písmenem jeho příjmení . Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly komutativní zákon, postupně ale našly uplatnění jak v teoretické fyzice, tak v aplikované matematice (nyní jsou obvykle pohodlně vystihnuty maticovým počtem, mnohdy za jistou cenu i pomocí vektorů). (cs) Els quaternions són una generalització dels nombres complexos, de tal manera que si un nombre complex defineix dues dimensions afegint la component i (cal recordar que ), un quaternió defineix quatre dimensions afegint les components i,j,k, de manera que: Es pot resumir en aquesta taula de multiplicació: Un quaternió, doncs, és un nombre de la forma: z = a + bi + cj + dk, on els 4 nombres reals a, b, c i d defineixen únicament el quaternió z. El valor absolut del quaternió z es defineix com a: La multiplicació de quaternions té les propietats associativa i distributiva però no la commutativa: el conjunt dels quaternions és, doncs, un cos no abelià. Van ser ideats per Sir William Rowan Hamilton, el 16 d'octubre de 1843 (un dilluns) després de pensar bastant de temps en com era possible multiplicar "", o trios de nombres (de fet, és impossible). Va ser mentre, caminant amb la seva dona, anava a presidir una reunió a l'Reial Acadèmia d'Irlanda; la idea li va venir de sobte i se'n va alegrar tant que va gravar la fórmula esmentada a un dels carreus d'un pont que hi havia al camí. Tot i així, ja havien estat estudiats uns anys abans (1840) de forma geomètrica pel matemàtic francès Olinde Rodrigues, malgrat que la seva obra va ser poc o gens coneguda. (ca) Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions) αποτελούν μία μη-αντιμεταθετική επέκταση της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών. Παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά από τον Ιρλανδό μαθηματικό Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον το 1843 και εφαρμόστηκαν στη μηχανική μέσα στον τρισδιάστατο χώρο. Η αρχική διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό ήταν σε μορφή τετραδονίων. Σήμερα, στις περισσότερες εφαρμογές έχουν αντικατασταθεί από την απλούστερη . Παρόλα αυτά, συναντώνται ακόμη σε εφαρμογές όπως στα τρισδιάστατα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η άλγεβρα των τετραδονίων συχνά συμβολίζεται με το γράμμα H (προς τιμήν του Hamilton) ή με το παχύ (Unicode U+210D, ℍ). (el) Die Quaternionen (Singular die Quaternion, von lateinisch quaternio, -ionis f. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von Sir William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton. Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit bezeichnet. Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, also nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen und , bei denen ist.Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten Assoziativ- und Distributivgesetz sowie multiplikative Invertierbarkeit, d. h. die Existenz des Inversen zu jedem . Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik. Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen. Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes. (de) Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que , los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que: , como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley. Los elementos 1, i, j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4. (es) Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta , hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta 1, i, j eta k oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, 1 elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri 1 elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen. Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte: . Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, ijk=-1 ekuazioari bi aldeetan k biderkatuz ijkk =-1k lortuko genuke, baina kk =-1 denez, -ij =-k bezala adieraz genezake, edo beste era batera, ij = k. Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute: Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu: (a1 + b1i + c1j + d1k ).(a2 + b2i + c2j + d2k) = a1 a2 + a1 b2i + a1c2j + a1 d2k + b1a2i + b1b2ii + b1c2ij + b1d2ik + c1a2j + c1b2ji + c1c2jj + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki + d1c2kj + d1d2kk Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz, a1 a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1 b2i + b1a2i + c1d2i - d1c2i + a1c2j + c1a2j - b1d2j + d1b2j + a1 d2k + d1a2k + b1c2k - c1b2k azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du: (a1 a2 - (b1b2 + c1c2 + d1d2)) 1 + (a1 b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2) i + (a1c2 + c1a2 - b1d2 + d1b2) j + (a1 d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2) k Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia, Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke: eta non "·" biderketa eskalarra den eta and "×" bektore biderketa den. q koaternioiaren norma honela definitzen da: Koaternioien biderketak elkartze-legea eta betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa da. (eu) San ailgéabar, is éard is ceathairníon (iolra ceathairnín) ann ná eagar ceithre réaduimhir, ordaithe de réir dlíthe áirithe ceaptha. Léirítear na dlíthe ceaptha mar seo: * * . Is sampla é d'ailgéabar neamhchomhalartach de bhrí nach bhfuil an t-iolrú malartach. Tugadh an t-ainm “na ceathairnín” ar an ailgéabar seo mar gheall ar an ceathair uimhir i ngach ord. Bhain na fisiceoirí an chuid choimpléascach amach as chun oibriú le veicteoirí. Ba é an matamaiticeoir Éireannach William Rowan Hamilton a d'fhionn na ceathairnín agus a shaothraigh an réimse seo matamaitice