История тригонометрии | это... Что такое История тригонометрии? (original) (raw)

Геодезические измерения (XVII век)

Bocinolo.jpg

Этот звуковой файл был создан на основе введения в статью версии за 30 октября 2012 года и не отражает правки после этой даты.

cм. также другие аудиостатьи

Это аудиостатья. Кликните, чтобы прослушать

История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.

Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности[1]. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций и другие инструменты анализа. Томас Пейн в своей книге «Век Разума» (1794) назвал тригонометрию «душой науки»[2].

Содержание

Ранний период

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей[3].

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой[4]. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[5] Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.

Древняя Греция

Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии[6]. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку, для них она была частью астрономии[7].

Плоская тригонометрия

Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). В первой книге «Начал» теоремы 18 и 19 устанавливают, что большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол — и обратно, большему углу соответствует бо́льшая сторона. Теоремы 20 и 22 формулируют «неравенство треугольника»: из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого меньше суммы длин двух других. Теорема 32 доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°.

Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов[8]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее[9].

Прямоугольный треугольник Аристарха: взаимное расположение Солнца, Луны и Земли во время квадратуры

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения ~\sin 3^\circ. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны[10]; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла. Попутно Аристарх доказал неравенство, которое в современных терминах передаётся формулой:

\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta}<\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}.

Это же неравенство содержится в «Исчислении песчинок» Архимеда[11]. В трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется важная теорема деления хорд, по существу эквивалентная формуле синуса половинного угла[12] [13]:

\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos\alpha}{2} }.

Гиппарх Никейский, предполагаемый автор первых тригонометрических таблиц

В течение всего периода развития античной науки главным полем для приложения результатов плоской тригонометрии у греков оставалась астрономия. Помимо задачи о вычислении расстояний, привлечения тригонометрии требовало определение параметров системы эпициклов и/или эксцентров, представляющих движение светила в пространстве. Согласно широко распространённому мнению, эта проблема впервые была сформулирована и решена Гиппархом (середина II века до н. э.) при определении элементов орбит Солнца и Луны; возможно, аналогичными задачами занимались и астрономы более раннего времени. Ему же часто приписывают авторство первых тригонометрических таблиц, не дошедших до нас[14]. Впрочем, согласно некоторым реконструкциям, первые тригонометрические таблицы были составлены ещё в III веке до н. э., возможно, Аполлонием Пергским[15].

Синус угла θ/2 равен полухорде единичной окружности

Вместо современной функции синуса Гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины хорды окружности от заданного центрального угла (или, что эквивалентно, от заданной дуги окружности, выраженной в угловой мере). В современной терминологии, длина хорды, стягивающей дугу θ единичной окружности, равна удвоенному синусу центрального угла θ/2. Это соответствие справедливо для любых углов: 0° < θ < 360°. На языке хорд были сформулированы первые открытые греками тригонометрические соотношения[1]. Например, современной формуле:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

соответствовала у греков теорема[16]:

(chord_{\alpha})^2 + (chord_{180^\circ - \alpha})^2 = d^2,

где chord_{\alpha} — хорда для центрального угла \alpha, d — диаметр круга.

При этом радиус круга не считался равным единице, как сейчас. Например, у Гиппарха радиус круга предположительно считался равным _R=_3438 единиц — при таком определении длина дуги окружности была равна угловой мере этой дуги, выраженной в минутах: ~\frac{360\cdot 60}{2\pi}\approx 3438, и это облегчало вычисления. У Птолемея _R=_60 единиц. Согласно современным реконструкциям[14] [17], величины хорд у Гиппарха были протабулированы с интервалом 7°30'. Возможно, в основе вычисления таблицы Гиппарха лежал метод, разработанный Архимедом и восходящий ещё к Аристарху[18].

Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут[1]. Для вычислении хорд Птолемей использовал (в главе X) теорему Птолемея (известную, впрочем, ещё Архимеду), которая утверждает: сумма произведений длин противоположных сторон выпуклого вписанного в круг четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей. Из этой теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и косинуса суммы углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая формулировка этих теорем у греков отсутствует[19].

Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной)[6]. Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей тригонометрии[1]: заданы несколько (обычно три) известных элементов треугольника, требуется найти остальные связанные с ним величины. Первоначально в число элементов треугольника (известных или неизвестных) включали стороны и углы при вершинах, позже к ним добавились медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанной или описанной окружности, положение центра тяжести и т. д. Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием — например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).

Сферическая тригонометрия

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов (в частности, была изобретена астролябия[20]).

Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных греков геометрии небесной сферы. Некоторые исследователи приводят доводы, что эклиптическая или экваториальная система координат использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по меньшей мере уже во времена Гиппарха[21]. Возможно, тогда были известны и некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли использоваться для составления звёздных каталогов[22] и в геодезии.

Первые известные нам труды по «Сферике» (то есть сферической геометрии, с ясным астрономическим уклоном) написали[23]:

(IV век до н. э.) Автолик из Питаны и Евклид («Феномены»).

(II век до н. э.) Феодосий и Гипсикл.

Некоторые разобранные в этих сочинениях задачи носят тригонометрический характер, однако из-за слабой разработанности теории авторы ещё применяют обходные пути. Например, задачу «найти время полного восхода (захода) зодиакального созвездия» Гипсикл решает приближённо с помощью многоугольных чисел[23].

Сферический треугольник

Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). Историки считают, что подход Менелая во многом опирается на труды Феодосия, которые у Менелая существенно расширены и приведены в систему. По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов[24]. Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского аналога: два сферических треугольника конгруэнтны (совместимы), если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°[24].

Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для практической астрономии теорему Менелая, известную как «правило шести величин»[25]. Две другие открытые Менелаем фундаментальные теоремы впоследствии получили названия «правило четырёх величин» и «правило тангенсов»[24].

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу[26].

Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой книге «Альмагеста»; в отличие от Менелая, Птолемей не привёл доказательств многих утверждений, но зато уделил много внимания алгоритмам, пригодным для практических вычислений в астрономии. Опорной конструкцией, вместо плоских хорд, в «Альмагесте» служит «четырёхсторонник Менелая». Для «решения» прямоугольного сферического треугольника, то есть для вычисления его характеристик, Птолемей привёл в словесной записи 4 теоремы; в современных обозначениях они имеют вид (угол C прямой)[27]:

\sin a = \sin c \cdot \sin A (частный случай сферической теоремы синусов)

\operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} A

\cos c = \cos a \cdot \cos b (частный случай сферической теоремы косинусов)

\operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos A

Поясним, что в сферической геометрии принято измерять стороны треугольника не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов. В современной сферической тригонометрии приводятся ещё два соотношения:

\cos A = \cos a \cdot \sin B (тоже вытекает из сферической теоремы косинусов)

\cos c = \operatorname{ctg} A \cdot \operatorname{ctg} B

У Птолемея они отсутствуют, поскольку их нельзя вывести из теоремы Менелая[27].

Средневековье

Индия

В IV веке, после гибели античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров[28]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

Определение тригонометрических функций в средневековой математике

В первую очередь индийцы изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным. Они провели замену античных хорд на синусы (название «синус» восходит к слову «тетива» на санскрите[29]) в прямоугольном треугольнике. Тем самым в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла[30].

Синус индийцы определяли несколько иначе, чем в современной математике (см. рис. справа): под синусом понималась длина отрезка AD, опирающегося на дугу AC окружности радиуса _R=_3438 единиц (как у Гиппарха). Таким образом, «индийский синус» угла в 3438 раз больше современного синуса и имел размерность длины[29]. Из этого правила были исключения; например, Брахмагупта по неясным причинам принял радиус равным 3270 единиц[31].

Индийцы первыми ввели в использование косинус. Использовался ещё так называемый обращённый синус, или синус-верзус, равный длине отрезка DC на рисунке справа[32].

Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в связи с её астрономическими приложениями, в основном для использовании в теории движения планет и для изучения небесной сферы. Это свидетельствует о хорошем знании сферической тригонометрии «Альмагеста» и «Аналеммы», однако ни одной их собственной работы, развивающей теорию этого раздела тригонометрии, не обнаружено[33]. Тем не менее в разработке прикладных алгоритмов решения астрономических задач индийцы достигли больших успехов[28]. Например, в «Панча-сиддхантике» Варахамихиры (VII в.) даётся оригинальное решение астрономической задачи, описанной у Птолемея: найти высоту Солнца над горизонтом, если известны широта местности, склонение Солнца и его часовой угол. Автор для решения применяет аналог теоремы косинусов[34], он же впервые привёл формулу для синуса половинного угла[35].

Статуя Ариабхаты. Индийский межуниверситетский центр астрономии и астрофизики (IUCAA)

Для астрономических расчётов был составлен ряд тригонометрических таблиц. Первые (четырёхзначные) таблицы синусов приведены в древней «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты («Ариабхатия», V век). Таблицы Ариабхаты содержат 24 значения синусов и синус-верзусов с интервалом 3°45' (половина шага таблиц у Гиппарха).

