Formal power series (original) (raw)
En matemàtica, una sèrie formal de potències (de vegades sèrie de potències formal) és una expressió matemàtica que estén les propietats de les sèries de potències en cossos com el dels reals o el dels complexos, permetent donar sentit formal a diverses notacions que tècnicament no tenen rigor. Les sèries formals de potències tenen diverses aplicacions, podent esmentar la combinatòria i la teoria de nombres.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtica, una sèrie formal de potències (de vegades sèrie de potències formal) és una expressió matemàtica que estén les propietats de les sèries de potències en cossos com el dels reals o el dels complexos, permetent donar sentit formal a diverses notacions que tècnicament no tenen rigor. Les sèries formals de potències tenen diverses aplicacions, podent esmentar la combinatòria i la teoria de nombres. (ca) Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den (Grenzwert-)Eigenschaften, liegt. Gemeinsam ist, dass die Koeffizienten aus einem Ring genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich ein vollständiger Ring ist, meist der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen.Ein anderer Unterschied ist, dass die „Variable“ eine Unbestimmte ist, die oft mit Großbuchstaben (oder ) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ nicht zugewiesen wird.Die im Nullpunkt analytischen Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft sind und dem Koeffizientenvergleich unterliegen. Wegen der vielen gemeinsamen Eigenschaften und Begriffsbildungen werden die formalen Laurent-Reihen in diesem Artikel mitbehandelt.Die Definitionen und Eigenschaften sind bei den formalen Laurent-Reihen geringfügig komplexer, enthalten aber sehr häufig die formalen Potenzreihen als Spezialfall. Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen Computeralgebra-Systemen. (de) Je algebro, formala potencoserio estas formala sumo de senfinaj termoj de potencoj de iu formala variablo, kiu ne devas konverĝi. La formalaj potencoserioj formas ringon, simile al la ringo de polinomoj. (eo) En matemática, se llama serie formal de potencias (a veces serie de potencias formal) a una expresión matemática que extiende las propiedades de las series de potencias en cuerpos como el de los reales o el de los complejos, permitiendo dar sentido formal a diversas notaciones que técnicamente carecen de rigurosidad. Las series formales de potencias tienen diversas aplicaciones, pudiéndose mencionar la combinatoria y la teoría de números. (es) In mathematics, a formal series is an infinite sum that is considered independently from any notion of convergence, and can be manipulated with the usual algebraic operations on series (addition, subtraction, multiplication, division, partial sums, etc.). A formal power series is a special kind of formal series, whose terms are of the form where is the th power of a variable ( is a non-negative integer), and is called the coefficient. Hence, power series can be viewed as a generalization of polynomials, where the number of terms is allowed to be infinite, with no requirements of convergence. Thus, the series may no longer represent a function of its variable, merely a formal sequence of coefficients, in contrast to a power series, which defines a function by taking numerical values for the variable within a radius of convergence. In a formal power series, the are used only as position-holders for the coefficients, so that the coefficient of is the fifth term in the sequence. In combinatorics, the method of generating functions uses formal power series to represent numerical sequences and multisets, for instance allowing concise expressions for recursively defined sequences regardless of whether the recursion can be explicitly solved. More generally, formal power series can include series with any finite (or countable) number of variables, and with coefficients in an arbitrary ring. Rings of formal power series are complete local rings, and this allows using calculus-like methods in the purely algebraic framework of algebraic geometry and commutative algebra. They are analogous in many ways to p-adic integers, which can be defined as formal series of the powers of p. (en) En algèbre, les séries formelles sont une généralisation des polynômes autorisant des sommes infinies, de la même façon qu'en analyse, les séries entières généralisent les fonctions polynomiales, à ceci près que dans le cadre algébrique, les problèmes de convergence sont évités par des définitions ad hoc. Ces objets sont utiles pour décrire de façon concise des suites et pour trouver des formules