i dtús báire. Ar 16 Deireadh Fómhair 1843 i mBaile Átha Cliath, bhí Hamilton ag siúl chuig Acadamh Ríoga na hÉireann, áit a raibh sé le bheith i gceannas ar chruinniú comhairle. Agus é ag siúl feadh na Canála Ríoga in éineacht lena bhean chéile, bhí na coincheapa taobh thiar de na ceathairnín ag teacht chun cinn ina intinn. Nuair a tháinig an freagra chuige, ghrean sé foirmle na gceathairníon i gcloch ar Dhroichead Brougham: Cé nach bhfuil an greanadh infheicthe a thuilleadh, bíonn oilithreacht go dtí an áit gach bliain ar a dtugtar an Hamilton Walk. Siúlann grúpa eolaithe agus matamaiticeoirí ó Réadlann Dhún Sinche go Droichead na Canálach Ríoga i gcuimhne ar fhionnachtain Hamilton. (ga) En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres où la multiplication n'est plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur. Les quaternions sont ainsi le premier exemple de nombres hypercomplexes. D'après le théorème de Frobenius ce sont aussi les derniers, au sens où il n'existe pas de système de nombres plus général à moins de renoncer à l'associativité de la multiplication. Mathématiquement, l'ensemble des quaternions est une algèbre associative unifère sur le corps des nombres réels engendrée par trois éléments , et satisfaisant les relations quaternioniques : . C'est une algèbre à division : tout quaternion non nul admet un inverse. La multiplication des quaternions n'étant pas commutative, est le premier exemple de corps non commutatif. Dans une publication sur les octonions, le mathématicien John Baez rappelle une perte progressive de propriétés : les réels sont complets et ordonnés, les complexes ne sont pas ordonnés, mais se comportent « algébriquement bien », les quaternions ne sont plus commutatifs, et les octonions ne sont plus même associatifs. (fr) In mathematics, the quaternion number system extends the complex numbers. Quaternions were first described by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1843 and applied to mechanics in three-dimensional space. Hamilton defined a quaternion as the quotient of two directed lines in a three-dimensional space, or, equivalently, as the quotient of two vectors. Multiplication of quaternions is noncommutative. Quaternions are generally represented in the form where a, b, c, and d are real numbers; and i, j, and k are the basic quaternions. Quaternions are used in pure mathematics, but also have practical uses in applied mathematics, particularly for calculations involving three-dimensional rotations, such as in three-dimensional computer graphics, computer vision, and crystallographic texture analysis. They can be used alongside other methods of rotation, such as Euler angles and rotation matrices, or as an alternative to them, depending on the application. In modern mathematical language, quaternions form a four-dimensional associative normed division algebra over the real numbers, and therefore a ring, being both a division ring and a domain. The algebra of quaternions is often denoted by H (for Hamilton), or in blackboard bold by It can also be given by the Clifford algebra classifications In fact, it was the first noncommutative division algebra to be discovered. According to the Frobenius theorem, the algebra is one of only two finite-dimensional division rings containing a proper subring isomorphic to the real numbers; the other being the complex numbers. These rings are also Euclidean Hurwitz algebras, of which the quaternions are the largest associative algebra (and hence the largest ring). Further extending the quaternions yields the non-associative octonions, which is the last normed division algebra over the real numbers. (The sedenions, the extension of the octonions, have zero divisors and so cannot be a normed division algebra.) The unit quaternions can be thought of as a choice of a group structure on the 3-sphere S3 that gives the group Spin(3), which is isomorphic to SU(2) and also to the universal cover of SO(3). (en) Dalam matematika, Kuaternion adalah perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi. Kuaternion ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton, yang memperpanjang aritmetika kompleks nomor ke kuaternion. Segera setelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan kuaternion. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika. (in) 数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて a + bi + cj + dk と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d は実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。 このとき 1, i, j, k は実数体上線型独立である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、3次元空間の力学に応用された。 四元数の特徴は、積について非可換であることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 なお、虚数単位i,j,kについても非可換であることが知られている。 現代数学の観点からは、四元数全体からなる集合は、実数体上の4次元結合的ノルム多元体であり、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字で ℍ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数 Cℓ0,2(R) ≅ Cℓ03,0(R) として定義することもできる。 この代数 H は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば H は実数全体 ℝ を真の部分環として含む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数全体 ℂ）だからである。 従って、単位四元数は三次元球面 S3 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 Spin(3) を与える。これは 2次特殊ユニタリ群 SU(2) に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。 (ja) In matematica, i quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843 come estensioni dei numeri complessi. Un quaternione è un oggetto formale del tipo dove sono numeri reali e sono dei simboli che si comportano in modo simile all'unità immaginaria dei numeri complessi. I quaternioni formano un corpo: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli ottetti e i sedenioni, non hanno neppure la proprietà associativa. I quaternioni contengono i numeri complessi e formano anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di algebra di divisione non commutativa. I quaternioni trovano un'importante applicazione nella modellizzazione delle rotazioni dello spazio: per questo motivo questi sono ampiamente usati nella fisica teorica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica) e in settori più applicati, come la computer grafica 3D e la robotica (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi). Analogamente all'analisi complessa e allo studio delle funzioni olomorfe di variabile complessa, raccoglie un interesse crescente l' e lo studio delle . (it) 수학에서 사원수(四元數, 영어: quaternion 쿼터니언[*]) 또는 해밀턴 수(영어: Hamilton number)는 복소수를 확장해 만든 수 체계이다. 네 개의 실수 성분을 가지며, 덧셈과 곱셈의 결합법칙 및 덧셈의 교환법칙을 만족시키지만 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않는다. (ko) De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen, en daarmee een vierdimensionale uitbreiding van de reële getallen. Quaternionen werden in 1843 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton geïntroduceerd voor toepassing in de mechanica. Naar hem wordt de verzameling van de quaternionen wel aangeduid met het symbool . Quaternionen worden in computerprogramma's voor relatieve oriëntatiebepaling in drie dimensies gebruikt. Zij zijn geschikt voor de beschrijving van een rotatie in de driedimensionale ruimte die twee congruente voorwerpen in elkaar doet overgaan. Met een quaternion gaat dit veel beter dan met eulerhoeken (rollen, stampen, gieren), omdat een kleine verandering van oriëntatie altijd een kleine verandering in de vier reële coördinaten geeft, waar hoeken bijvoorbeeld soms plotseling van 359° naar 1° verspringen met alle problemen in software van dien. Technische toepassingen vormen bijvoorbeeld de beschrijving in de ruimtevaart voor de koppeling van twee ruimtevaartuigen. In de robotica beschrijven quaternionen bij het lassen in de automobielindustrie de bewegingen van de robotarm. (nl) Kwaterniony, dawniej czwarki Hamiltona – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, należąca do klasy zbiorów liczb hiperzespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję . Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień. (pl) Os quaterniões (português europeu) ou quatérnios (português brasileiro) são uma extensão do conjunto dos números complexos . Mais precisamente, o conjunto é uma álgebra associativa formada pelos números da forma , onde e , e são unidades imaginárias. Além disso, temos que , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa. é chamada de parte escalar do quaternião e é chamada de parte vetorial. Também dizemos que é a parte real e é a parte imaginária do quaternião. Aos números , , e denominamos coeficientes. (pt) Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел.Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году. Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики. Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии». (ru) Kvaternion [-'u:n] (senlatin quatérnio, "ansamling av fyra personer eller ting"), element i en utvidgning av de reella talen till ett fyrdimensionellt talområde på ett liknande sätt som komplexa tal är en utvidgning till ett tvådimensionellt, definierat av W.R. Hamilton 1843. Mängden av kvaternioner skrivs H eller ℍ, och utgör en skevkropp samt en algebra över R (de reella talen). (sv) Кватерніо́н — чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нуля. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році. Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі. (uk) 四元數（英語：Quaternion）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创立出的數學概念。通常记为H，或。 從明確地角度而言，四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數則代表著一個四维空间，相對於複數為二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1 对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://nugae.wordpress.com/2007/04/25/on-quaternions-and-octonions/ http://gpwiki.org/index.php/OpenGL:Tutorials:Using_Quaternions_to_represent_rotation http://www.maths.nuim.ie/links/hamilton.shtml http://www.stahlke.org/dan/phys-papers/quaternion-paper.pdf http://www.unpronounceable.com/julia/ https://quaternionnews.commons.gc.cuny.edu/ https://quaternions.online/ https://archive.org/details/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quaternions.html http://www.ugcs.caltech.edu/~presto/papers/Quaternions-Britannica.ps.bz2 http://www.cs.indiana.edu/~hanson/quatvis/ http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/QuaternionBib/Links/QuaternionBib_lnk_3.html%7Carchive-url=https:/web.archive.org/web/20060902200454/http:/math.fullerton.edu/mathews/c2003/QuaternionBib/Links/QuaternionBib_lnk_3.html https://webspace.utexas.edu/aam829/1/m/NegativeMath.html%7Carchive-url=https:/web.archive.org/web/20110924161347/https:/webspace.utexas.edu/aam829/1/m/NegativeMath.html http://www.j3d.org/matrix_faq/matrfaq_latest.html http://books.elsevier.com/companions/0120884003/vq/index.html https://www.gamedev.net/articles/programming/math-and-physics/quaternion-powers-r1095/ http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf https://books.google.com/books%3Fid=AibpdVNkFDYC https://play.google.com/store/apps/details%3Fid=com.MoritzWillProduction.Quaternions https://web.archive.org/web/20050408193941/http:/www.fho-emden.de/~hoffmann/quater12012002.pdf https://web.archive.org/web/20061105174313/http:/books.elsevier.com/companions/0120884003/vq/index.html https://web.archive.org/web/20071215235040/http:/gpwiki.org/index.php/OpenGL:Tutorials:Using_Quaternions_to_represent_rotation https://web.archive.org/web/20120204055438/http:/www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf https://web.archive.org/web/20121005003247/http:/www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsII.pdf https://web.archive.org/web/20140808040037/http:/www.ugcs.caltech.edu/~presto/papers/Quaternions-Britannica.ps.bz2 https://zenodo.org/record/1431043 https://www.gamasutra.com/view/feature/131686/rotating_objects_using_quaternions.php https://www.isa-afp.org/entries/Quaternions.html http://plus.maths.org/content/os/issue32/features/baez/index |
