Covariant derivative (original) (raw)
La derivada covariant és una generalització del concepte de derivada parcial que permet estendre el càlcul diferencial sobre amb coordenades cartesianes al cas de coordenades curvilínies en (i també al cas encara més general de varietats diferenciables).
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| dbo:abstract | La derivada covariant és una generalització del concepte de derivada parcial que permet estendre el càlcul diferencial sobre amb coordenades cartesianes al cas de coordenades curvilínies en (i també al cas encara més general de varietats diferenciables). (ca) Kovariantní derivace je geometrický způsob derivování vektorových a tenzorových polí, při němž se využívá jejich pomocí tzv. konexe. Základní vlastností kovariantního derivování je, že převádí tenzorová pole opět v tenzorová pole, což při obvyklém způsobu derivování neplatí. Obyčejná parciální derivace vektorového pole v křivočarých souřadnicích nevyjadřuje objektivní změny vektorových a tenzorových polí, protože např. i konstantní vektorové pole bude mít v křivočarých souřadnicích proměnné složky a tedy nenulové parciální derivace svých komponent. Z toho důvodu je nutno použít patřičnou konexi a nejprve vektory přenést paralelně do jednoho společného bodu a pak teprve porovnávat jejich komponenty. (cs) In mathematics, the covariant derivative is a way of specifying a derivative along tangent vectors of a manifold. Alternatively, the covariant derivative is a way of introducing and working with a connection on a manifold by means of a differential operator, to be contrasted with the approach given by a principal connection on the frame bundle – see affine connection. In the special case of a manifold isometrically embedded into a higher-dimensional Euclidean space, the covariant derivative can be viewed as the orthogonal projection of the Euclidean directional derivative onto the manifold's tangent space. In this case the Euclidean derivative is broken into two parts, the extrinsic normal component (dependent on the embedding) and the intrinsic covariant derivative component. The name is motivated by the importance of changes of coordinate in physics: the covariant derivative transforms covariantly under a general coordinate transformation, that is, linearly via the Jacobian matrix of the transformation. This article presents an introduction to the covariant derivative of a vector field with respect to a vector field, both in a coordinate free language and using a local coordinate system and the traditional index notation. The covariant derivative of a tensor field is presented as an extension of the same concept. The covariant derivative generalizes straightforwardly to a notion of differentiation associated to a connection on a vector bundle, also known as a Koszul connection. (en) La derivada covariante es una generalización del concepto de derivada parcial que permite extender el cálculo diferencial sobre con coordenadas cartesianas al caso de coordenadas curvilíneas en (y también al caso todavía más general de variedades diferenciables). (es) Matematikan, deribatu kobariantea bateko zehar deribatu bat zehazteko modu bat da. Era berean, deribatu kobariantea barietate batean lan egiteko bidea da, erabiliz. Dimentsio handiagoko espazio euklidear bateko barietate isometriko baten kasuan, deribatu kobariantea barietatearen espazio tangentzialeko norabide-deribatu euklidearraren proiekzio ortogonala da. Kasu horretan, deribatu euklidearrak bi atal ditu: osagai estrintseko normala eta deribatu kobariante intrintsekoa. Deribatu kobariante izena fisikan duen garrantzitik dator; deribatu kobariantea kobarianteki transformatzen da koordenatu-transformazio orokor batean, hau da, linealki transformatzen da bidez. (eu) En géométrie différentielle, la dérivée covariante est un outil destiné à définir la dérivée d'un champ de vecteurs sur une variété. Dans le cas où la dérivée covariante existe, il n'existe pas de différence entre la dérivée covariante et la connexion, à part la manière dont elles sont introduites. (Cela est faux quand la dérivée covariante n'existe pas en revanche ). Dans la théorie des variétés riemanniennes et pseudo-riemanniennes, le théorème fondamental de la