Affine space (original) (raw)
En matemàtiques, un espai afí és una estructura que generalitza el concepte d'espai euclidià. Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents de la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, un espai afí és una estructura que generalitza el concepte d'espai euclidià. Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents de la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal. (ca) Afinní prostor je v geometrii prostor, na kterém je definováno sčítání bodů a vektorů. Slouží jako model pro afinní geometrii. Jedná se o zobecnění eukleidovského prostoru. (cs) في الرياضيات ، الفضاء التآلفي بنية رياضية مجردة تعمم الخواص الهندسية التآلفية للفضاء الإقليدي . في فضاء تآلفي، يمكن للمرء أن يطرح نقاطاً ليحصل على متجه، أو يجمع متجه مع نقطة ليحصل على نقطة أخرى، لكن لا يمكن جمع نقطتين لعدم وجود نقطة المبدأ. الفضاء التآلفي الوحيد البعد يدعى الخط التآلفي. الفضاء الفيزيائي فهو ليس فقط فضاءً تآلفياً بل هو بنية مترية أيضاً وبشكل خاص conformal structure. (ar) Der affine Raum (von lateinisch affinis ‚angrenzend, benachbart‘), gelegentlich auch lineare Mannigfaltigkeit genannt, nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein. Der dreidimensionale affine Raum ist wie der euklidische Raum ein mathematisches Modell für den uns vertrauten dreidimensionalen Anschauungsraum. Dabei wird aber auf die Begriffe Länge, Abstand und Winkel verzichtet. In einem weiteren Sinne kann ein affiner Raum, wie andere mathematische Räume auch, eine beliebige Dimension haben: Als affinen Raum kann man auch einen einzelnen Punkt, die affine Gerade, die affine Ebene sowie vier- und höherdimensionale Räume bezeichnen. In aller Regel sind diese Räume nur endlichdimensional. Verschiedene mathematische Disziplinen haben unterschiedliche Präzisierungen dieses Begriffs gefunden. (de) Στα μαθηματικά, ένας αφινικός χώρος (ή Ομοπαραλληλικός χώρος) είναι μια γεωμετρική δομή που γενικεύει μερικές από τις ιδιότητες των ευκλείδειων χώρων με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι ανεξάρτητες από τις έννοιες της απόστασης και του μέτρου των γωνιών, διατηρώντας μόνο τις ιδιότητες που σχετίζονται με τον παραλληλισμό και την αναλογία μηκών παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων. Σε ένα αφινικό χώρο, δεν υπάρχει κανένα διακριτό σημείο που να ορίζεται ως αρχή των αξόνων. Επομένως, κανένα διάνυσμα δεν έχει σταθερό αρχικό σημείο και κανένα διάνυσμα δεν μπορεί να συσχετιστεί μοναδικά με ένα σημείο. Σε ένα αφινικό χώρο, υπάρχουν αντί αυτού διανύσματα μετατόπισης, μεταξύ δύο σημείων του χώρου. Επομένως, είναι λογικό να αφαιρούμε δύο σημεία του χώρου, δίνοντας ένα διάνυσμα μετατόπισης, αλλά δεν έχει νόημα να προσθέσουμε δύο σημεία του χώρου. Παρομοίως, είναι λογικό να προσθέσουμε ένα διάνυσμα μετατόπισης σε ένα σημείο αφινικού χώρου, με αποτέλεσμα ένα νέο σημείο που μετατοπίζεται από το αρχικό σημείο του διανύσματος. (el) In mathematics, an affine space is a geometric structure that generalizes some of the properties of Euclidean spaces in such a way that these are independent of the concepts of distance and measure of angles, keeping only the properties related to parallelism and ratio of lengths for parallel line segments. In an affine space, there is no distinguished point that serves as an origin. Hence, no vector has a fixed origin and no vector can be uniquely associated to a point. In an affine space, there are instead displacement vectors, also called translation vectors or simply translations, between two points of the space. Thus it makes sense to subtract two points of the space, giving a translation vector, but it does not make sense to add two points of the space. Likewise, it makes sense to add a displacement vector to a point of an affine space, resulting in a new point translated from the starting point by that vector. Any vector space may be viewed as an affine space; this amounts to forgetting the special role played by the zero vector. In this case, elements of the vector space may be viewed either as points of the affine space or as displacement vectors or translations. When considered as a point, the zero vector is called the origin. Adding a fixed vector to the elements of a linear subspace (vector subspace) of a vector space produces an affine subspace. One commonly says that this affine subspace has been obtained by translating (away from the origin) the linear subspace by the translation vector (the vector added to all the elements of the linear space). In finite dimensions, such an affine subspace is the solution set of an inhomogeneous linear system. The displacement vectors for that affine space are the solutions of the corresponding homogeneous linear system, which is a linear subspace. Linear subspaces, in contrast, always contain the origin of the vector space. The dimension of an affine space is defined as the dimension of the vector space of its translations. An affine space of dimension one is an affine line. An affine space of dimension 2 is an affine plane. An affine subspace of dimension n – 1 in an affine space or a vector space of dimension n is an affine hyperplane. (en) Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial. (es) En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de . Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel). Un espace affine peut aussi être vu comme un espace vectoriel « dont on a oublié l'origine ». Ainsi les translations de vecteur non nul sont des transformations affines (c'est-à-dire qu'elles conservent la structure d'espace affine), mais pas vectorielles. Les homothéties (de centre un point quelconque de l'espace), mais aussi par exemple les transvections ou les dilatations sont des applications affines. (fr) 기하학에서 아핀 공간(affine空間, 영어: affine space)은 유클리드 공간의 아핀 기하학적 성질들을 일반화해서 만들어지는 구조이다. 아핀 공간에서는 점에서 점을 빼서 벡터를 얻거나 점에 벡터를 더해 다른 점을 얻을 수는 있지만 원점이 없으므로 점과 점을 더할 수는 없다. (ko) Nell'approccio algebrico, lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l'origine, "centrale" e "privilegiato" rispetto agli altri. Lo spazio affine tridimensionale è lo strumento naturale per modellizzare lo spazio della fisica classica, le cui leggi sono infatti indipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento. Come gli spazi vettoriali, gli spazi affini vengono studiati con gli strumenti dell'algebra lineare. (it) In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een affiene ruimte een meetkundige structuur, die de affiene eigenschappen van de euclidische ruimte veralgemeent. Informeel kan men zich een affiene ruimte voorstellen als een vectorruimte, maar dan zonder een punt dat als oorsprong fungeert. In een affiene ruimte kan men punten van elkaar aftrekken om zo vectoren te krijgen, of kan men een vector optellen bij een punt om zo een ander punt te verkrijgen, maar men kan punten niet bij elkaar optellen. (nl) 数学において、アフィン空間（あふぃんくうかん、英語: affine space, アファイン空間とも）または擬似空間（ぎじくうかん）とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。（代数的な）ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。 (ja) Przestrzeń afiniczna – abstrakcyjna struktura uogólniająca te własności przestrzeni euklidesowych, które są niezależne od pojęć odległości i kąta. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty by wyznaczyć wektory, oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną. Przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako „krok pośredni” między przestrzenią euklidesową a przestrzenią rzutową. Przestrzeń opisywana w teoriach fizycznych (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale posiada również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć struktury metrycznej ani konforemnej. (pl) Em geometria, espaço afim é o espaço estudado pela geometria afim. É uma geométrica que generaliza as propriedades da geometria afim de um espaço euclidiano. Pode ser pensado informalmente como um espaço vetorial onde se esqueceu que ponto é a origem. Em um espaço afim, pode-se subtrair pontos para obter vetores, ou adicionar um vetor para um ponto para obter um outro ponto, mas não se pode adicionar pontos. Em particular, não há como distinguir que ponto serve como origem. Sendo dado um espaço vetorial de dimensao finita n sobre um corpo dos números reais R, se chama espaço afim de direção um conjunto dotado de uma aplicação verificando as duas seguintes condições: * (A1) * (A2) Notação : para todo par de pontos , notamos « » o vetor . Se define a dimensão do espaço afim, como a dimensão do espaço vetorial . Se diz além disso que é o espaço diretor de . (pt) 仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。 仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果是仿射空间，，那么从到的位移向量为。 所有向量空间都可看作仿射空间。若是向量空间，是向量子空间，, 则是仿射空间。这里的也称为平移向量。若向量空间的维度是，那么的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；而齐次方程的解永远是线性子空间，也就是说齐次方程的解永远包含零解。维度为的仿射空间也叫做仿射超平面。 (zh) Афінним простором над полем називається трійка (A, L, +) що складається з векторного простору L над полем , множини A, елементи якої називаються точками, та зовнішньої бінарної операції A × L → A: , що задовольняє таким аксіомам: 1. * (a + l) + m = a + (l + m), для всіх a ∈ A; l, m ∈ L; 2. * a + 0 = a, для всіх a ∈ A; 3. * для двох довільних точок a, b ∈ A існує єдиний вектор l ∈ L, такий, що b = a + l. (uk) Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками». (ru) |