Важный вклад в развитие тригонометрии внес Брахмагупта (VII в.), открывший несколько тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в современной записи приняли вид[34]:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)

Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов \sin n\varphi, \cos n\varphi для n = 2, 3, 4, 5. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась[36]. Историки нашли в индийских трудах неявное использование тангенсов, но важность этого понятия была осознана только позже, математиками исламских стран[28].

В трудах другого выдающегося ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:

\sin (\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta,

а также формула для малого приращения синуса:

\sin \alpha - \sin \beta \approx (\alpha - \beta)\cos \beta

(при \alpha \approx \beta), соответствующая современному выражению для дифференциала синуса. Опираясь на формулу синуса суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические таблицы с шагом 1°[37].

В XI веке мусульмане (Махмуд Газневи) захватили и разорили Северную Индию. Культурные центры переместились в Южную Индию, где образуется так называемая «школа Керала» (англ.)русск. (по названию современного штата Керала на юге Индии)[38]. В XV—XVI веках математики Кералы в ходе астрономических исследований добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов, в том числе для тригонометрических функций[36]. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды[39], восходящие, вероятно, к основателю этой школы астроному Мадхаве (англ.)русск. (1-я половина XV века)[40]. Мадхава и его последователь Нилаканта (англ.)русск. (в трактате «Taнтpacaнrpaха») приводят также правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. В Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII—XVIII веках. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 года, а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 году и Г. В. Лейбницем в 1673 году[41].

Исламские страны

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Переводом их на арабский язык занимались такие крупные учёные VIII века, как Ибрахим Ал-Фазари и Якуб ибн Тарик. Далее они и их последователи стали активно комментировать и развивать эти теории. Опорной конструкцией у исламских учёных, как и у индийцев, был синус в треугольнике, или, что то же самое, полухорда в круге[33].

Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории[42]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Предметом особого внимания ученых стран ислама была сферическая тригонометрия, методы которой использовались для решения задач астрономии и геодезии[43]. Среди основных решаемых проблем были следующие[44] [42].

— Точное определение времени суток.

— Вычисление будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны.

— Нахождение географических координат текущего места.

— Вычисление расстояния между городами с известными географическими координатами.

— Определение направления на Мекку (кибла) из заданного места.

Определение тангенса, котангенса, секанса и косеканса в средневековой арабской математике. Отрезок AD — гномон (вертикальный вверху или горизонтальный внизу), отрезок OD — его тень

Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс[32]. Изначально эти функции определялись иначе, чем в современной математике. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке справа)[45]. Лишь в X веке философ и математик ал-Фараби в своих комментариях к «Альмагесту» ввёл независимые от гномоники определения этих четырёх функций, определив их через синус и косинус в тригонометрическом круге птолемеевского радиуса (60 единиц). Основные соотношения между всеми шестью функциями привёл ал-Баттани в том же столетии. Окончательной унификации добился Абу-л-Вафа во второй половине X века, который впервые использовал для определения тригонометрических функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века[9]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника[46].

Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения. Вероятно, поэтому Региомонтан, впервые давший общую формулировку этой важного соотношения (XV век), назвал его «теоремой Альбатегния» (так тогда в Европе называли ал-Баттани)[47].

Ибн Юнис (X век) открыл преобразование произведения тригонометрических функций в сумму[48], например:

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},

Формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение на более простое сложение или вычитание. Впоследствии в Европе эти же формулы использовали для противоположной цели — замены сложения и вычитания на умножение, чтобы затем для вычисления результата применить логарифмические таблицы[49].

Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление тригонометрических таблиц с как можно меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов с шагом 1°, его современник ал-Марвази добавил к ним первые таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов (с тем же шагом)[32]. В начале X века ал-Баттани опубликовал таблицы с шагом 30', в конце того же столетия Ибн Юнис составил таблицы с шагом 1'[50]. При составлении таблиц ключевым было вычисление значения \sin 1^\circ. Искусные методы для вычисления этой величины изобрели Ибн Юнис, Абу-л-Вафа, ал-Бируни. Наибольшего успеха добился в XV веке ал-Каши; в одной из своих работ он подсчитал, что ~\sin 1^\circ \approx 0{,}017452406437283571 (все знаки верны). В составленных при его участии «Астрономических таблицах» Самаркандской обсерватории Улугбека таблицы синусов вычислены с шестью шестидесятеричными знаками[51], с шагом 1'. Султан Улугбек лично участвовал в этой работе: он написал специальный трактат о вычислении синуса угла в 1°.

Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного ал-Бируни (X—XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995—996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд ал-Бируни — «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15') Ал-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°). Идеологически труды Бируни близки к птолемеевским — на языке хорд он формулирует теоремы о синусе удвоенного и половинного угла, синусе суммы и разности углов[52]. Среди приложений книга Ал-Бируни показывает построение правильного вписанного девятиугольника и приближённое вычисление длины его стороны; этот алгоритм он использует для нахождения ~\sin 1^\circ. В другом труде, «Геодезия», Бируни сообщил результаты собственных измерений длины земного меридиана, из которых следует оценка радиуса Земли, близкая к истинной (в пересчёте к метрической системе, Бируни получил 6340 км)[53].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[54]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам[55]. Приведена теорема тангенсов для сферических треугольников, описано важное понятие полярного треугольника (впервые использованное в XI веке Ибн Ираком и ал-Джайяни). Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии:

— Выражение любой тригонометрической функции через любую другую.

— Формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов.

— Теоремы синусов и косинусов.

— Решение плоских и сферических треугольников

Из-за отсутствия алгебраической символики все перечисленные теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу были полностью эквивалентны современному их пониманию.

Европа

После того как арабские трактаты были в XII-XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу ал-Хорезми, два перевода которого были выполнены в XII веке. Первоначально сведения о тригонометрии (правила её использования, таблицы некоторых тригонометрических функций) приводились в сочинениях по астрономии, однако в сочинении Фибоначчи «Практика геометрии», написанном около 1220 года, тригонометрия излагается как часть геометрии. Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.). Книга содержит доказательство ряда тригонометрических тождеств и оригинальный метод вычисления синусов. Примерно в те же годы был написан трактат еврейского математика Леви бен Гершома (Герсонида) «О синусах, хордах и дугах», переведённый на латинский язык в 1342 году[56]. Книга содержит доказательство теоремы синусов и пятизначные таблицы синусов[57]. Тригонометрия затрагивается в «Теоретической геометрии» английского математика Томаса Брадвардина (написана в первой половине XIV в., опубликована в 1495 году). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV—XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Крупным достижением стала монография Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» (опубл. 1462—1464), в которой были сведены все известные к этому моменту знания по плоской и сферической тригонометрии и приложены семизначные таблицы синусов (с шагом 1') и тангенсов (с шагом 1°). Немаловажно и то, что в таблицах Региомонтана, в нарушение астрономической традиции, впервые использовалась десятичная система (а не архаичная шестидесятеричная). Радиус тригонометрического круга Региомонтан принял равным 10^7, чтобы табличные значения были представлены целыми числами (десятичные дроби вошли в обиход несколько позднее, причём мощным стимулом к их применению стали именно тригонометрические вычисления[58]).

По сравнению с трактатом ат-Туси сочинение Региомонтана существенно полнее, оно содержит ряд новых задач, решённых оригинальными методами. Например, показывается, как построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол[59].

Новое время

Фердинанд Боль, Портрет математика (1658). Диаграмма на стене показывает тригонометрические функции, определённые через окружность единичного радиуса

XVI—XVII века

Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в первую очередь артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой темой занимались многие выдающиеся учёные, в том числе Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Франсуа Виет[60]. Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Вскоре (1551) появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"[61]. Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»[62].

Термин «тригонометрия» как название математической дисциплины ввёл в употребление немецкий математик Б. Питискус, опубликовавший в 1595 году книгу «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» (лат. Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus). К концу XVII века появились современные названия тригонометрических функций. Термин «синус» впервые употребил около 1145 года английский математик и арабист Роберт Честерский (англ.)русск.[29]. Региомонтан в своей книге назвал косинус «синусом дополнения» (лат. sinus complementi), поскольку ~\cos x = \sin(90^\circ - x); его последователи в XVII веке сократили это обозначение до co-sinus (Эдмунд Гунтер)[60], а позднее — до cos (Уильям Отред). Названия тангенса и секанса предложил в 1583 году датский математик Томас Финке (Thomas Fincke)[60], а упомянутый выше Эдмунд Гунтер ввёл названия котангенса и косеканса. Термин «тригонометрические функции» впервые употребил в своей «Аналитической тригонометрии» (1770) Георг Симон Клюгель[63].