| dbo:wikiPageID | 51440 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 94833 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122375113 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Princeton_University_Press dbr:Pseudo-Euclidean_space dbr:Quantum_mechanics dbr:Quaternions_and_spatial_rotation dbr:Robotics dbr:Rotation_matrix dbr:Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space dbr:Royal_Canal dbr:Royal_Irish_Academy dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Schläfli_symbol dbr:Lénárt_sphere dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Defence_Research_and_Development_Canada dbr:Determinant dbr:Algebra_homomorphism dbr:Applied_mathematics dbr:Holt,_Rinehart_and_Winston dbr:Homomorphism dbr:Hurwitz's_theorem_(composition_algebras) dbr:Hurwitz_quaternion dbr:Josiah_Willard_Gibbs dbr:Julia_set dbr:Pauli_matrices dbr:Regular_icosahedron dbr:Charles_Jasper_Joly dbr:Unit_quaternion dbr:University_of_Dublin dbr:Vector_analysis dbr:Vector_space dbr:Versor dbr:Dunsink_Observatory dbr:Mandelbrot_set dbr:Lie_group dbr:Multiplicative_inverse dbr:Quotient_ring dbr:Artin–Wedderburn_theorem dbr:Pseudovector dbr:Number_system dbr:Peter_Guthrie_Tait dbr:Commutative dbr:Commutative_property dbr:Commutator dbr:Complex_number dbr:Conformal_geometric_algebra dbr:Conjugate_transpose dbr:Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles dbr:Cross_product dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_multiplication dbr:Maxwell's_equations dbr:Mechanics dbr:SO(3) dbr:SU(2) dbr:Norm_(mathematics) dbr:Subring dbr:Quaternionic_projective_space dbr:Quaternionic_manifold dbr:Quaternionic_polytope dbr:Quotient dbr:Clifford_algebra dbr:Elliptic_geometry dbr:Encyclopædia_Britannica dbr:Frobenius_theorem_(real_division_algebras) dbr:Gamma_matrices dbr:Geometric_algebra dbr:Geometry dbr:Minkowski_space dbr:Multiplicative_identity dbr:N-sphere dbr:Conformal_map dbr:Conjugacy_class dbr:Control_theory dbr:Crystallography dbr:Thomas_precession dbr:Normed_algebra dbr:Orbital_mechanics dbr:Reciprocal_(mathematics) dbr:Andrew_J._Hanson dbr:Angle dbr:Arc_(geometry) dbr:Lord_Kelvin dbr:Lorentz_boost dbr:Lorentz_group dbr:Signal_processing dbr:Combinatorial_design dbr:Composition_algebra dbr:Computer_graphics dbr:Computer_simulation dbr:Computer_vision dbr:Zero_divisor dbr:Half-integer dbr:Hamilton_Walk dbr:Icosian dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Identity_element dbr:Physics dbr:Plate_trick dbr:Point_(geometry) dbr:Space dbr:Unit_sphere dbr:Matrix_ring dbr:Broom_Bridge dbr:Cayley–Dickson_construction dbr:Three-dimensional_space dbr:Transpose dbr:William_Edwin_Hamilton dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Distributive_property dbr:Division_algebra dbr:Domain_(ring_theory) dbr:Dual_quaternion dbr:Gimbal_lock dbr:Lattice_(group) dbr:Quaternion_Society dbr:24-cell dbr:3-sphere dbr:600-cell dbr:Additive_inverse dbr:Algebra dbr:American_Mathematical_Society dbr:3D_computer_graphics dbc:Quaternions dbr:Dual-complex_number dbr:Dublin dbr:Euclidean_algorithm dbr:Euler_angles dbr:Euler–Rodrigues_parameters dbr:Exterior_algebra dbr:Ferdinand_Georg_Frobenius dbr:Field_(mathematics) dbr:Four-dimensional_space dbr:Banach_algebra dbr:Brauer_group dbr:Non-associative_algebra dbr:Noncommutative_ring dbr:Number_theory dbr:Center_(ring_theory) dbr:Central_simple_algebra dbr:Differential_equation dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Isomorphism dbr:Kinematics dbr:Conjugation_(group_theory) dbr:Molecular_dynamics dbr:Quadratic_form dbr:Potential dbr:Quaternion_group dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:Hermann_von_Helmholtz dbr:Attitude_control dbr:Inverse_function dbr:Involution_(mathematics) dbr:James_Clerk_Maxwell dbr:Covering_space dbr:Tensor dbr:Tesseract dbr:Tetrahedron dbr:Texture_(crystalline) dbr:Hurwitz_quaternion_order dbr:Hyperbolic_quaternion dbr:Hypercomplex_number dbr:Associative_property dbr:Associativity dbr:A_History_of_Vector_Analysis dbr:A_Treatise_on_Electricity_and_Magnetism dbr:Abelian_group dbr:Abstract_algebra dbr:Language_of_mathematics dbr:Lawrence_Paulson dbc:Composition_algebras dbr:Binary_icosahedral_group dbr:Bioinformatics dbr:Biquaternion dbr:Bivector dbc:William_Rowan_Hamilton dbr:Blackboard_bold dbr:Symbol_(mathematics) dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Split-biquaternion dbr:Division_ring dbr:Dot_product dbr:Associative_algebra dbr:Plane_(mathematics) dbr:Polar_decomposition dbr:PostScript dbr:Space_group dbr:Spacetime dbr:Special_relativity dbr:Sphere dbr:Spin(3) dbr:Spin_(physics) dbr:Split-quaternion dbr:Square_root dbr:Classical_Hamiltonian_quaternions dbr:Classification_of_Clifford_algebras dbr:Conjugate_(algebra) dbr:Continuous_function_(topology) dbr:Great-circle_distance dbr:Group_isomorphism dbr:Group_representation dbr:Group_ring dbr:Tensor_of_a_quaternion dbr:Ian_R._Porteous dbr:Imaginary_unit dbr:Injective_function dbr:Integer dbr:Antipodal_points dbr:Metric_space dbr:National_Council_of_Teachers_of_Mathematics