Homotopy group (original) (raw)
En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie, sind die Homotopiegruppen ein Werkzeug, um topologische Räume zu klassifizieren. Die stetigen Abbildungen einer n-dimensionalen Sphäre in einen gegebenen Raum werden zu Äquivalenzklassen, den sogenannten Homotopieklassen, zusammengefasst. Dabei heißen zwei Abbildungen homotop, wenn sie stetig ineinander überführt werden können. Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe, die n-te Homotopiegruppe des Raumes genannt wird. Anschaulich kann die Homotopiegruppe als Maß dafür verstanden werden, auf wie viele wesentlich unterschiedliche Arten die in den Raum abgebildet werden kann. Die erste Homotopiegruppe heißt auch Fundamentalgruppe. Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Homotopiegruppen. Haben zwei Räume verschiedene Homotopiegruppen, so können sie nicht homotopieäquivalent sein, somit auch nicht homöomorph. Für CW-Komplexe gilt nach einem Satz von Whitehead auch eine partielle Umkehrung. (de) In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces. The first and simplest homotopy group is the fundamental group, denoted which records information about loops in a space. Intuitively, homotopy groups record information about the basic shape, or holes, of a topological space. To define the n-th homotopy group, the base-point-preserving maps from an n-dimensional sphere (with base point) into a given space (with base point) are collected into equivalence classes, called homotopy classes. Two mappings are homotopic if one can be continuously deformed into the other. These homotopy classes form a group, called the n-th homotopy group, of the given space X with base point. Topological spaces with differing homotopy groups are never equivalent (homeomorphic), but topological spaces that are not homeomorphic can have the same homotopy groups. The notion of homotopy of paths was introduced by Camille Jordan. (en) En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar los espacios topológicos. El primer y más sencillo grupo de homotopía es el grupo fundamental, que registra información sobre las familias de curvas cerradas en un espacio. Intuitivamente, los grupos homotópicos registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico. Dos aplicaciones o mapas son homotópicos si uno puede ser deformado de forma continua hasta convertirlo en el otro. La homotopía así definida es una relación de equivalencia que permite definir clases de equivalencia llamadas clases de homotopía. El conjunto de dichas clases tiene estructura de grupo bajo la operación de composición. El grupo de homotopía de orden n, , se define como el conjunto de los mapas de una esfera n-dimensional Sn en un espacio dado X, basados en un punto fijo x0. El grupo fundamental es el primer grupo de homotopía , es decir, la familia de mapas de una esfera S1 (una circunferencia) en un espacio dado X, pasantes por un punto fijo x0 . La noción de homotopía de curvas fue presentada por Camille Jordan. Los espacios topológicos con diferentes grupos de homotopía no son homeomorfos, pero lo contrario no es cierto. En las matemáticas modernas, para estudiar una categoría es común asociar a cada objeto de esta categoría un objeto simple que todavía conserva una cantidad suficiente de información sobre el objeto en cuestión. Los grupos de homotopía son una manera de asociar los grupos a la categoría de espacios topológicos. (es) Dalam matematika, grup homotopi digunakan dalam topologi aljabar untuk mengklasifikasikan ruang topologi. Grup homotopi pertama dan paling sederhana adalah grup dasar, yang mencatat informasi tentang dalam . Secara intuitif, grup homotopi mencatat informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Untuk mendefinisikan grup homotopi ke-n, peta-peta