Jordan normal form (original) (raw)
Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice. Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici existuje Jordanův tvar , který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice , že . Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice .
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| dbo:abstract | La forma canònica de Jordan o forma normal de Jordan és un terme matemàtic utilitzat en àlgebra lineal. Deu el seu nom al matemàtic francès Camille Jordan, que la va descobrir el 1871 per a solucionar sistemes d'equacions diferencials complexes per a matrius complexes. En concret, és la representació d'un endomorfisme amb una matriu de Jordan, que és una forma especial de matriu triangular superior, en certa base. El problema de trobar la forma canònica de Jordan d'un endomorfisme consisteix a trobar quina és la matriu de Jordan que el representa i quina és la base en què l'endomorfisme pren aquesta forma. L'aspecte d'una matriu (o d'un endomorfisme, o d'un operador lineal) en forma canònica de Jordan és el d'una matriu amb gairebé totes les entrades nul·les, llevat de la diagonal principal i dels elements immediatament per sobre (o per sota) d'aquesta diagonal, que són 1 o 0. En un espai vectorial complex de dimensió finita, qualsevol endomorfisme té una forma canònica de Jordan. En canvi, en un espai vectorial real, no tots els endomorfismes tenen una forma canònica de Jordan real. (ca) Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice. Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici existuje Jordanův tvar , který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice , že . Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice . (cs) في الجبر الخطي ، شكل جوردن العادي ، يُعرف أيضًا بشكل جوردن التشريعي أو JCF ، هو مصفوفة مثلثية عليا لشكل معين يسمى مصفوفة جوردن، تمثل عامل تشغيل خطي على مساحة متجهة محددة الأبعاد فيما يتعلق ببعض الأسس . تحتوي مثل هذه المصفوفة على كل إدخال خارج قطري غير صفري يساوي 1 ، مباشرة أعلى القطر الرئيسي ، مع إدخالات قطرية متطابقة إلى اليسار وتحتها. دع V تكون مساحة متجهة على حقل K. يوجد أساس يتعلق بالمصفوفة بالشكل المطلوب إذا كانت جميع القيم الذاتية للمصفوفة موجودة في K ، أو بشكل متساوٍ إذا انقسمت الكثير من الحدود المميزة للعامل إلى عوامل خطية على K.يتم استيفاء هذا الشرط دائمًا إذا كان K مغلقًا جبريًا (على سبيل المثال ، إذا كان حقل الأعداد المركبة). الإدخالات القطرية للنموذج العادي هي القيم الذاتية (المشغل) ، ويطلق على عدد المرات التي تحدث فيها كل قيمة متماثلة القيمة الإجبارية تعدد القيم الذاتية. إذا تم إعطاء المشغل في الأصل بواسطة مصفوفة مربعة M ، فإن نسقها الطبيعي في الجوردن يسمى أيضًا الشكل العادي من M في الجوردن . أي مصفوفة مربعة لها شكل عادي في الجوردن إذا تم توسيع مجال المعاملات إلى واحد يحتوي على جميع القيم الذاتية للمصفوفة. على الرغم من اسمها ، فإن الشكل الطبيعي لـ M المعطى ليس فريدًا تمامًا ، حيث إنه عبارة عن مصفوفة قطرية مكونة من كتل جوردن ، ترتيبها غير ثابت ؛ من المعتاد تجميع الكتل لنفس القيمة الذاتية معًا ، ولكن لا يتم فرض أي ترتيب بين القيم الذاتية ، ولا بين الكتل الخاصة بقيم محددة ، على الرغم من أنه يمكن على سبيل المثال ترتيب الأخيرة بتقليل الحجم بشكل ضعيف. إن تحلل Jordan-Chevalley بسيط للغاية فيما يتعلق بالأساس الذي يتخذ المشغل من خلاله شكله الطبيعي في الجوردن. شكل قطري للمصفوفات القطرية ، على سبيل المثال المصفوفات العادية ، هو حالة خاصة من النموذج العادي للجوردن. تم تسمية النموذج العادي في الجوردن باسم Camille Jordan ، الذي أوضح لأول مرة نظرية تحلل الجوردن في عام 1870. (ar) En lineara algebro, jordana normala formo aŭ jordana kanona formo aŭ klasika kanona formo aŭ pli mallonge jordana formo de n×n kvadrata matrico A estas matrico J=P−1AP kiu havas certan formon. Ĝi estas nomita en honoro de . (eo) Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Benannt wurde sie nach Marie Ennemond Camille Jordan, der sie 1870 für endliche Körper und 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete, die aber auch schon 1868 Karl Weierstraß in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt war. Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ähnlichen Matrizen. Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind immer trigonalisierbar und daher immer ähnlich einer jordanschen Normalform. Für jede lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums, deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann eine Vektorraumbasis gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix, die die Abbildung bezüglich dieser Basis beschreibt, jordansche Normalform hat. Dies gilt insbesondere für jede nilpotente Matrix. Für jede beliebige, auch nicht trigonalisierbare Matrix liefert die rationale Normalform oder Frobenius-Normalform einen standardisierten Repräsentanten der Ähnlichkeitsklasse dieser Matrix. (de) In linear algebra, a Jordan normal form, also known as a Jordan canonical form (JCF),is an upper triangular matrix of a particular form called a Jordan matrix representing a linear operator on a finite-dimensional vector space with respect to some basis. Such a matrix has each non-zero off-diagonal entry equal to 1, immediately above the main diagonal (on the superdiagonal), and with identical diagonal entries to the left and below them. Let V be a vector space over a field K. Then a basis with respect to which the matrix has the required form exists if and only if all eigenvalues of the matrix lie in K, or equivalently if the characteristic polynomial of the operator splits into linear factors over K. This condition is always satisfied if K is algebraically closed (for instance, if it is the field of complex numbers). The diagonal entries of the normal form are the eigenvalues (of the operator), and the number of times each eigenvalue occurs is called the algebraic multiplicity of the eigenvalue. If the operator is originally given by a square matrix M, then its Jordan normal form is also called the Jordan normal form of M. Any square matrix has a Jordan normal form if the field of coefficients is extended to one containing all the eigenvalues of the matrix. In spite of its name, the normal form for a given M is not entirely unique, as it is a block diagonal matrix formed of Jordan blocks, the order of which is not fixed; it is conventional to group blocks for the same eigenvalue together, but no ordering is imposed among the eigenvalues, nor among the blocks for a given eigenvalue, although the latter could for instance be ordered by weakly decreasing size. The Jordan–Chevalley decomposition is particularly simple with respect to a basis for which the operator takes its Jordan normal form. The diagonal form for diagonalizable matrices, for instance normal matrices, is a special case of the Jordan normal form. The Jordan normal form is named after Camille Jordan, who first stated the Jordan decomposition theorem in 1870. (en) La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Camille Jordan. Cette réduction est tellement employée[réf. nécessaire], en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de certaines suites récurrentes, qu'on la nomme parfois « jordanisation des endomorphismes »[réf. nécessaire]. Elle consiste à exprimer la matrice d'un endomorphisme dans une base, dite base de Jordan, où l'expression de l'endomorphisme est réduite. La réduction consiste à déterminer une décomposition de Dunford, c'est-à-dire à trouver un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme nilpotent tels que les deux commutent et que leur somme soit égale à l'endomorphisme initial puis, sur chaque sous-espace caractéristique, on effectue une réduction de Jordan. Cette dernière est un cas particulier de la décomposition de Frobenius dans le cadre spécifique d'un endomorphisme nilpotent. (fr) En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la diagonal y bloques de ceros fuera de ella. (es) ジョルダン標準形（ジョルダンひょうじゅんけい、英: Jordan normal form）とは、代数的閉体（例えば複素数体）上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。名前はカミーユ・ジョルダンにちなむ。 (ja) In de lineaire algebra is de Jordan-normaalvorm van een vierkante matrix een matrix die een standaardvorm heeft en die de eenvoudigste vorm is waarnaar men de oorspronkelijke matrix kan transformeren door een transformatie van de basis. De Jordan-normaalvorm vindt zijn oorsprong in de poging een matrix te herleiden tot een diagonaalmatrix en zo de eigenwaarden te vinden. Niet elke matrix is echter diagonaliseerbaar, maar wel is een grote klasse matrices te herleiden tot de Jordan-normaalvorm, die "bijna" diagonaal is. De Jordan-normaalvorm is behalve op de hoofddiagonaal en de nevendiagonaal boven de hoofddiagonaal geheel gevuld met nullen, en de elementen op de nevendiagonaal die niet 0 zijn, hebben de waarde 1. De Jordan-normaalvorm is genoemd naar Camille Jordan, die in 1871 deze vorm afleidde in samenhang met de oplossing van complexe differentiaalvergelijkingen voor complexe matrices. De Jordan-normaalvorm van is gelijksoortig met . (nl) 선형대수학에서 조르당 표준형(Jordan標準型, 영어: Jordan normal form)은 주어진 행렬과 닮고, 대각 행렬에 가장 가까운 행렬이다. 