Стандартные обозначения в треугольнике

Томас Финке предложил оригинальное решение геодезической задачи: найти углы треугольника, если известна их сумма \alpha+\beta и отношение противолежащих сторон a:b. Для решения Финке использовал формулу Региомонтана (см. рисунок)[64]:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}} {\operatorname{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}

Виет в первой части своего «Математического канона» (1579) поместил разнообразные таблицы, в том числе тригонометрические, а во второй части дал обстоятельное и систематическое, хотя и без доказательств, изложение плоской и сферической тригонометрии. В 1593 году Виет подготовил расширенное издание этого капитального труда. «Несомненно, что самый интерес его к алгебре первоначально был вызван возможностью приложений к тригонометрии и астрономии»[65]. Другой важной заслугой Виета стало применение в тригонометрии разработанной им общей алгебраической символики; если ранее решение задачи понималось как геометрическое построение, то начиная с работ Виета приоритет начинает переходить к алгебраическим вычислениям[66]. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества — например, формулы для кратных углов[67]:

\cos m\alpha = \cos ^{m} \alpha - \frac{m(m-1)}{1\cdot 2}\cos ^{m-2} \alpha \cdot \sin ^2 \alpha + \dots

\sin m\alpha = m \cos ^{m-1} \alpha \cdot \sin \alpha - \frac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cos ^{m-3} \alpha \cdot \sin ^3 \alpha + \dots

Надо оговориться, что сам Виет ещё дал эти формулы частично в словесном описании, но при этом ясно указал на связь коэффициентов формул с биномиальными коэффициентами и привёл таблицу их значений для небольших значений m[65].

Из других достижений Виета[68]: в работе «Дополнение к геометрии» Виет указал тригонометрический способ решения кубического уравнения для самого трудного в тот период — неприводимого — случая (стандартная формула требует умения работать с корнями из комплексных чисел). Виет дал первое в истории бесконечное произведение:

\frac{2}{\pi} = \cos \frac{90^\circ}{2} \cdot \cos \frac{90^\circ}{4} \cdot \cos \frac{90^\circ}{8} \dots

Измерение высоты

Кроме артиллерии и навигации, тригонометрия быстро развивалась и в таких классических областях её применения, как геодезия. Широкое применение тангенсов объяснялось, в частности, простотой измерения с их помощью высоты горы или здания (см. рисунок):

h = \frac{\operatorname{tg}\alpha\ \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha} \,l

В 1615 году Снеллиус нашёл решение «задачи Снеллиуса-Потно́» (англ.)русск.: найти точку, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами. Он открыл закон преломления света: для заданных исходной и преломляющей среды отношение синусов угла падения и угла преломления постоянно. Тем самым Снеллиус открыл дорогу новым применениям тригонометрических функций в оптике, а изобретение в эти же годы первых телескопов придало этому открытию особую важность.

В 1630-х годах Жиль Роберваль, в ходе своих исследований циклоиды, вычертил первый график синусоиды[69]. Он же опубликовал формулу тангенса двойного угла[49]. Джон Валлис в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668)[70].

Во второй половине XVII века началось стремительное развитие общей теории квадратур (то есть вычисления площади), завершившееся появлением в конце века математического анализа. Для тригонометрических функций важные результаты в начале этого периода получил Блез Паскаль (опубликованы в его книге «Письма А. Деттонвилля о некоторых его геометрических открытиях», 1659 год). В современной терминологии, Паскаль вычислил интегралы от натуральных степеней синуса и косинуса и некоторые связанные с ними[71], а также отметил, что ~d(\sin x) = \cos x\ d x. Работы в области тригонометрии проводили такие крупные математики XVII века, как Отред, Гюйгенс, Озанам, Валлис. Заметным процессом во второй половине XVII века стала постепенная алгебраизация тригонометрии, совершенствование и упрощение её символики (хотя до Эйлера символика была всё же гораздо более громоздка, чем современная)[72].

XVIII век

После открытия математического анализа сначала Джеймс Грегори, а затем Исаак Ньютон получили разложение тригонометрических функций (а также обратных к ним) в бесконечные ряды. Ньютон посвятил проблемам геометрии и тригонометрии 10 задач в своей книге «Универсальная арифметика»[73]. Например, в задаче X требуется «решить треугольник», если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон. Предложенный Ньютоном метод решения представляет собой одну из формул Мольвейде[74].

Лейбниц строго доказал, что \sin x не может быть, вообще говоря, алгебраически выражен через x, то есть, в современной терминологии, тригонометрические функции трансцендентны[75].

Важными открытиями в начале XVIII века стали:

— Открытие и широкое распространение радианной меры углов[76] (Роджер Котс, 1714). Сам термин «радиан» появился позднее, его в 1873 году предложил английский инженер Джеймс Томсон[77].

— Тригонометрическое представление комплексного числа и формула Муавра.

(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n\varphi + i \sin n\varphi \

— Начало использования (Ньютон и Грегори) полярной системы координат, связанной с декартовой тригонометрическими соотношениями; в общее употребление эти координаты ввёл Эйлер (1748)[78].