dbr:Octahedron dbr:Octonion dbr:Olinde_Rodrigues dbr:Oliver_Heaviside dbr:Orthogonal_group dbr:Orthogonal_matrix dbr:Real_number dbr:Change_of_variables dbr:Sedenions dbr:Rotor_(mathematics) dbr:Union_(set_theory) dbr:Unitary_matrix dbr:Simple_algebra dbr:Noncommutative dbr:Euler's_four-square_identity dbr:Expression_(mathematics) dbr:Image_(mathematics) dbr:Ludwik_Silberstein dbr:Point_groups_in_three_dimensions dbr:Pure_mathematics dbr:Quaternionic_matrix dbr:Real_line dbr:Slerp dbr:Rigid_body dbr:Subalgebra dbr:Ring_homomorphism dbr:Universal_cover dbr:Power_(mathematics) dbr:Vector_(geometry) dbr:Spinors dbr:Runge–Lenz_vector dbr:NUI_Maynooth dbr:Normed_division_algebra dbr:John_Baez dbr:Longmans,_Green_&_Co. dbr:Directed_line_segment dbr:Disphenoidal_288-cell dbr:Distributive_law dbr:Polynomial_equation dbr:Quaternion_variable dbr:Alexander_Macfarlane_(mathematician) dbr:Icosahedral_group dbr:Complex_variable dbr:Brauer_equivalent dbr:Extension_field dbr:London,_Edinburgh,_and_Dublin_Philosophical_Magazine_and_Journal_of_Science dbr:File:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg dbr:File:Inscription_on_Broom_Bridge_(Dubl...ion_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg dbr:File:Cayley_graph_Q8.svg dbr:File:Quaternion-multiplication-cayley-3d-with-legend.png dbr:File:Quaternion_2.svg dbr:File:Quaternion_Julia_x=-0,75_y=-0,14.jpg |
| dbp:author | dbr:Lord_Kelvin dbr:Oliver_Heaviside William Rowan Hamilton (en) Ludwik Silberstein (en) Simon L. Altmann (en) |
| dbp:id | p/q076770 (en) |
| dbp:text | I regard it as an inelegance, or imperfection, in quaternions, or rather in the state to which it has been hitherto unfolded, whenever it becomes or seems to become necessary to have recourse to etc. (en) Quaternions came from Hamilton after his really good work had been done; and, though beautifully ingenious, have been an unmixed evil to those who have touched them in any way, including Clerk Maxwell. (en) I came later to see that, as far as the vector analysis I required was concerned, the quaternion was not only not required, but was a positive evil of no inconsiderable magnitude; and that by its avoidance the establishment of vector analysis was made quite simple and its working also simplified, and that it could be conveniently harmonised with ordinary Cartesian work. (en) ... quaternions appear to exude an air of nineteenth century decay, as a rather unsuccessful species in the struggle-for-life of mathematical ideas. Mathematicians, admittedly, still keep a warm place in their hearts for the remarkable algebraic properties of quaternions but, alas, such enthusiasm means little to the harder-headed physical scientist. (en) Time is said to have only one dimension, and space to have three dimensions. ... The mathematical quaternion partakes of both these elements; in technical language it may be said to be "time plus space", or "space plus time": and in this sense it has, or at least involves a reference to, four dimensions. ... And how the One of Time, of Space the Three, Might in the Chain of Symbols girdled be. (en) Neither matrices nor quaternions and ordinary vectors were banished from these ten [additional] chapters. For, in spite of the uncontested power of the modern Tensor Calculus, those older mathematical languages continue, in my opinion, to offer conspicuous advantages in the restricted field of special relativity. Moreover, in science as well as in everyday life, the mastery of more than one language is also precious, as it broadens our views, is conducive to criticism with regard to, and guards against hypostasy [weak-foundation] of, the matter expressed by words or mathematical symbols. (en) |
| dbp:title | Quaternion (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:= dbt:About dbt:As_of dbt:Authority_control dbt:Blockquote dbt:Bulleted_list dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Cite_EB1911 dbt:Cite_arXiv dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Cite_web dbt:Commons_category-inline dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Efn dbt:Font_color dbt:Full_citation_needed dbt:Further dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Nbsp dbt:Notelist dbt:Overline dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Thinsp dbt:Unreferenced_section dbt:Wikibooks dbt:Wikiquote dbt:Wiktionary dbt:Green dbt:Red dbt:Norm dbt:Mset dbt:Blue dbt:Bi dbt:Number_systems |
| dcterms:subject | dbc:Quaternions dbc:Composition_algebras dbc:William_Rowan_Hamilton |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions) αποτελούν μία μη-αντιμεταθετική επέκταση της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών. Παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά από τον Ιρλανδό μαθηματικό Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον το 1843 και εφαρμόστηκαν στη μηχανική μέσα στον τρισδιάστατο χώρο. Η αρχική διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό ήταν σε μορφή τετραδονίων. Σήμερα, στις περισσότερες εφαρμογές έχουν αντικατασταθεί από την απλούστερη . Παρόλα αυτά, συναντώνται ακόμη σε εφαρμογές όπως στα τρισδιάστατα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η άλγεβρα των τετραδονίων συχνά συμβολίζεται με το γράμμα H (προς τιμήν του Hamilton) ή με το παχύ (Unicode U+210D, ℍ). (el) Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que , los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que: , como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley. Los elementos 1, i, j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4. (es) 수학에서 사원수(四元數, 영어: quaternion 쿼터니언[*]) 또는 해밀턴 수(영어: Hamilton number)는 복소수를 확장해 만든 수 체계이다. 