임의의 행렬의 조르당 표준형은 그 특성 다항식이 완전히 인수 분해되는 체 위에서만 존재한다. 특히 대수적으로 닫힌 체 위의 임의의 행렬(특히, 복소수 행렬)은 조르당 표준형을 가지며, 이는 조르당 블록들을 대각선 위에 배열하는 순서를 무시하면 유일하다. 조르당 블록의 배열 순서는 정해진 규칙이 없지만, 보기 좋게 하기 위해 일반적으로 같은 고윳값에 대해서는 주기가 높은 순에서 낮은 순이 사용된다. 프랑스의 수학자 카미유 조르당의 이름을 땄다. (ko) In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan. La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi). Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili. (it) Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille’a Jordana. Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie gdzie: * A – dana macierz, * P – pewna macierz nieosobliwa, której niektórymi kolumnami są wektory własne macierzy A, * J – szukana macierz Jordana. Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli Zaś każda klatka Jordana ma daną wartość własną na diagonali i liczbę 1 ponad nią: Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden wektor własny, ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej. Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału gdzie N to wymiar macierzy A. Macierz Jordana to macierz trójkątna górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych. (pl) Jordans normalform är inom linjär algebra en form för matriser som visar att en matris kan uttryckas som en "nästan diagonal" matris genom basbyte. Den "nästan diagonala" matrisen är en Jordanmatris med :s egenvärden i diagonalen. Diagonalisering kan ses som ett specialfall av Jordans normalform. Jordans normalform är uppkallad efter Camille Jordan. (sv) A forma canônica de Jordan (português brasileiro) ou forma canónica de Jordan (português europeu) é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal. O nome é uma referência a Camille Jordan. (pt) У лінійній алгебрі жорданова нормальна форма — нормальна форма, до якої можна привести довільну квадратну матрицю над полем, що містить всі її власні значення, за допомогою переходу до певного базису. Дана форма запису матриці має важливе теоретичне значення у лінійній алгебрі і при розв'язуванні систем диференціальних рівнянь. (uk) 在线性代数中，若尔当标准型（英語：Jordan normal form）或称若尔当标准式、喬登正則式（英語：Jordan canonical form）是某個線性映射在有限維向量空間上的特別的矩陣表達形式，稱作若尔当矩陣(Jordan matrix)，這矩陣接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其餘都是零，且主對角線上方的對角線的係數若不為零只能為，且這左方和下方的係數（都在主對角線上）有相同的值。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况，因為可以被對角化(diagonalizable)。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域为的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。或者说，如果一个有限維向量空間上的自同态線性映射的特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。 若尔当标准型得名于十九世纪后期的法国数学家卡米尔·若尔当。 (zh) |
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(eo) En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la diagonal y bloques de ceros fuera de ella. (es) ジョルダン標準形（ジョルダンひょうじゅんけい、英: Jordan normal form）とは、代数的閉体（例えば複素数体）上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。名前はカミーユ・ジョルダンにちなむ。 (ja) 선형대수학에서 조르당 표준형(Jordan標準型, 영어: Jordan normal form)은 주어진 행렬과 닮고, 대각 행렬에 가장 가까운 행렬이다. 임의의 행렬의 조르당 표준형은 그 특성 다항식이 완전히 인수 분해되는 체 위에서만 존재한다. 특히 대수적으로 닫힌 체 위의 임의의 행렬(특히, 복소수 행렬)은 조르당 표준형을 가지며, 이는 조르당 블록들을 대각선 위에 배열하는 순서를 무시하면 유일하다. 조르당 블록의 배열 순서는 정해진 규칙이 없지만, 보기 좋게 하기 위해 일반적으로 같은 고윳값에 대해서는 주기가 높은 순에서 낮은 순이 사용된다. 프랑스의 수학자 카미유 조르당의 이름을 땄다. (ko) Jordans normalform är inom linjär algebra en form för matriser som visar att en matris kan uttryckas som en "nästan diagonal" matris genom basbyte. Den "nästan diagonala" matrisen är en Jordanmatris med :s egenvärden i diagonalen. Diagonalisering kan ses som ett specialfall av Jordans normalform. Jordans normalform är uppkallad efter Camille Jordan. (sv) A forma canônica de Jordan (português brasileiro) ou forma canónica de Jordan (português europeu) é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal. O nome é uma referência a Camille Jordan. (pt) У лінійній алгебрі жорданова нормальна форма — нормальна форма, до якої можна привести довільну квадратну матрицю над полем, що містить всі її власні значення, за допомогою переходу до певного базису. Дана форма запису матриці має важливе теоретичне значення у лінійній алгебрі і при розв'язуванні систем диференціальних рівнянь. (uk) 在线性代数中，若尔当标准型（英語：Jordan normal form）或称若尔当标准式、喬登正則式（英語：Jordan canonical form）是某個線性映射在有限維向量空間上的特別的矩陣表達形式，稱作若尔当矩陣(Jordan matrix)，這矩陣接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其餘都是零，且主對角線上方的對角線的係數若不為零只能為，且這左方和下方的係數（都在主對角線上）有相同的值。