base-point-preserving dari (dengan ) ke dalam ruang (dengan titik dasar) dikumpulkan ke dalam kelas ekuivalen, yang disebut . Dua pemetaan adalah homotopik jika salah satu dapat terus dideformasi menjadi lainnya. Kelas-kelas homotopi ini membentuk grup, yang disebut grup homotopi ke-n , dari ruang X yang diberikan dengan titik dasar. Ruang topologi dengan kelompok homotopi yang berbeda tidak pernah setara, tetapi ruang topologi yang bukan homeomorfik dapat memiliki kelompok homotopi yang sama. Gagasan homotopi dari diperkenalkan oleh Camille Jordan. (in) En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. (fr) ホモトピー群 (homotopy group) は、数学の代数トポロジーにおいて位相空間を分類するために使われる。1次の最も簡単なホモトピー群は基本群であり、空間のループについての情報がわかる。直感的には、ホモトピー群は位相空間の基本的な形、穴、についての情報を持っている。 n 次ホモトピー群を定義するために、（基点付き）n 次元球面から与えられた（基点付き）空間の中への基点を保つ写像はホモトピー類と呼ばれる同値類へと集められる。2つの写像がホモトープ (homotopic) とは、一方から他方へ連続的に変形できることをいう。これらのホモトピー類たちが基点付きの与えられた空間 X の n 次ホモトピー群 (n-th homotopy group) と呼ばれる群 πn(X) をなす。異なるホモトピー群を持つ位相空間は決して同じ（同相）ではないが、逆は正しくない。 道のホモトピーの概念はカミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) によって導入された。 (ja) 대수적 위상수학에서 호모토피 군(homotopy群, 영어: homotopy group)은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 동치 불변 성질을 나타낸다. 기본군의 고차 일반화이다. 기호는 . (ko) In matematica, i gruppi di omotopia sono un oggetto algebrico che intuitivamente misura la quantità di "buchi n-dimensionali" di uno spazio. Il gruppo di omotopia più usato è il gruppo fondamentale, che corrisponde al caso n=1. Per n>1 tali oggetti algebrici sono spesso difficilmente calcolabili anche per gli spazi topologici più semplici, come ad esempio le sfere, e per questo motivo si usano spesso al loro posto i gruppi di omologia. (it) In de algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, worden homotopiegroepen gebruikt om topologische ruimten te classificeren. De eerste en eenvoudigste homotopiegroep is de fundamentaalgroep, die informatie over lussen in een ruimte bevat. Intuïtief gesproken bevatten homotopiegroepen informatie over de elementaire vorm van een topologische ruimte, over de lussen, of equivalent daarmee over de gaten, in die ruimte. (nl) Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології. Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група. Фундаментальна група була введена Анрі Пуанкаре, вищі гомотопічні групи — Вітольдом Гуревичем.Незважаючи на простоту їх означення, обчислення конкретних груп (навіть для таких простих просторів, як багатовимірні сфери Sn) часто є дуже важким завданням, причому загальні методи були отримані тільки в середині XX століття з появою . (uk) Гомотопи́ческие гру́ппы — инвариант топологических пространств, одно из основных понятий алгебраической топологии. Неформально говоря, они классифицируют отображения из многомерных сфер в заданное топологическое пространство с точностью до непрерывной деформации.Несмотря на простоту определения, гомотопические группы очень сложны в вычислении, даже для сфер.Это отличает их от групп гомологий, которые проще считаются, но сложнее определяются.Простейшим частным случаем гомотопических групп является фундаментальная группа. (ru) 在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 的情形，至今也沒有完整結果。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Torus.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.today/20120723235509/http:/www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html https://books.google.com/books%3Fid=wlrvAAAAMAAJ%7Cedition=3rd%7Cseries=Graduate http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html%7Cpublisher http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl%3FGDZPPN002274760%7Cdoi=10.1007/BF01457962%7Cdoi-access=free |
| dbo:wikiPageID | 297506 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-cs:Homotopická_grupa |