géométrie riemannienne montre qu'il existe un choix de connexion ou de dérivée covariante privilégié, et le terme « dérivée covariante » est souvent utilisé pour la connexion de Levi-Civita. Dans cet article, on définit la dérivée covariante (aussi connue sous le nom de dérivée de tenseur) d'un vecteur au sein d'un champ vectoriel. La dérivée covariante d'un tenseur est une extension de ce concept. L'ensemble de cet article utilise la convention de sommation d'Einstein pour les tenseurs et les coordonnées covariantes et contravariantes. Le lecteur est supposé avoir des notions concernant les variétés et particulièrement les vecteurs tangents. (fr) 共変微分（きょうへんびぶん、英: covariant derivative）とは、微分幾何学における概念の1つで、可微分多様体上の微分演算を言う。クリストッフェル並びにレヴィ＝チヴィタ、リッチによって導入された。局所表示をとった場合その変換規則は共変（covariant）となる。 (ja) In matematica, la derivata covariante estende il concetto usuale di derivata (più precisamente di derivata direzionale) presente nell'ordinario spazio euclideo a una varietà differenziabile arbitraria. Tramite la derivata covariante è possibile calcolare la derivata di un campo vettoriale o di un più generale campo tensoriale in un punto, lungo una direzione fissata. La nozione di derivata covariante è essenzialmente equivalente a quella di connessione. Su una varietà differenziabile è possibile scegliere fra una infinità di possibili connessioni, e quindi di possibili nozioni di derivata covariante. In una varietà riemanniana esiste invece una nozione appropriata di connessione (la connessione di Levi-Civita) e quindi di derivata covariante. Tramite la derivata covariante si definiscono vari tensori che misurano la curvatura della varietà. Fra questi, il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci. Tutti questi elementi sono utili in relatività generale. (it) In de wiskunde en de natuurkunde is de covariante afgeleide een manier om de afgeleide van een raakvector langs een variëteit te definiëren. Ruw gesproken, is het een generalisatie van het begrip afgeleide naar niet-euclidische ruimten. In de wiskunde is het concept vooral belangrijk voor de differentiaalmeetkunde en ook in natuurkunde in de context van algemene relativiteitstheorie. (nl) Pochodna kowariantna – tensor powstały w wyniku różniczkowania pewnego tensora wyrażonego we współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni euklidesowej i nieeuklidesowej dowolnego wymiaru (w ogólności w rozmaitości pseudoriemannowskiej), z określonym tensorem metrycznym. We współrzędnych kartezjańskich sprowadza się do zwykłej pochodnej cząstkowej. Użycie pochodnej kowariantnej zamiast zwykłej pochodnej cząstkowej jest niezbędne w analizie wektorowej we współrzędnych krzywoliniowych, np. w ogólnej teorii względności, gdzie pola fizyczne rozchodzą się w 4-wymiarowej zakrzywionej przestrzeni pseudoriemannowskiej. Uwaga: Wyprowadzenie wzoru na pochodną kowariantną „od podstaw”, z kolejno definiowanymi pojęciami, twierdzeniami i przykładami obliczeniowymi znajduje się w artykule Współrzędne krzywoliniowe (samo wyprowadzenie zawiera rozdział: Pochodna pola wektorowego. Pochodna kowariantna). (pl) Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях.Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности. Ковариантная производная тензорного поля в направлении касательного вектора обычно обозначается . (ru) A derivada covariante é uma generalização do conceito de derivada parcial que permite estender o cálculo diferencial em , com coordenadas cartesianas, para o caso de coordenadas curvilíneas em (e também para o caso ainda mais geral de variedades diferenciáveis). (pt) Коваріантна похідна — узагальнення поняття похідної для тензорних полів на многовидах. Поняття коваріантної похідної тісно пов'язане з поняттям афінної зв'язності. Коваріантна похідна тензорного поля у напрямку дотичного вектора зазвичай позначається . (uk) 数学上，共变导数或称协变导数是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。 事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。 在黎曼和伪黎曼流形理论中，共变导数通常指列維-奇維塔聯絡。 这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。 本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。 (zh) |