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况，因為可以被對角化(diagonalizable)。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域为的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。或者说，如果一个有限維向量空間上的自同态線性映射的特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。 若尔当标准型得名于十九世纪后期的法国数学家卡米尔·若尔当。 (zh) في الجبر الخطي ، شكل جوردن العادي ، يُعرف أيضًا بشكل جوردن التشريعي أو JCF ، هو مصفوفة مثلثية عليا لشكل معين يسمى مصفوفة جوردن، تمثل عامل تشغيل خطي على مساحة متجهة محددة الأبعاد فيما يتعلق ببعض الأسس . تحتوي مثل هذه المصفوفة على كل إدخال خارج قطري غير صفري يساوي 1 ، مباشرة أعلى القطر الرئيسي ، مع إدخالات قطرية متطابقة إلى اليسار وتحتها. إن تحلل Jordan-Chevalley بسيط للغاية فيما يتعلق بالأساس الذي يتخذ المشغل من خلاله شكله الطبيعي في الجوردن. شكل قطري للمصفوفات القطرية ، على سبيل المثال المصفوفات العادية ، هو حالة خاصة من النموذج العادي للجوردن. (ar) La forma canònica de Jordan o forma normal de Jordan és un terme matemàtic utilitzat en àlgebra lineal. Deu el seu nom al matemàtic francès Camille Jordan, que la va descobrir el 1871 per a solucionar sistemes d'equacions diferencials complexes per a matrius complexes. En concret, és la representació d'un endomorfisme amb una matriu de Jordan, que és una forma especial de matriu triangular superior, en certa base. (ca) Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Benannt wurde sie nach Marie Ennemond Camille Jordan, der sie 1870 für endliche Körper und 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete, die aber auch schon 1868 Karl Weierstraß in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt war. Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ähnlichen Matrizen. Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind immer trigonalisierbar und daher immer ähnlich einer jordansche (de) In linear algebra, a Jordan normal form, also known as a Jordan canonical form (JCF),is an upper triangular matrix of a particular form called a Jordan matrix representing a linear operator on a finite-dimensional vector space with respect to some basis. Such a matrix has each non-zero off-diagonal entry equal to 1, immediately above the main diagonal (on the superdiagonal), and with identical diagonal entries to the left and below them. The Jordan normal form is named after Camille Jordan, who first stated the Jordan decomposition theorem in 1870. (en) La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Camille Jordan. Cette réduction est tellement employée[réf. nécessaire], en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de certaines suites récurrentes, qu'on la nomme parfois « jordanisation des endomorphismes »[réf. nécessaire]. (fr) In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan. La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi). (it) In de lineaire algebra is de Jordan-normaalvorm van een vierkante matrix een matrix die een standaardvorm heeft en die de eenvoudigste vorm is waarnaar men de oorspronkelijke matrix kan transformeren door een transformatie van de basis. De Jordan-normaalvorm vindt zijn oorsprong in de poging een matrix te herleiden tot een diagonaalmatrix en zo de eigenwaarden te vinden. Niet elke matrix is echter diagonaliseerbaar, maar wel is een grote klasse matrices te herleiden tot de Jordan-normaalvorm, die "bijna" diagonaal is. De Jordan-normaalvorm is behalve op de hoofddiagonaal en de nevendiagonaal boven de hoofddiagonaal geheel gevuld met nullen, en de elementen op de nevendiagonaal die niet 0 zijn, hebben de waarde 1. (nl) Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille’a Jordana. Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie gdzie: * A – dana macierz, * P – pewna macierz nieosobliwa, której niektórymi kolumnami są wektory własne macierzy A, * J – szukana macierz Jordana. Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli (pl) |
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