| dbo:wikiPageLength | 19971 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1121132024 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Camille_Jordan dbr:Ronald_Brown_(mathematician) dbr:Algebraic_topology dbr:Homeomorphic dbr:Homogeneous_space dbr:Homotopy_class dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Hopf_fibration dbr:Path-connected_space dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Topological_invariant dbr:Trivial_group dbr:Constant_function dbr:Crossed_module dbr:Mathematics dbr:Boundary_(topology) dbr:N-sphere dbr:Equivalence_class dbr:Milnor's_sphere dbr:Loop_(topology) dbr:Freudenthal_suspension_theorem dbr:Functor dbr:Fundamental_group dbr:Hopf_invariant dbr:Kernel_(algebra) dbr:Mathematische_Annalen dbr:Path_(topology) dbr:Subgroup dbr:Wedge_sum dbr:Mapping_cone_(topology) dbr:Topology dbr:Torus dbr:Exotic_sphere dbr:Knot_theory dbr:Simply_connected_space dbr:Postnikov_system dbr:Riemannian_manifold dbc:Homotopy_theory dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_homomorphism dbr:Hurewicz_theorem dbr:Hypercube dbr:Abelian_group dbr:Bijection dbr:Blakers–Massey_theorem dbr:Cohomology dbr:Homology,_Homotopy_and_Applications dbr:Homotopy_fiber dbr:Homotopy_group_with_coefficients dbr:Homotopy_lifting_property dbr:Homotopy_theory dbr:Model_category dbr:Diffeomorphic dbr:Aspherical_space dbr:CW_complex dbr:Sphere dbr:Fibration dbr:Group_isomorphism dbr:Group_theory dbr:Groupoid dbr:Category_(mathematics) dbr:Seifert–van_Kampen_theorem dbr:Hole_(topology) dbr:Singular_homology dbr:Smooth_manifold dbr:Vector_bundle dbr:Image_(mathematics) dbr:Subspace_topology dbr:Pointed_set dbr:Exact_sequence dbr:Excision_theorem dbr:N-connected dbr:Puppe_sequence dbr:Serre_spectral_sequence dbr:Simplicial_set dbr:Injective dbr:Topological_space dbr:Serre_fibration dbr:Universal_cover dbr:Base_point dbr:Oriented_manifold dbr:Mathematical_space dbr:Homology_group dbr:File:Torus.png dbr:File:Homotopy_group_addition.svg dbr:File:2sphere_2.png |
| dbp:id | p/h047930 (en) |
| dbp:title | Homotopy group (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Doi dbt:Em dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Use_American_English dbt:Topology dbt:MR |
| dcterms:subject | dbc:Homotopy_theory |
| rdfs:comment | En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. (fr) ホモトピー群 (homotopy group) は、数学の代数トポロジーにおいて位相空間を分類するために使われる。1次の最も簡単なホモトピー群は基本群であり、空間のループについての情報がわかる。直感的には、ホモトピー群は位相空間の基本的な形、穴、についての情報を持っている。 n 次ホモトピー群を定義するために、（基点付き）n 次元球面から与えられた（基点付き）空間の中への基点を保つ写像はホモトピー類と呼ばれる同値類へと集められる。2つの写像がホモトープ (homotopic) とは、一方から他方へ連続的に変形できることをいう。これらのホモトピー類たちが基点付きの与えられた空間 X の n 次ホモトピー群 (n-th homotopy group) と呼ばれる群 πn(X) をなす。異なるホモトピー群を持つ位相空間は決して同じ（同相）ではないが、逆は正しくない。 道のホモトピーの概念はカミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) によって導入された。 (ja) 대수적 위상수학에서 호모토피 군(homotopy群, 영어: homotopy group)은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 동치 불변 성질을 나타낸다. 기본군의 고차 일반화이다. 기호는 . (ko) In matematica, i gruppi di omotopia sono un oggetto algebrico che intuitivamente misura la quantità di "buchi n-dimensionali" di uno spazio. Il gruppo di omotopia più usato è il gruppo fondamentale, che corrisponde al caso n=1. Per n>1 tali oggetti algebrici sono spesso difficilmente calcolabili anche per gli spazi topologici più semplici, come ad esempio le sfere, e per questo motivo si usano spesso al loro posto i gruppi di omologia. (it) In de algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, worden homotopiegroepen gebruikt om topologische ruimten te classificeren. De eerste en eenvoudigste homotopiegroep is de fundamentaalgroep, die informatie over lussen in een ruimte bevat. Intuïtief gesproken bevatten homotopiegroepen informatie over de elementaire vorm van een topologische ruimte, over de lussen, of equivalent daarmee over de gaten, in die ruimte. (nl) Гомотопи́ческие гру́ппы — инвариант топологических пространств, одно из основных понятий алгебраической топологии. Неформально говоря, они классифицируют отображения из многомерных сфер в заданное топологическое пространство с точностью до непрерывной деформации.