pour des suites définies par récurrence via ce que l'on appelle les séries génératrices. (fr) In matematica, le serie formali di potenze sono entità che rendono possibile riformulare gran parte dei risultati concernenti le serie di potenze ottenuti nella analisi matematica in ambiti formali che non si pongono questioni di "convergenza". Esse si rivelano utili, specialmente nella combinatoria, per fornire rappresentazioni compatte di successioni di numeri e funzioni e per ottenere formule chiuse per successioni definite attraverso un algoritmo ricorsivo; questo modo di operare viene detto metodo delle funzioni generatrici. (it) 대수학에서 형식적 멱급수(중국어: 形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다. (ko) 数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として） は（多項式ではない）冪級数である。 (ja) Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду: в якому коефіцієнти належать деякому кільцю . На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів.Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці. (uk) Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу . В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается. Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений. (ru) 形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 (zh) |
| dbo:wikiPageID | 60012 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 51166 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1093700634 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Calculus dbr:Cambridge_University_Press dbr:Bell_series dbr:Power_series dbr:Product_rule dbr:Product_topology dbr:Puiseux_series dbr:Multiplicative_function dbr:Monomial dbr:Binomial_series dbr:Derivative dbc:Enumerative_combinatorics dbr:Integral_domain dbr:Jacobson_radical dbr:Limit_of_a_sequence dbc:Ring_theory dbr:Compact_space dbr:Complex_analysis dbr:Complex_number dbr:Composition_inverse dbr:Convolution dbr:Mathematical_analysis dbr:Mathematics dbr:Noetherian_ring dbr:Function_(mathematics) dbr:Generating_function dbr:Geometric_series dbr:Multiset dbr:Conditional_convergence dbr:Constant_term dbr:Convergent_series dbr:Antiderivative dbr:Linear_operator dbr:Combinatorics dbr:Commutative_algebra dbr:Commutative_ring dbr:Comparison_of_topologies dbr:Faà_di_Bruno's_formula dbr:Derivation_(abstract_algebra) dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Partial_derivative dbr:Theoretical_computer_science dbr:Maximal_ideal dbr:Cauchy_product dbr:Topology dbr:Well-order dbr:Divisible_group dbr:Local_ring dbr:Algebraic_geometry dbr:Alphabet_(formal_languages) dbr:Fibonacci_number dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_set dbr:Formal_power_series dbr:Nicolas_Bourbaki dbr:P-adic_integer dbr:Partial_sum dbr:Discrete_valuation_ring dbr:Formal_derivative dbr:Uniform_convergence dbr:Recursion dbr:Ring_(mathematics) dbr:Weierstrass_preparation_theorem dbc:Mathematical_series dbr:Hans_Hahn_(mathematician) dbr:Hilbert_basis_theorem dbr:Inverse_function dbr:Taylor_series dbr:Absolute_convergence dbc:Abstract_algebra dbr:Chain_rule dbr:Characteristic_(algebra) dbr:Lambert_W_function dbr:Laurent_series dbr:Codomain dbr:Coefficient dbr:Discrete_topology dbr:Associative_algebra dbr:Polynomial dbr:Field_of_fractions dbr:Free_monoid dbr:Constant_coefficients dbr:Examples_of_generating_functions dbr:I-adic_topology dbr:Identity_function dbr:Integer dbr:Algebraically_closed dbr:Metric_space dbr:Natural_number dbr:Radius_of_convergence dbr:Real_closed_field dbr:Real_number dbr:Semiring dbr:Sequence dbr:Series_(mathematics) dbr:Tychonoff's_theorem dbr:Factorial dbr:Completion_(ring_theory) dbr:Formal_group dbr:Localization_of_a_ring dbr:Topological_ring dbr:Exact_sequence dbr:Rational_series dbr:Universal_property dbr:Ring_of_restricted_power_series dbr:Word_(mathematics) dbr:Analysis_(mathematics) dbr:Function_domain dbr:Complete_local_ring dbr:Completeness_(topology) dbr:Weighted_automata |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Doi dbt:Efn dbt:Expand_section dbt:ISBN dbt:Main dbt:Main_article dbt:Mvar dbt:Notelist dbt:NumBlk dbt:Refimprove dbt:Reflist dbt:Ring_theory_sidebar dbt:Series_(mathematics) dbt:Short_description dbt:Visible_anchor dbt:EquationRef dbt:Complex_analysis_sidebar dbt:EquationNote |
| dct:subject | dbc:Enumerative_combinatorics dbc:Ring_theory dbc:Mathematical_series dbc:Abstract_algebra |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Algebra106012726 yago:Cognition100023271 yago:Content105809192 yago:Discipline105996646 yago:KnowledgeDomain105999266 yago:Mathematics106000644 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:PureMathematics106003682 yago:Science105999797 yago:WikicatAlgebras |