В 1706 году швейцарский математик Якоб Герман опубликовал формулы для тангенса суммы и тангенса кратных углов, а Иоганн Ламберт в 1765 году нашёл чрезвычайно полезные формулы, выражающие разные тригонометрические функции через тангенс половинного угла[79]. Исследуя гиперболические функции (1761), Ламберт показал, что их свойства аналогичны свойствам тригонометрических; причину этого ещё в 1707 году обнаружил Муавр: при замене вещественного аргумента на мнимый круг переходит в гиперболу, а тригонометрические функции — в соответствующие гиперболические[80].

Немецкий математик Фридрих Вильгельм фон Оппель (нем.)русск. в книге «Анализ треугольников» (1746) опубликовал в современной записи обе формулы Мольвейде[81].

В книге «Полигонометрия» (1789) Симон Люилье обобщил тригонометрические соотношения для треугольников, дав их аналоги для произвольных многоугольников, включая пространственные. В работах на эту тему Люилье привёл основную теорему полигонометрии: площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с первой гранью. Он рассмотрел способы «решения многоугольников» с n сторонами при различных постановках задачи: заданы ~n-1 сторона и ~n-2 угла, или все углы и ~n-2 стороны, или все стороны и ~n-3 угла[82].

В 1798 году Лежандр доказал, что если размеры сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, то при решении тригонометрических задач можно применять формулы плоской тригонометрии, вычтя при этом из каждого угла треть сферического избытка[83].

Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (Karl Scherffer, 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: \sin^{-1}, \frac{1}{\sin}, но они не прижились[84].

Реформы Леонарда Эйлера

Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному[73], и соответственно определил обратные функции. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера \sin x, \cos x, \operatorname{tg} x и т. д. стали рассматриваться как безразмерные аналитические функции действительного и комплексного переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.

Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей вещественной числовой прямой, а затем продолжить их на комплексную плоскость. Когда встал вопрос о распространении тригонометрических функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера нередко выбирались ошибочно; многие математики считали, например, косинус и тангенс тупого угла положительными[69]. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных квадрантах, исходя из формул приведения[85].

Эйлер впервые представил разложение тригонометрических функций в бесконечные произведения (1734), откуда вывел ряды для их логарифмов[86].

В других трудах, в первую очередь «Основания сферической тригонометрии, выведенные из метода максимумов и минимумов» (1753) и «Всеобщая сферическая тригонометрия, кратко и ясно выведенная из первых оснований» (1779), Эйлер впервые дал полное систематическое изложение сферической тригонометрии на аналитическом основании[87], причём многие крупные результаты принадлежат самому Эйлеру.

В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «спор о струне»[88]. Эйлер в полемике с Даламбером предложил более общее определение функции, чем принималось ранее; в частности, функция может быть задана тригонометрическим рядом. В своих трудах Эйлер использовал несколько представлений алгебраических функций в виде ряда из кратных аргументов тригонометрических функций, например[89]:

\frac{\pi - x}{2} = \sin x + \frac{\sin 2 x}{2} + \frac{\sin 3 x}{3}\dots

Общей теорией тригонометрических рядов Эйлер не занимался и сходимость полученных рядов не исследовал, но получил несколько важных результатов. В частности, он вывел разложения целых степеней синуса и косинуса[89].

Тригонометрия в России

В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году[90]. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии[91]. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию[63].

XIX—XXI века

В начале XIX века Н. И. Лобачевский добавил к плоской и сферической тригонометрии третий раздел — гиперболическую (для геометрии Лобачевского, первую работу в этой области опубликовал Ф. А. Тауринус в 1826 году). Лобачевский показал, что формулы сферической тригонометрии переходят в формулы гиперболической тригонометрии при замене длин сторон треугольника a, b, c на мнимые величины: ai, bi, ci — или, что эквивалентно, при замене тригонометрических функций на соответствующие гиперболические[92].

В XIX—XX веках бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие. Ещё Даниил Бернулли высказал убеждение, что любую (непрерывную) функцию на заданном промежутке можно представить тригонометрическим рядом[93]. Дискуссии продолжались до 1807 года, когда Фурье опубликовал теорию представления произвольных кусочно-аналитических функций тригонометрическими рядами (окончательный вариант содержится в его «Аналитической теории тепла», 1822)[88]. Для разложения функции f(x) в ряд:

f(x)=a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} \cos{nx} + b_{n} \sin{nx}).

Фурье привёл интегральные формулы расчёта коэффициентов[88]:

a_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \cos{nx} \,dx \quad (n=0, 1, 2, \dots); \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \sin{nx}\, dx\quad (n=1,2,3, \dots)

Изложение Фурье не было строгим в современном понимании, но уже содержало исследование сходимости большинства полученных им рядов. Для функций, заданных на всей числовой прямой и не являющихся периодическими, Фурье предложил разложение в интеграл Фурье.