Несмотря на простоту определения, гомотопические группы очень сложны в вычислении, даже для сфер.Это отличает их от групп гомологий, которые проще считаются, но сложнее определяются.Простейшим частным случаем гомотопических групп является фундаментальная группа. (ru) 在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 的情形，至今也沒有完整結果。 (zh) In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie, sind die Homotopiegruppen ein Werkzeug, um topologische Räume zu klassifizieren. Die stetigen Abbildungen einer n-dimensionalen Sphäre in einen gegebenen Raum werden zu Äquivalenzklassen, den sogenannten Homotopieklassen, zusammengefasst. Dabei heißen zwei Abbildungen homotop, wenn sie stetig ineinander überführt werden können. Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe, die n-te Homotopiegruppe des Raumes genannt wird. Die erste Homotopiegruppe heißt auch Fundamentalgruppe. (de) In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces. The first and simplest homotopy group is the fundamental group, denoted which records information about loops in a space. Intuitively, homotopy groups record information about the basic shape, or holes, of a topological space. The notion of homotopy of paths was introduced by Camille Jordan. (en) En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar los espacios topológicos. El primer y más sencillo grupo de homotopía es el grupo fundamental, que registra información sobre las familias de curvas cerradas en un espacio. Intuitivamente, los grupos homotópicos registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico. (es) Dalam matematika, grup homotopi digunakan dalam topologi aljabar untuk mengklasifikasikan ruang topologi. Grup homotopi pertama dan paling sederhana adalah grup dasar, yang mencatat informasi tentang dalam . Secara intuitif, grup homotopi mencatat informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Gagasan homotopi dari diperkenalkan oleh Camille Jordan. (in) Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології. Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група. (uk) |
| rdfs:label | Homotopiegruppe (de) Homotopy group (en) Grupo de homotopía (es) Grup homotopi (in) Groupe d'homotopie (fr) Gruppi di omotopia (it) 호모토피 군 (ko) ホモトピー群 (ja) Homotopiegroep (nl) Гомотопические группы (ru) Гомотопічні групи (uk) 同倫群 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Homotopy group dbpedia-ko:Homotopy group wikidata:Homotopy group dbpedia-de:Homotopy group dbpedia-es:Homotopy group dbpedia-fr:Homotopy group dbpedia-he:Homotopy group dbpedia-id:Homotopy group dbpedia-it:Homotopy group dbpedia-ja:Homotopy group dbpedia-ms:Homotopy group dbpedia-nl:Homotopy group dbpedia-ru:Homotopy group dbpedia-uk:Homotopy group dbpedia-zh:Homotopy group https://global.dbpedia.org/id/byyi |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Homotopy_group?oldid=1121132024&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Homotopy_group_addition.svg wiki-commons:Special:FilePath/Torus.png wiki-commons:Special:FilePath/2sphere_2.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Homotopy_group |