| rdfs:comment | En matemàtica, una sèrie formal de potències (de vegades sèrie de potències formal) és una expressió matemàtica que estén les propietats de les sèries de potències en cossos com el dels reals o el dels complexos, permetent donar sentit formal a diverses notacions que tècnicament no tenen rigor. Les sèries formals de potències tenen diverses aplicacions, podent esmentar la combinatòria i la teoria de nombres. (ca) Je algebro, formala potencoserio estas formala sumo de senfinaj termoj de potencoj de iu formala variablo, kiu ne devas konverĝi. La formalaj potencoserioj formas ringon, simile al la ringo de polinomoj. (eo) En matemática, se llama serie formal de potencias (a veces serie de potencias formal) a una expresión matemática que extiende las propiedades de las series de potencias en cuerpos como el de los reales o el de los complejos, permitiendo dar sentido formal a diversas notaciones que técnicamente carecen de rigurosidad. Las series formales de potencias tienen diversas aplicaciones, pudiéndose mencionar la combinatoria y la teoría de números. (es) En algèbre, les séries formelles sont une généralisation des polynômes autorisant des sommes infinies, de la même façon qu'en analyse, les séries entières généralisent les fonctions polynomiales, à ceci près que dans le cadre algébrique, les problèmes de convergence sont évités par des définitions ad hoc. Ces objets sont utiles pour décrire de façon concise des suites et pour trouver des formules pour des suites définies par récurrence via ce que l'on appelle les séries génératrices. (fr) In matematica, le serie formali di potenze sono entità che rendono possibile riformulare gran parte dei risultati concernenti le serie di potenze ottenuti nella analisi matematica in ambiti formali che non si pongono questioni di "convergenza". Esse si rivelano utili, specialmente nella combinatoria, per fornire rappresentazioni compatte di successioni di numeri e funzioni e per ottenere formule chiuse per successioni definite attraverso un algoritmo ricorsivo; questo modo di operare viene detto metodo delle funzioni generatrici. (it) 대수학에서 형식적 멱급수(중국어: 形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다. (ko) 数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として） は（多項式ではない）冪級数である。 (ja) Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду: в якому коефіцієнти належать деякому кільцю . На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів.Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці. (uk) Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу . В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается. Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений. (ru) 形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 (zh) Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den (Grenzwert-)Eigenschaften, liegt. Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen Computeralgebra-Systemen. (de) In mathematics, a formal series is an infinite sum that is considered independently from any notion of convergence, and can be manipulated with the usual algebraic operations on series (addition, subtraction, multiplication, division, partial sums, etc.). Rings of formal power series are complete local rings, and this allows using calculus-like methods in the purely algebraic framework of algebraic geometry and commutative algebra. They are analogous in many ways to p-adic integers, which can be defined as formal series of the powers of p. (en) |
| rdfs:label | Sèrie formal de potències (ca) Formale Potenzreihe (de) Formala potencoserio (eo) Serie formal de potencias (es) Formal power series (en) Serie formale di potenze (it) Série formelle (fr) 形式的冪級数 (ja) 형식적 멱급수 (ko) Формальный степенной ряд (ru) Формальний степеневий ряд (uk) 形式幂级数 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Formal power series yago-res:Formal power series wikidata:Formal power series dbpedia-ca:Formal power series http://cv.dbpedia.org/resource/Формаллĕ_капашла_рет dbpedia-de:Formal power series dbpedia-eo:Formal power series dbpedia-es:Formal power series dbpedia-fa:Formal power series dbpedia-fr:Formal power series dbpedia-hu:Formal power series dbpedia-is:Formal power series dbpedia-it:Formal power series dbpedia-ja:Formal power series dbpedia-ko:Formal power series dbpedia-ro:Formal power series dbpedia-ru:Formal power series dbpedia-sq:Formal power series dbpedia-uk:Formal power series dbpedia-vi:Formal power series dbpedia-zh:Formal power series https://global.dbpedia.org/id/6vvk |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Formal_power_series?oldid=1093700634&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Formal_power_series |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Formal |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Ring_of_formal_power_series dbr:Operations_on_formal_power_series dbr:Magnus_ring dbr:Formal_Laurent_series dbr:Formal_power_serie dbr:Non-commuting_formal_power_series dbr:Formal_power_series_ring dbr:Ring_of_formal_Laurent_series dbr:Formal_power_series_over_a_semiring dbr:Formal_series dbr:R((x)) dbr:K((x)) dbr:Power_series_ring |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Bell_polynomials dbr:Bell_series dbr:Power_series dbr:Proofs_of_Fermat's_little_theorem dbr:Puiseux_series dbr:Schwarzian_derivative dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:List_of_commutative_algebra_topics dbr:Monomial dbr:Riordan_array dbr:Quasi-finite_field dbr:Ring_of_symmetric_functions dbr:Bernoulli_polynomials dbr:Binomial_coefficient dbr:Appell_sequence dbr:Arf_invariant dbr:Jordan_matrix dbr:Joris_van_der_Hoeven dbr:List_of_mathematical_symbols_by_subject dbr:Pentagonal_number_theorem dbr:Ring_of_formal_power_series dbr:Derivation_(differential_algebra) dbr:Duflo_isomorphism dbr:Incidence_algebra dbr:Indeterminate_(variable) dbr:Injective_module dbr:Iwasawa_algebra dbr:J._C._P._Miller dbr:Jacobson_radical dbr:Jaffard_ring dbr:Künneth_theorem dbr:Levi-Civita_field dbr:Schanuel's_conjecture dbr:Random_permutation_statistics dbr:Nottingham_group dbr:Commutator dbr:Complete_homogeneous_symmetric_polynomial dbr:Confluent_hypergeometric_function dbr:Generating_function_transformation dbr:Genus_of_a_multiplicative_sequence dbr:Noetherian_ring dbr:Non-Archimedean_ordered_field dbr:Q-Pochhammer_symbol dbr:Operations_on_formal_power_series dbr:Eigenvalues_and_eigenvectors dbr:Generating_function dbr:Multiset dbr:Constant-recursive_sequence dbr:Convolution_power dbr:Lagrange_reversion_theorem dbr:Newton's_identities dbr:Milnor–Thurston_kneading_theory dbr:Ordered_field dbr:Antiderivative dbr:Bergman's_diamond_lemma dbr:Linear_recurrence_with_constant_coefficients dbr:Local_zeta_function dbr:Magnus_ring dbr:Chiral_algebra dbr:Commutative_ring dbr:Completion_of_a_ring dbr:Z-transform dbr:Faà_di_Bruno's_formula dbr:Hahn_series dbr:Perturbation_theory dbr:Probability-generating_function dbr:Surreal_number dbr:Newton_polygon dbr:Hasse–Schmidt_derivation dbr:Irvin_Cohen dbr:K-regular_sequence dbr:Local_field dbr:Local_ring dbr:Splitting_circle_method dbr:Euclidean_domain dbr:Exponential_formula dbr:Field_(mathematics) dbr:Formal_Laurent_series dbr:Formal_power_serie dbr:Formal_power_series dbr:Balanced_ternary dbr:Basic_hypergeometric_series dbr:P-adic_number dbr:Padé_approximant dbr:Cauchy–Kowalevski_theorem dbr:Discrete_valuation_ring dbr:Formal_calculation dbr:Formal_derivative dbr:Formal_group_law dbr:Formal_moduli dbr:Graded_ring dbr:Graded_vector_space dbr:Hilbert–Poincaré_series dbr:Hilbert–Samuel_function dbr:Unique_factorization_domain dbr:Malgrange_preparation_theorem dbr:Quasiregular_element dbr:Quasisymmetric_function dbr:Regular_language dbr:Regular_local_ring dbr:Ring_(mathematics) dbr:Weierstrass_preparation_theorem dbr:Inverse_limit dbr:Backhouse's_constant dbr:Baer–Specker_group dbr:Superreal_number dbr:Abstract_analytic_number_theory dbr:Characteristic_(algebra) dbr:Charles_Babbage dbr:Lagrange_inversion_theorem dbr:Laurent_series dbr:Summation_of_Grandi's_series dbr:Eisenstein's_theorem dbr:Henselian_ring dbr:Hermite_number dbr:Higher_local_field dbr:Holonomic_function dbr:Todd_class dbr:Mittag-Leffler_summation dbr:Artin_approximation_theorem dbr:Artin–Mazur_zeta_function dbr:Automatic_sequence dbr:Butcher_group dbr:Polynomial dbr:Polynomial_ring dbr:Square_root_of_a_matrix dbr:Grothendieck_trace_formula dbr:Real_closed_field dbr:Sheffer_sequence dbr:Variable_(mathematics) dbr:Non-commuting_formal_power_series dbr:Euler_function dbr:Exp_algebra dbr:Formal dbr:Formal_power_series_ring dbr:Stirling_numbers_and_exponential_generating_functions_in_symbolic_combinatorics dbr:Topological_ring dbr:Total_algebra dbr:Transseries dbr:Rational_series dbr:Nagata_ring dbr:Motivic_zeta_function dbr:Polynomial_solutions_of_P-recursive_equations dbr:Subshift_of_finite_type dbr:Thue–Morse_sequence dbr:Witt_vector dbr:Padé_table dbr:Stirling_numbers_of_the_first_kind dbr:Outline_of_combinatorics dbr:P-recursive_equation dbr:Stirling_transform dbr:Tate_vector_space dbr:Ring_of_formal_Laurent_series dbr:Formal_power_series_over_a_semiring dbr:Formal_series dbr:R((x)) dbr:K((x)) dbr:Power_series_ring |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Polynomial_ring |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Formal_power_series |