Универсальность и эффективность методов анализа Фурье произвели большое впечатление на научный мир. Если ранее тригонометрические ряды использовались в математической физике преимущественно для изучения периодических процессов (колебания струны, небесная механика, движение маятника и т. п.), то в труде Фурье исследовались процессы совсем иного рода (теплопередача), и тригонометрические ряды помогли получить ценные практические результаты. С этого момента тригонометрические ряды и интегралы стали мощным инструментом анализа разнообразных функций. Результаты Фурье продолжили и углубили Пуассон и Коши, вопрос сходимости рядов детально исследовали Дирихле и другие математики[94]. Риман в своей диссертации исследовал произвольные тригонометрические ряды, не обязательно связанные с разложением какой-либо функции (1853), сформулировал для них «принцип локализации». Вопрос о представимости произвольной измеримой и конечной почти всюду функции тригонометрическим рядом (который не обязательно совпадает с её рядом Фурье) был решён в 1941 году теоремой Меньшова.

Исследуя множества особых точек для тригонометрических рядов, Георг Кантор разработал фундаментальную для всей математики теорию множеств[95]. Огромное влияние теория тригонометрических рядов оказала на развитие комплексного анализа, математической физики, электроники и многих других разделов науки[88]. Теория функций вещественного переменного, теория меры и интеграл Лебега появились и далее развивались в тесной связи с теорией тригонометрических рядов[88][96]. Важные практические применения имеет приближение функций конечными тригонометрическими полиномами[97] (используемое также для интерполирования).

Историки тригонометрии

В XVIII—XIX веках труды по истории математики и астрономии значительное внимание уделяли и истории тригонометрии (Ж. Э. Монтукла, Ж. Б. Ж. Деламбр, Г. Ганкель, П. Таннери и другие). В 1900 году немецкий историк математики Антон фон Браунмюль (нем.)русск. опубликовал первую монографию в двух томах, специально посвящённую истории тригонометрии[98]. В XX веке крупные работы по этой теме опубликовали И. Г. Цейтен, М. Б. Кантор, О. Нейгебауэр, Б. А. Розенфельд, Г. П. Матвиевская и другие.