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In de wiskunde is het concept vooral belangrijk voor de differentiaalmeetkunde en ook in natuurkunde in de context van algemene relativiteitstheorie. (nl) Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях.Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности. Ковариантная производная тензорного поля в направлении касательного вектора обычно обозначается . (ru) A derivada covariante é uma generalização do conceito de derivada parcial que permite estender o cálculo diferencial em , com coordenadas cartesianas, para o caso de coordenadas curvilíneas em (e também para o caso ainda mais geral de variedades diferenciáveis). (pt) Коваріантна похідна — узагальнення поняття похідної для тензорних полів на многовидах. Поняття коваріантної похідної тісно пов'язане з поняттям афінної зв'язності. Коваріантна похідна тензорного поля у напрямку дотичного вектора зазвичай позначається . (uk) 数学上，共变导数或称协变导数是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。 事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。 在黎曼和伪黎曼流形理论中，共变导数通常指列維-奇維塔聯絡。 这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。 本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。 (zh) Kovariantní derivace je geometrický způsob derivování vektorových a tenzorových polí, při němž se využívá jejich pomocí tzv. konexe. Základní vlastností kovariantního derivování je, že převádí tenzorová pole opět v tenzorová pole, což při obvyklém způsobu derivování neplatí. (cs) In mathematics, the covariant derivative is a way of specifying a derivative along tangent vectors of a manifold. Alternatively, the covariant derivative is a way of introducing and working with a connection on a manifold by means of a differential operator, to be contrasted with the approach given by a principal connection on the frame bundle – see affine connection. In the special case of a manifold isometrically embedded into a higher-dimensional Euclidean space, the covariant derivative can be viewed as the orthogonal projection of the Euclidean directional derivative onto the manifold's tangent space. In this case the Euclidean derivative is broken into two parts, the extrinsic normal component (dependent on the embedding) and the intrinsic covariant derivative component. (en) Matematikan, deribatu kobariantea bateko zehar deribatu bat zehazteko modu bat da. Era berean, deribatu kobariantea barietate batean lan egiteko bidea da, erabiliz. Dimentsio handiagoko espazio euklidear bateko barietate isometriko baten kasuan, deribatu kobariantea barietatearen espazio tangentzialeko norabide-deribatu euklidearraren proiekzio ortogonala da. Kasu horretan, deribatu euklidearrak bi atal ditu: osagai estrintseko normala eta deribatu kobariante intrintsekoa. (eu) En géométrie différentielle, la dérivée covariante est un outil destiné à définir la dérivée d'un champ de vecteurs sur une variété. Dans le cas où la dérivée covariante existe, il n'existe pas de différence entre la dérivée covariante et la connexion, à part la manière dont elles sont introduites. (Cela est faux quand la dérivée covariante n'existe pas en revanche ). Dans cet article, on définit la dérivée covariante (aussi connue sous le nom de dérivée de tenseur) d'un vecteur au sein d'un champ vectoriel. La dérivée covariante d'un tenseur est une extension de ce concept. (fr) In matematica, la derivata covariante estende il concetto usuale di derivata (più precisamente di derivata direzionale) presente nell'ordinario spazio euclideo a una varietà differenziabile arbitraria. Tramite la derivata covariante è possibile calcolare la derivata di un campo vettoriale o di un più generale campo tensoriale in un punto, lungo una direzione fissata. Tramite la derivata covariante si definiscono vari tensori che misurano la curvatura della varietà. Fra questi, il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci. Tutti questi elementi sono utili in relatività generale. (it) Pochodna kowariantna – tensor powstały w wyniku różniczkowania pewnego tensora wyrażonego we współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni euklidesowej i nieeuklidesowej dowolnego wymiaru (w ogólności w rozmaitości pseudoriemannowskiej), z określonym tensorem metrycznym. We współrzędnych kartezjańskich sprowadza się do zwykłej pochodnej cząstkowej. Uwaga: (pl) |
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