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(cs) في الرياضيات ، الفضاء التآلفي بنية رياضية مجردة تعمم الخواص الهندسية التآلفية للفضاء الإقليدي . في فضاء تآلفي، يمكن للمرء أن يطرح نقاطاً ليحصل على متجه، أو يجمع متجه مع نقطة ليحصل على نقطة أخرى، لكن لا يمكن جمع نقطتين لعدم وجود نقطة المبدأ. الفضاء التآلفي الوحيد البعد يدعى الخط التآلفي. الفضاء الفيزيائي فهو ليس فقط فضاءً تآلفياً بل هو بنية مترية أيضاً وبشكل خاص conformal structure. (ar) Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial. (es) 기하학에서 아핀 공간(affine空間, 영어: affine space)은 유클리드 공간의 아핀 기하학적 성질들을 일반화해서 만들어지는 구조이다. 아핀 공간에서는 점에서 점을 빼서 벡터를 얻거나 점에 벡터를 더해 다른 점을 얻을 수는 있지만 원점이 없으므로 점과 점을 더할 수는 없다. (ko) Nell'approccio algebrico, lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l'origine, "centrale" e "privilegiato" rispetto agli altri. Lo spazio affine tridimensionale è lo strumento naturale per modellizzare lo spazio della fisica classica, le cui leggi sono infatti indipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento. Come gli spazi vettoriali, gli spazi affini vengono studiati con gli strumenti dell'algebra lineare. (it) In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een affiene ruimte een meetkundige structuur, die de affiene eigenschappen van de euclidische ruimte veralgemeent. Informeel kan men zich een affiene ruimte voorstellen als een vectorruimte, maar dan zonder een punt dat als oorsprong fungeert. In een affiene ruimte kan men punten van elkaar aftrekken om zo vectoren te krijgen, of kan men een vector optellen bij een punt om zo een ander punt te verkrijgen, maar men kan punten niet bij elkaar optellen. (nl) 数学において、アフィン空間（あふぃんくうかん、英語: affine space, アファイン空間とも）または擬似空間（ぎじくうかん）とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。（代数的な）ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。 (ja) 仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。 仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果是仿射空间，，那么从到的位移向量为。 所有向量空间都可看作仿射空间。若是向量空间，是向量子空间，, 则是仿射空间。这里的也称为平移向量。若向量空间的维度是，那么的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；而齐次方程的解永远是线性子空间，也就是说齐次方程的解永远包含零解。维度为的仿射空间也叫做仿射超平面。 (zh) Афінним простором над полем називається трійка (A, L, +) що складається з векторного простору L над полем , множини A, елементи якої називаються точками, та зовнішньої бінарної операції A × L → A: , що задовольняє таким аксіомам: 1. * (a + l) + m = a + (l + m), для всіх a ∈ A; l, m ∈ L; 2. * a + 0 = a, для всіх a ∈ A; 3. * для двох довільних точок a, b ∈ A існує єдиний вектор l ∈ L, такий, що b = a + l. (uk) Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками». (ru) In mathematics, an affine space is a geometric structure that generalizes some of the properties of Euclidean spaces in such a way that these are independent of the concepts of distance and measure of angles, keeping only the properties related to parallelism and ratio of lengths for parallel line segments. (en) Στα μαθηματικά, ένας αφινικός χώρος (ή Ομοπαραλληλικός χώρος) είναι μια γεωμετρική δομή που γενικεύει μερικές από τις ιδιότητες των ευκλείδειων χώρων με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι ανεξάρτητες από τις έννοιες της απόστασης και του μέτρου των γωνιών, διατηρώντας μόνο τις ιδιότητες που σχετίζονται με τον παραλληλισμό και την αναλογία μηκών παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων. (el) Der affine Raum (von lateinisch affinis ‚angrenzend, benachbart‘), gelegentlich auch lineare Mannigfaltigkeit genannt, nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein. Der dreidimensionale affine Raum ist wie der euklidische Raum ein mathematisches Modell für den uns vertrauten dreidimensionalen Anschauungsraum. Dabei wird aber auf die Begriffe Länge, Abstand und Winkel verzichtet. Verschiedene mathematische Disziplinen haben unterschiedliche Präzisierungen dieses Begriffs gefunden. (de) En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de . Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel). Un espace affine peut aussi être vu comme un espace vectoriel « dont on a oublié l'origine ». Ainsi les translations de vecteur non nul sont des transformations affines (c'est-à-dire qu'elles conservent la structure d'espace affine), mais pas vectorielles. Les homothéties (de centre un point quelconq (fr) Przestrzeń afiniczna – abstrakcyjna struktura uogólniająca te własności przestrzeni euklidesowych, które są niezależne od pojęć odległości i kąta. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty by wyznaczyć wektory, oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną. (pl) Em geometria, espaço afim é o espaço estudado pela geometria afim. É uma geométrica que generaliza as propriedades da geometria afim de um espaço euclidiano. Pode ser pensado informalmente como um espaço vetorial onde se esqueceu que ponto é a origem. Em um espaço afim, pode-se subtrair pontos para obter vetores, ou adicionar um vetor para um ponto para obter um outro ponto, mas não se pode adicionar pontos. Em particular, não há como distinguir que ponto serve como origem. * (A1) * (A2) Notação : para todo par de pontos , notamos « » o vetor . (pt) |
| rdfs:label | Affine space (en) فضاء تآلفي (ar) Espai afí (ca) Afinní prostor (cs) Affiner Raum (de) Αφινικός χώρος (el) Espacio afín (es) Espace affine (fr) Spazio affine (it) 아핀 공간 (ko) アフィン空間 (ja) Affiene ruimte (nl) Espaço afim (pt) Przestrzeń afiniczna (pl) Аффинное пространство (ru) Афінний простір (uk) 仿射空间 (zh) |
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