См. также

Примечания

  1. ↑ 1 2 3 4 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — С. 266-268..
  2. ↑ Paine, Thomas. The Age of Reason. — Dover Publications, 2004. — С. 52.
  3. ↑ Eli Maor. Trigonometric Delights. — Princeton University Press, 1998. — P. 20. — ISBN 0-691-09541-8
  4. ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 95.
  5. ↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5
  6. ↑ 1 2 Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
  7. ↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 124-125.
  8. ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 94-95.
  9. ↑ 1 2 Матвиевская Г. П., 2012, с. 92-96.
  10. ↑ Цейтен Г. Г., 1932, с. 153-154.
  11. ↑ Веселовский, 1961, с. 38.
  12. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 15.
  13. ↑ Boyer, Carl B. A History of Mathematics. — Second ed.. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — P. 158–159.. — ISBN 0-471-54397-7
  14. ↑ 1 2 Toomer, 1973
  15. ↑ Van der Waerden, 1988
  16. ↑ Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 77.
  17. ↑ Thurston, 1994
  18. ↑ Duke, 2011
  19. ↑ Хрестоматия по истории математики, 1976, с. 195-197.
  20. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 25-27.
  21. ↑ Duke, 2002
  22. ↑ Sidoli, 2004
  23. ↑ 1 2 Матвиевская Г. П., 2012, с. 27-33.
  24. ↑ 1 2 3 Матвиевская Г. П., 2012, с. 33-36.
  25. ↑ История математики, том I, 1970, с. 141-142.
  26. ↑ Цейтен Г. Г., 1932, с. 158-162.
  27. ↑ 1 2 Матвиевская Г. П., 2012, с. 36-39.
  28. ↑ 1 2 3 Матвиевская Г. П., 2012, с. 40-44.
  29. ↑ 1 2 3 История математики в Средние века, 1961, с. 156-158.
  30. ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 81-82.
  31. ↑ Scott J. F., 1958, с. 50.
  32. ↑ 1 2 3 Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 79.
  33. ↑ 1 2 Scott J. F., 1958, с. 52.
  34. ↑ 1 2 История математики, том I, 1970, с. 199-201.
  35. ↑ История математики в Средние века, 1961, с. 157.
  36. ↑ 1 2 История математики в Средние века, 1961, с. 160.
  37. ↑ История математики в Средние века, 1961, с. 159.
  38. ↑ Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV—XVIII вв. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — № 13. — С. 325-335..
  39. ↑ Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Math. Assoc. Amer. Mathematics Magazine. — 1990. — В. 63 (5). — С. 291–306.
  40. ↑ Plofker, 2009
  41. ↑ История математики, том I, 1970, с. 203.
  42. ↑ 1 2 Матвиевская Г. П., 2012, с. 51-55.
  43. ↑ Хрестоматия по истории математики, 1976, с. 204-205
  44. ↑ История математики, том I, 1970, с. 236-238.
  45. ↑ История математики, том I, 1970, с. 234-235.
  46. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
  47. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 96-98.
  48. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 69.
  49. ↑ 1 2 Глейзер Г. И., 1983, с. 60.
  50. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 71-78.
  51. ↑ Хрестоматия по истории математики, 1976, с. 195-198,
  52. ↑ Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 82.
  53. ↑ Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 88.
  54. ↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  55. ↑ Рыбников К. А., 1960, с. 105.
  56. ↑ Этот трактат был включён в состав «Астрономии», одной из шести частей фундаментального теолого-философско-научного трактата «Войны Господа», над которым Герсонид трудился в ходе всей его жизни.
  57. ↑ Rabinovich, Nachum L. Рабби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции. = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // Archive for History of Exact Sciences. — 1970. — В. 6. — С. 237—248.
  58. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 14, 30-31.
  59. ↑ Цейтен Г. Г., 1932, с. 223-224.
  60. ↑ 1 2 3 Глейзер Г. И., 1982, с. 79, 84.
  61. ↑ История математики, том I, 1970, с. 320.
  62. ↑ Степанов Н. Н. §42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87-90. — 154 с.
  63. ↑ 1 2 Вилейтнер Г., 1960, с. 341-343.
  64. ↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 126-127.
  65. ↑ 1 2 Цейтен Г. Г., 1938, с. 129.
  66. ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 189.
  67. ↑ Рыбников К. А., 1960, с. 125.
  68. ↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 130-132.
  69. ↑ 1 2 Глейзер Г. И., 1982, с. 86.
  70. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 324-325.
  71. ↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 283-288.
  72. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 327-335.
  73. ↑ 1 2 История математики, том III, 1972, с. 205-209.
  74. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 331.
  75. ↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 419.
  76. ↑ Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (February 2005). Архивировано из первоисточника 24 сентября 2012.
  77. ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 152.
  78. ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 80-81.
  79. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 322, 329.
  80. ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 207.
  81. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 334.
  82. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 345.
  83. ↑ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Изд. 2-е. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 139-143. — 154 с.
  84. ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 211.
  85. ↑ История математики, том III, 1972, с. 323.
  86. ↑ Вилейтнер Г., 1960, с. 148, 336.
  87. ↑ История математики, том III, 1972, с. 209-215.
  88. ↑ 1 2 3 4 5 Тригонометрический ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
  89. ↑ 1 2 Паплаускас А. Б., 1966, с. 7, 15.
  90. ↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 287. — 376 с.
  91. ↑ См.: Юшкевич А. П. Главы по истории математики в средние века. — В кн.: История естествознания в России. М.: 1957, т. I, с 45—48.
  92. ↑ См. статью Б. А. Розенфельда в книге: Каган В. Ф. Основания геометрии. Том II, стр. 313—321.
  93. ↑ Паплаускас А. Б., 1966, с. 26-27.
  94. ↑ Паплаускас А. Б., 1966, Глава IV.
  95. ↑ Даубен, Джозеф У. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств // Scientific American, издание на русском языке. — 1983. — В. 8 (август). — С. 76–86.
  96. ↑ Тригонометрический ряд. Архивировано из первоисточника 23 ноября 2012. Проверено 28 октября 2012.
  97. ↑ Тригонометрический полином // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
  98. ↑ Braunmühl A. Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie. — Leipzig, 1900—1903.

Литература

Книги

Статьи

Ссылки

Просмотр этого шаблона История математики
Страны и эпохи Древний Египет • Вавилон • Древний Китай • Древняя Греция • Индия • Страны ислама • Империя инков • Россия
Тематическиеразделы Алгебра • Аналитическая геометрия • Арифметика • Геометрия • Дифференциальная геометрия и топология • Комбинаторика • Криптография • Линейная алгебра • Логарифмы • Математический анализ • Неевклидова геометрия • Теория вероятностей • Теория множеств • Топология • Тригонометрия • Функциональный анализ
См. также Бесконечно малые • Вещественные числа • Иррациональные числа • Комплексные числа • Математические обозначения • Непрерывные дроби • Отрицательные числа • Функции

Эта статья входит в число избранных

Эта статья входит в число статей года.