네 개의 실수 성분을 가지며, 덧셈과 곱셈의 결합법칙 및 덧셈의 교환법칙을 만족시키지만 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않는다. (ko) Kvaternion [-'u:n] (senlatin quatérnio, "ansamling av fyra personer eller ting"), element i en utvidgning av de reella talen till ett fyrdimensionellt talområde på ett liknande sätt som komplexa tal är en utvidgning till ett tvådimensionellt, definierat av W.R. Hamilton 1843. Mängden av kvaternioner skrivs H eller ℍ, och utgör en skevkropp samt en algebra över R (de reella talen). (sv) Кватерніо́н — чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нуля. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році. Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі. (uk) 四元數（英語：Quaternion）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创立出的數學概念。通常记为H，或。 從明確地角度而言，四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數則代表著一個四维空间，相對於複數為二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1 对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。 (zh) الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion) في مجال الرياضيات هو امتداد عملية غير تبديلية للأعداد المركبة. وصَف الكواتيرنيون السير ويليام هاميلتون في عام1843 وطبقهم على الميكانيك في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في البداية تم اعتبار الكواتيرنيون عنصرا غير مفيد لأنها تخالف قانون العملية التبديلية ab = ba. على الرغم أنه تم الاستعاضة عنهم في كثير من التطبيقات بالأشعة والمصفوفات، إلا ما زال يوجد لهم العديد من الاستخدامات في الرياضيات النظرية والتطبيقية، بشكل خاص الحسابات المتعلقة بالدوران ثلاثي الأبعاد كما في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد. (ar) Els quaternions són una generalització dels nombres complexos, de tal manera que si un nombre complex defineix dues dimensions afegint la component i (cal recordar que ), un quaternió defineix quatre dimensions afegint les components i,j,k, de manera que: Es pot resumir en aquesta taula de multiplicació: Un quaternió, doncs, és un nombre de la forma: z = a + bi + cj + dk, on els 4 nombres reals a, b, c i d defineixen únicament el quaternió z. El valor absolut del quaternió z es defineix com a: (ca) V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení. (cs) Die Quaternionen (Singular die Quaternion, von lateinisch quaternio, -ionis f. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von Sir William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton. Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit bezeichnet. (de) Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta , hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d (eu) San ailgéabar, is éard is ceathairníon (iolra ceathairnín) ann ná eagar ceithre réaduimhir, ordaithe de réir dlíthe áirithe ceaptha. Léirítear na dlíthe ceaptha mar seo: * * . Is sampla é d'ailgéabar neamhchomhalartach de bhrí nach bhfuil an t-iolrú malartach. Tugadh an t-ainm “na ceathairnín” ar an ailgéabar seo mar gheall ar an ceathair uimhir i ngach ord. Bhain na fisiceoirí an chuid choimpléascach amach as chun oibriú le veicteoirí. (ga) In mathematics, the quaternion number system extends the complex numbers. Quaternions were first described by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1843 and applied to mechanics in three-dimensional space. Hamilton defined a quaternion as the quotient of two directed lines in a three-dimensional space, or, equivalently, as the quotient of two vectors. Multiplication of quaternions is noncommutative. Quaternions are generally represented in the form where a, b, c, and d are real numbers; and i, j, and k are the basic quaternions. (en) Dalam matematika, Kuaternion adalah perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi. Kuaternion ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton, yang memperpanjang aritmetika kompleks nomor ke kuaternion. (in) En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres où la multiplication n'est plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur. . (fr) 数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて a + bi + cj + dk と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d は実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。 このとき 1, i, j, k は実数体上線型独立である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、3次元空間の力学に応用された。 四元数の特徴は、積について非可換であることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 なお、虚数単位i,j,kについても非可換であることが知られている。 この代数 H は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば H は実数全体 ℝ を真の部分環として含む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数全体 ℂ）だからである。 (ja) In matematica, i quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843 come estensioni dei numeri complessi. Un quaternione è un oggetto formale del tipo dove sono numeri reali e sono dei simboli che si comportano in modo simile all'unità immaginaria dei numeri complessi. I quaternioni formano un corpo: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli ottetti e i sedenioni, non hanno neppure la proprietà associativa. (it) Kwaterniony, dawniej czwarki Hamiltona – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, należąca do klasy zbiorów liczb hiperzespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję . (pl) De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen, en daarmee een vierdimensionale uitbreiding van de reële getallen. Quaternionen werden in 1843 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton geïntroduceerd voor toepassing in de mechanica. Naar hem wordt de verzameling van de quaternionen wel aangeduid met het symbool . (nl) Os quaterniões (português europeu) ou quatérnios (português brasileiro) são uma extensão do conjunto dos números complexos . Mais precisamente, o conjunto é uma álgebra associativa formada pelos números da forma , onde e , e são unidades imaginárias. Além disso, temos que , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa. (pt) Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел.Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году. Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики. (ru) |