| is dbo:knownFor of | dbr:Camille_Jordan |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Homotopy_groups dbr:Relative_homotopy_groups dbr:Relative_homotopy_group dbr:Higher_homotopy_groups dbr:Exact_sequence_of_a_fibration dbr:Homotopy_long_exact_sequence dbr:Homotopy_theorem dbr:Long_exact_homotopy_sequence dbr:Long_exact_sequence_of_a_fibration |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Camille_Jordan dbr:Saunders_Mac_Lane dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:N-group_(category_theory) dbr:Projective_unitary_group dbr:Barratt–Priddy_theorem dbr:Braid_group dbr:Dennis_Sullivan dbr:Algebraic_K-theory dbr:Almgren–Pitts_min-max_theory dbr:Anomaly_(physics) dbr:Homotopical_connectivity dbr:Homotopy_groups dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Hopf_fibration dbr:Hurwitz's_theorem_(composition_algebras) dbr:Pati–Salam_model dbr:Peter_Hilton dbr:Representation_of_a_Lie_group dbr:Induced_homomorphism dbr:Instanton dbr:J-homomorphism dbr:Lie_algebroid dbr:Lie_groupoid dbr:List_of_letters_used_in_mathematics_and_science dbr:Number_line dbr:Pseudocircle dbr:Whitehead_theorem dbr:Stiefel–Whitney_class dbr:Novikov's_compact_leaf_theorem dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Mayer–Vietoris_sequence dbr:Generalised_Whitehead_product dbr:Geometric_topology dbr:Natural_transformation dbr:Obstruction_theory dbr:Nonabelian_cohomology dbr:Size_homotopy_group dbr:Topological_property dbr:Classifying_space dbr:Georgi–Glashow_model dbr:Glossary_of_algebraic_topology dbr:Bott_periodicity_theorem dbr:Morita_equivalence dbr:Continuum_(topology) dbr:Contractible_space dbr:Magnetic_monopole dbr:Freudenthal_suspension_theorem dbr:Fundamental_group dbr:Hopf_invariant dbr:Identity_component dbr:Kervaire_invariant dbr:Kuiper's_theorem dbr:Pi_(letter) dbr:Projective_orthogonal_group dbr:Spin_group dbr:String_group dbr:Suspension_(topology) dbr:Topological_modular_forms dbr:Wedge_sum dbr:Non-linear_sigma_model dbr:2-group dbr:CAT(k)_space dbr:Acyclic_space dbr:Adams_spectral_sequence dbr:Topology dbr:Dold–Kan_correspondence dbr:Almgren_isomorphism_theorem dbr:Fields_Medal dbr:Flipped_SU(5) dbr:Cellular_approximation_theorem dbr:Directed_algebraic_topology dbr:Hans_Freudenthal dbr:Kan_fibration dbr:Lefschetz_hyperplane_theorem dbr:Postnikov_system dbr:Retraction_(topology) dbr:Group_cohomology dbr:H._Blaine_Lawson dbr:Henri_Cartan dbr:Jacques_Feldbau dbr:BPST_instanton dbr:Cotriple_homology dbr:Hurewicz_theorem dbr:Chiral_anomaly dbr:Blakers–Massey_theorem dbr:Surgery_theory dbr:Tadatoshi_Akiba dbr:Cohomology dbr:Eckmann–Hilton_argument dbr:Eckmann–Hilton_duality dbr:Eilenberg–MacLane_space dbr:Higher-dimensional_supergravity dbr:Hole dbr:Homeomorphism_group dbr:Homeotopy dbr:Homology_(mathematics) dbr:Homotopy dbr:Homotopy_category dbr:Homotopy_fiber dbr:Homotopy_group_with_coefficients dbr:Homotopy_sphere dbr:Winding_number dbr:Trinification dbr:Mapping_class_group dbr:Pi_(disambiguation) dbr:Special_unitary_group dbr:Spontaneous_symmetry_breaking dbr:Classifying_space_for_U(n) dbr:Fibrant_object dbr:Fibration dbr:Orthogonal_group dbr:Sergei_Novikov_(mathematician) dbr:Séminaire_Nicolas_Bourbaki_(1950–1959) dbr:Loop_space dbr:Shape_theory_(mathematics) dbr:Soliton dbr:Nerve_complex dbr:Pochhammer_contour dbr:Superselection dbr:Skyrmion dbr:Principal_bundle dbr:Plus_construction dbr:Finite_topological_space dbr:Finiteness_properties_of_groups dbr:Size_theory dbr:Size_function dbr:Victor_Buchstaber dbr:Wess–Zumino–Witten_model dbr:T-structure dbr:Topological_quantum_number dbr:Puppe_sequence dbr:Weak_equivalence_(homotopy_theory) dbr:Whitehead_product dbr:Seifert–Van_Kampen_theorem dbr:Serre_spectral_sequence dbr:Nonabelian_algebraic_topology dbr:Topological_defect dbr:Ε-quadratic_form dbr:Rational_homotopy_theory dbr:Stiefel_manifold dbr:Weakly_contractible dbr:Relative_homotopy_groups dbr:Theta_vacuum dbr:Relative_homotopy_group dbr:Higher_homotopy_groups dbr:Exact_sequence_of_a_fibration dbr:Homotopy_long_exact_sequence dbr:Homotopy_theorem dbr:Long_exact_homotopy_sequence dbr:Long_exact_sequence_of_a_fibration |
| is dbp:knownFor of | dbr:Camille_Jordan |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Homotopy_group |
