Spectrum of a ring (original) (raw)

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Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ist die Menge aller Primideale in , in Zeichen Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

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dbo:abstract Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ist die Menge aller Primideale in , in Zeichen Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de) En álgebra conmutativa, el espectro principal (o simplemente el espectro) de un anillo​ R es el conjunto de todos los ideales primos de R, y generalmente se denota​ por ; en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con el ​ . (es) En mathématiques, le spectre premier d'un anneau commutatif unitaire A désigne l'ensemble des idéaux premiers de A. Cet ensemble est muni d'une topologie et d'un faisceau d'anneaux commutatifs unitaires qui en font un espace topologique annelé en anneaux locaux. Cet espace est alors appelé un schéma affine et il sert d'espace de base pour la construction des schémas en géométrie algébrique. (fr) In commutative algebra, the prime spectrum (or simply the spectrum) of a ring R is the set of all prime ideals of R, and is usually denoted by ; in algebraic geometry it is simultaneously a topological space equipped with the sheaf of rings . (en) 抽象代数学と代数幾何学において，可換環 R のスペクトル Spec(R) とは，R のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより Spec(R) は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる． (ja) 가환대수학과 대수기하학에서, 가환환의 스펙트럼(영어: spectrum)은 환의 모든 소 아이디얼의 집합이다. 기호는 . 가환환의 스펙트럼은 자연스러운 위상(자리스키 위상)과 가환환 값 층 구조를 지녀, 국소환 달린 공간을 이룬다. 이는 스킴으로 간주할 수 있으며, 이를 아핀 스킴(영어: affine scheme)이라고 한다. 아핀 스킴은 아핀 대수다양체를 일반화한 개념이다. 고전적 대수기하학은 복소수체 와 같은, 대수적으로 닫힌 체를 주로 다룬다. 이 경우, 대수다양체는 체에 대하여 유한생성되는 대수와 대응된다. 대수적으로 닫히지 않은 실수체 또는 유한체 따위를 다루기 위해서는, 보다 더 일반적인 환들을 기하학적으로 해석하여야 한다. 알렉산더 그로텐디크는 모든 가환환을 기하학적으로 해석하여야 한다고 제안하였다. 대수적으로 닫힌 체의 경우, 다양체의 점들은 극대 아이디얼에 대응되게 된다. 그러나 극대 아이디얼은 일반적인 체에 대하여서는 사용하기 힘들다. 임의의 가환환 준동형 가 주어지면, 이는 역으로 의 기하학적 점들을 의 기하학적인 점들로 보내야 한다. 그러나 극대 아이디얼의 원상은 극대 아이디얼이 아닐 수 있다. 따라서, 그로텐디크는 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 점으로 취급하였다. 소 아이디얼의 원상은 항상 또다른 소 아이디얼이기 때문이다. 범주론적으로 말하자면, 소 아이디얼들의 집합을 취하는 연산은 함자성을 가진다. 소 아이디얼은 극대 아이디얼보다 더 일반적인 개념으로, 이는 고전적인 점 말고도 모든 부분 대수다양체에 대응하는 점들을 추가하는 것에 해당한다. 이렇게 더해진 점들은 일반점(영어: generic point)이라고 한다. 임의의 가환환의 소 아이디얼들의 집합에 위상수학적인 구조(자리스키 위상) 및 기하학적 구조(구조층)을 부가하여, 가환환을 기하학적인 공간으로 취급할 수 있다. 이를 환의 스펙트럼이라고 하며, 이렇게 얻는 기하학적 대상을 아핀 스킴이라고 한다. 보다 일반적인 스킴들은 아핀 스킴들을 짜깁기하여 만들 수 있다. (ko) In algebra astratta e geometria algebrica, lo spettro di un anello commutativo unitario , indicato con , è l'insieme di tutti gli ideali primi di . Viene comunemente dotato della topologia di Zariski e di una struttura di fascio, che lo rende uno . (it) Em álgebra abstrata e em geometria algébrica, o espectro de um anel comutativo , denotado por , é o conjunto de todos os ideais primos de . Geralmente, acrescenta-se a topologia de Zariski e com uma estrutura feixe, tornando-o a em um . (pt) Spektrum pierścienia – dla danego pierścienia przemiennego z jednością zbiór złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest przy czym dla dowolnego podzbioru pierścienia symbol oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających (pl) Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца (далее под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей») обозначается . (ru) Ett spektrum är inom algebraisk geometri och kommutativ algebra ett topologiskt rum som består av mängden av primideal i en given ring, utrustad med Zariskitopologin. På detta topologiska rum finns en naturligt definierad kärve av ringar. (sv) Спектр кільця — множина простих власних ідеалів кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Іноді розглядають максимальний спектр — підпростір простору , що складається із замкнутих точок. (uk) 在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環的譜是指其素理想全體形成的集合，記作。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。 一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。 (zh)