| rdfs:label | كواتيرنيون (ar) Quaternió (ca) Kvaternion (cs) Quaternion (de) Τετραδόνιο (el) Koaternioi (eu) Cuaternión (es) Ceathairnín (ga) Quaternion (fr) Kuaternion (in) Quaternione (it) 사원수 (ko) 四元数 (ja) Quaternion (nl) Quaternion (en) Kwaterniony (pl) Quaternião (pt) Кватернион (ru) Kvaternion (sv) Кватерніони (uk) 四元數 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Quaternion http://d-nb.info/gnd/4176653-2 wikidata:Quaternion dbpedia-af:Quaternion dbpedia-als:Quaternion dbpedia-ar:Quaternion dbpedia-bg:Quaternion dbpedia-ca:Quaternion dbpedia-cs:Quaternion http://cv.dbpedia.org/resource/Кватернион dbpedia-da:Quaternion dbpedia-de:Quaternion dbpedia-el:Quaternion dbpedia-es:Quaternion dbpedia-eu:Quaternion dbpedia-fa:Quaternion dbpedia-fi:Quaternion dbpedia-fr:Quaternion dbpedia-ga:Quaternion dbpedia-he:Quaternion dbpedia-hr:Quaternion dbpedia-hu:Quaternion http://hy.dbpedia.org/resource/Քվատերնիոններ http://ia.dbpedia.org/resource/Quaternion dbpedia-id:Quaternion dbpedia-is:Quaternion dbpedia-it:Quaternion dbpedia-ja:Quaternion dbpedia-kk:Quaternion dbpedia-ko:Quaternion dbpedia-la:Quaternion dbpedia-lmo:Quaternion http://lt.dbpedia.org/resource/Kvaternijonas dbpedia-mk:Quaternion http://mn.dbpedia.org/resource/Кватернион dbpedia-nl:Quaternion dbpedia-nn:Quaternion dbpedia-no:Quaternion http://pa.dbpedia.org/resource/ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ dbpedia-pl:Quaternion dbpedia-pms:Quaternion dbpedia-pt:Quaternion dbpedia-ro:Quaternion dbpedia-ru:Quaternion http://scn.dbpedia.org/resource/Quatirnioni http://sco.dbpedia.org/resource/Quaternion dbpedia-sh:Quaternion dbpedia-simple:Quaternion dbpedia-sk:Quaternion dbpedia-sl:Quaternion dbpedia-sr:Quaternion dbpedia-sv:Quaternion dbpedia-th:Quaternion dbpedia-tr:Quaternion dbpedia-uk:Quaternion http://uz.dbpedia.org/resource/Kvaternion http://yi.dbpedia.org/resource/קוואטערניאן dbpedia-zh:Quaternion https://global.dbpedia.org/id/gvCY |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Quaternion?oldid=1122375113&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg wiki-commons:Special:FilePath/-0,14.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Cayley_graph_Q8.svg wiki-commons:Special:FilePath/Inscription_on_Broom_...ion_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Quaternion-multiplication-cayley-3d-with-legend.png wiki-commons:Special:FilePath/Quaternion_2.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Quaternion |
| is dbo:knownFor of | dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Alexander_McAulay dbr:Charles-Ange_Laisant |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Quat dbr:Quaternion_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Quarternions dbr:Quaternian dbr:Quaternians dbr:Norm_of_a_quaternion dbr:ℍ dbr:Quarterion dbr:Quaternions dbr:Matrix_representation_of_quaternions dbr:A+ib+jc+kd dbr:Square_roots_of_quaternions dbr:Methods_of_quaternions dbr:Hamilton_product dbr:Hamilton_quaternions dbr:Hamiltonian_numbers dbr:Hamiltonian_quaternions dbr:Scalar_quaternion dbr:Vector_quaternion dbr:Quarternion dbr:Quaternion_conjugate dbr:Quaternion_norm dbr:Quaternion_physics dbr:Quaternionic dbr:Unit_quaternions |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Cabra,_Dublin dbr:Cargill_Gilston_Knott dbr:Cartesian_coordinate_system dbr:Pythagorean_quadruple dbr:Quarternions dbr:Quasi-sphere dbr:Quaternian dbr:Quaternians dbr:Quaternionic_analysis dbr:Quaternions_and_spatial_rotation dbr:Rotation_formalisms_in_three_dimensions dbr:Rotation_matrix dbr:Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space dbr:Royal_Canal dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Scalar_multiplication dbr:Elements_of_Dynamic dbr:List_of_XML_and_HTML_character_entity_references dbr:List_of_finite_spherical_symmetry_groups dbr:Nabla_symbol dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Norm_of_a_quaternion dbr:David_Finkelstein dbr:De_Moivre's_formula dbr:Determinant dbr:Algebra_over_a_field dbr:Anti-twister_mechanism dbr:Antiisomorphism dbr:Anton_Sushkevich dbr:Applications_of_dual_quaternions_to_2D_geometry dbr:Homersham_Cox_(mathematician) dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Hopf_fibration dbr:Hurwitz's_theorem_(composition_algebras) dbr:Hurwitz_problem dbr:Hurwitz_quaternion dbr:Hyperboloid dbr:Hyperkähler_manifold dbr:Josiah_Willard_Gibbs dbr:Jules_Hoüel dbr:List_of_mathematical_symbols_by_subject dbr:List_of_numbers dbr:Pauli_matrices dbr:Peter_Tait_(physicist) dbr:Relativistic_quantum_mechanics dbr:Richard_C._Hoagland dbr:Vector_(mathematics_and_physics) dbr:Vector_space dbr:Versor dbr:Dedekind_group dbr:Degen's_eight-square_identity dbr:ℍ dbr:−1 dbr:Douady_rabbit dbr:E7_(mathematics) dbr:Inertial_navigation_system dbr:Invariant_extended_Kalman_filter dbr:Mandelbrot_set dbr:Number dbr:October_16 dbr:Structural_alignment dbr:Lie_group dbr:Lie_theory dbr:List_of_group_theory_topics dbr:List_of_letters_used_in_mathematics_and_science dbr:List_of_mathematical_uses_of_Latin_letters dbr:List_of_named_matrices dbr:Number_line dbr:Numerical_tower dbr:Quotient_ring dbr:Quarterion dbr:Quaternions dbr:*-algebra dbr:Commutative_property dbr:Complex_number dbr:Complexification