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rdfs:comment Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ist die Menge aller Primideale in , in Zeichen Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de) En álgebra conmutativa, el espectro principal (o simplemente el espectro) de un anillo​ R es el conjunto de todos los ideales primos de R, y generalmente se denota​ por ; en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con el ​ . (es) En mathématiques, le spectre premier d'un anneau commutatif unitaire A désigne l'ensemble des idéaux premiers de A. Cet ensemble est muni d'une topologie et d'un faisceau d'anneaux commutatifs unitaires qui en font un espace topologique annelé en anneaux locaux. Cet espace est alors appelé un schéma affine et il sert d'espace de base pour la construction des schémas en géométrie algébrique. (fr) In commutative algebra, the prime spectrum (or simply the spectrum) of a ring R is the set of all prime ideals of R, and is usually denoted by ; in algebraic geometry it is simultaneously a topological space equipped with the sheaf of rings . (en) 抽象代数学と代数幾何学において，可換環 R のスペクトル Spec(R) とは，R のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより Spec(R) は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる． (ja) In algebra astratta e geometria algebrica, lo spettro di un anello commutativo unitario , indicato con , è l'insieme di tutti gli ideali primi di . Viene comunemente dotato della topologia di Zariski e di una struttura di fascio, che lo rende uno . (it) Em álgebra abstrata e em geometria algébrica, o espectro de um anel comutativo , denotado por , é o conjunto de todos os ideais primos de . Geralmente, acrescenta-se a topologia de Zariski e com uma estrutura feixe, tornando-o a em um . (pt) Spektrum pierścienia – dla danego pierścienia przemiennego z jednością zbiór złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest przy czym dla dowolnego podzbioru pierścienia symbol oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających (pl) Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца (далее под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей») обозначается . (ru) Ett spektrum är inom algebraisk geometri och kommutativ algebra ett topologiskt rum som består av mängden av primideal i en given ring, utrustad med Zariskitopologin. På detta topologiska rum finns en naturligt definierad kärve av ringar. (sv) Спектр кільця — множина простих власних ідеалів кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Іноді розглядають максимальний спектр — підпростір простору , що складається із замкнутих точок. (uk) 在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環的譜是指其素理想全體形成的集合，記作。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。 一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。 (zh) 가환대수학과 대수기하학에서, 가환환의 스펙트럼(영어: spectrum)은 환의 모든 소 아이디얼의 집합이다. 기호는 . 가환환의 스펙트럼은 자연스러운 위상(자리스키 위상)과 가환환 값 층 구조를 지녀, 국소환 달린 공간을 이룬다. 이는 스킴으로 간주할 수 있으며, 이를 아핀 스킴(영어: affine scheme)이라고 한다. 아핀 스킴은 아핀 대수다양체를 일반화한 개념이다. 고전적 대수기하학은 복소수체 와 같은, 대수적으로 닫힌 체를 주로 다룬다. 이 경우, 대수다양체는 체에 대하여 유한생성되는 대수와 대응된다. 대수적으로 닫히지 않은 실수체 또는 유한체 따위를 다루기 위해서는, 보다 더 일반적인 환들을 기하학적으로 해석하여야 한다. 알렉산더 그로텐디크는 모든 가환환을 기하학적으로 해석하여야 한다고 제안하였다. (ko)
rdfs:label Spektrum eines Ringes (de) Espectro de un anillo (es) Spettro di un anello (it) Spectre d'anneau (fr) 環のスペクトル (ja) 환의 스펙트럼 (ko) Spektrum pierścienia (pl) Espectro de um anel (pt) Spectrum of a ring (en) Спектр кольца (ru) Spektrum (algebraisk geometri) (sv) 環的譜 (zh) Спектр кільця (uk)
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