dbr:Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles dbr:Cross_product dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_representation_of_quaternions dbr:Maxwell's_equations dbr:Mendel_Sachs dbr:Gelfand–Mazur_theorem dbr:Generalizations_of_the_derivative dbr:Georg_Scheffers dbr:Non-abelian_gauge_transformation dbr:Norm_(mathematics) dbr:Subring dbr:Quaternionic_projective_space dbr:Quaternion_estimator_algorithm dbr:Quaternionic_manifold dbr:Quaternionic_polytope dbr:Quaternionic_representation dbr:Quaternionic_vector_space dbr:Timeline_of_Irish_inventions_and_discoveries dbr:Timeline_of_geometry dbr:Timeline_of_mathematics dbr:1843 dbr:Classical_group dbr:Clifford_algebra dbr:Closed-subgroup_theorem dbr:Alexander_P._Yefremov dbr:Elliptic_geometry dbr:Emmy_Noether dbr:Fundamental_theorem_of_algebra dbr:Geometric_algebra dbr:George_Peacock dbr:Gleason's_theorem dbr:Glossary_of_computer_graphics dbr:Glossary_of_mathematical_symbols dbr:Grand_Unified_Theory dbr:Bott_periodicity_theorem dbr:Multilinear_algebra dbr:Multiplication dbr:N-vector dbr:Configuration_space_(physics) dbr:Congruence_(manifolds) dbr:Constraint_(computational_chemistry) dbr:Conway_group dbr:Thomas_Kirkman dbr:Equipollence_(geometry) dbr:Rational_motion dbr:Representation_theory_of_SU(2) dbr:Order_(ring_theory) dbr:Arity dbr:Leonard_Eugene_Dickson dbr:Linear_algebra dbr:Lois_Wilfred_Griffiths dbr:Lorentz_group dbr:Ludwig_Schläfli dbr:Sign_(mathematics) dbr:Six-dimensional_space dbr:Clifford_analysis dbr:Clifford_parallel dbr:Clifford–Klein_form dbr:Closing_the_Gap:_The_Quest_to_Understand_Prime_Numbers dbr:Complex_conjugate dbr:Complex_geometry dbr:Composition_algebra dbr:Zero-point_energy dbr:Freudenthal_magic_square dbr:Frobenius–Schur_indicator dbr:Function_of_a_real_variable dbr:Half-integer dbr:Hall_plane dbr:Hamilton_Walk dbr:Harmonic_superspace dbr:Icosian dbr:Plate_trick dbr:Quaternion-Kähler_symmetric_space dbr:Spin_group dbr:Symmetric_space dbr:Symplectic_group dbr:Matrix_representation_of_Maxwell's_equations dbr:Meanings_of_minor_planet_names:_243001–244000 dbr:Augustus_De_Morgan dbr:Automorphism dbr:Axis–angle_representation dbr:Cayley_transform dbr:Cayley–Dickson_construction dbr:Cayley–Hamilton_theorem dbr:Center_(group_theory) dbr:Three.js dbr:Tuple dbr:Turn_(angle) dbr:Wavelet_for_multidimensional_signals_analysis dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Distributive_property dbr:Division_algebra dbr:Dual_quaternion dbr:G-structure_on_a_manifold dbr:Gimbal_lock dbr:Haar_measure dbr:Hasse_invariant_of_an_algebra dbr:Ireland's_Greatest dbr:Lattice_(discrete_subgroup) dbr:Line_bundle dbr:Pontryagin_class dbr:Quaternion_Society dbr:Representation_theory_of_finite_groups dbr:24-cell dbr:3-sphere dbr:3D_rotation_group dbr:4 dbr:600-cell dbr:A._Lawrence_Lowell dbr:Absolute_value dbr:Adolf_Hurwitz dbr:Alexander_Macfarlane dbr:Alexander_McAulay dbr:Alfred_North_Whitehead dbr:Algebra dbr:27_(number) dbr:4D_vector dbr:Eduard_Study dbr:Euclidean_algorithm dbr:Euclidean_vector dbr:Euler's_formula dbr:Euler's_identity dbr:Euler's_rotation_theorem dbr:Euler_angles dbr:Euler–Rodrigues_formula dbr:Exotic_sphere dbr:Field_(mathematics) dbr:Flann_O'Brien dbr:Four-dimensional_space dbr:Banach_algebra dbr:Brauer_group dbr:Non-associative_algebra dbr:Noncommutative_ring dbr:Carl_Ferdinand_Degen dbr:Cellular_neural_network dbr:Central_simple_algebra dbr:Charts_on_SO(3) dbr:Dicyclic_group dbr:Flight_dynamics_(fixed-wing_aircraft) dbr:History_of_quaternions dbr:John_T._Graves dbr:Jordan_operator_algebra dbr:Judson_B._Coit dbr:Kabsch_algorithm dbr:Kazhdan's_property_(T) dbr:Seven-dimensional_cross_product dbr:List_of_Greek_and_Latin_roots_in_English/Q dbr:Orientation_entanglement dbr:Scientific_formalism dbr:Quat dbr:Quaternion_(disambiguation) dbr:Quaternion_group dbr:Ring_(mathematics) dbr:Ring_theory dbr:A+ib+jc+kd dbr:Green_Line_(Luas) dbr:Group_action dbr:H dbr:H-space dbr:Hamiltonian_path dbr:Hand_eye_calibration_problem dbr:Hermann_Grassmann dbr:Hermann_Hankel dbr:Higher-dimensional_gamma_matrices dbr:Attitude_control dbr:Interval_arithmetic dbr:Irving_Stringham dbr:J dbr:J._D._Bernal dbr:J_(disambiguation) dbr:Tekin_Dereli dbr:Hyperbolic_quaternion dbr:Hypercomplex_analysis dbr:Hypercomplex_number dbr:Hypertoric_variety dbr:Simple_Lie_group dbr:T._Proctor_Hall dbr:Smooth_projective_plane dbr:Arthur_Cayley dbr:Arthur_Sherburne_Hardy dbr:Associative_property dbr:ADHM_construction dbr:Abstract_algebra dbr:Against_the_Day dbr:Charles-Ange_Laisant dbr:Aleksandr_Kotelnikov dbr:Joel_Lee_Brenner dbr:John_Horton_Conway dbr:Lagrange's_four-square_theorem dbr:Lagrange's_identity dbr:Binary_cyclic_group dbr:Binary_icosahedral_group dbr:Binary_octahedral_group dbr:Biquaternion dbr:Bivector dbr:SymbolicC++ dbr:Symmetric_cone dbr:Eight-dimensional_space dbr:Eilenberg–Niven_theorem dbr:Einstein_group dbr:Homology_sphere dbr:Maximal_torus dbr:Treatise dbr:Zero-propellant_maneuver dbr:Vector_algebra dbr:Dimension dbr:Division_(mathematics) dbr:Division_ring dbr:Arthur_W._Conway dbr:Associative_algebra dbr:Martha_Wadsworth_Brewster dbr:Polar_decomposition dbr:Special_unitary_group dbr:Spinor dbr:Split-quaternion dbr:Square_(algebra) dbr:Square_root dbr:Square_roots_of_quaternions dbr:Circular_ensemble dbr:Classical_Hamiltonian_quaternions dbr:Classification_of_Clifford_algebras dbr:Classification_of_finite_simple_groups dbr:FreeFlyer |
| is dbp:knownFor of | dbr:Alexander_McAulay dbr:Charles-Ange_Laisant |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Norm_(mathematics) |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Quaternion |
