Homology (mathematics) (original) (raw)
التماثل في الرياضيات هو دالة من بنية رياضية إلى بنية من نفس النوع، بحيث تحافظ على الخواص الأساسية، أشهر أمثلة التماثلات هو دالة اللوغاريتم والتي تعتبر تماثلا بين زمرة الأعداد الحقيقية الموجبة مع عملية الضرب وزمرة الأعداد الحقيقية مع عملية الجمع.يستخدم التماثل في الرياضيات لتصنيف البنى والكائنات الرياضية، فوجود تماثل بين بنيتين رياضيتين يعني تشابههما في كثير من الجوانب، ويسمى التماثل تشاكلا إذا كانت دالة التماثل عبارة عن ، وفي هذه الحالة تعتبر البنيتين معبرتان عن كائن رياضي واحد.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | V matematice (speciálně algebraické topologii a abstraktní algebře), je homologie (z řeckého ὁμός homos "identické") proces, který přiřadí matematickým objektům posloupnost Abelových grup nebo modulů. V homologické algebře jsou objekty , kterým se přiřadí moduly . Těmto modulům říkáme homologie, resp. homologické grupy. Pokud indexy modulů zleva doprava neklesají ale rostou, mluvíme o kohomologii komplexu, resp. kohomologických grupách. V teorii topologických prostorů se pod homologií prostoru obvykle rozumí singulární homologie. Původní motivace pro definování homologických grup je pozorování, že jeden aspekt tvaru geometrických útvaru je popis jeho "děr". Protože ale díra v prostorů "není", je na první pohled nejasné, jak díru definovat a jak rozlišit různé typy děr. Homologie topologických prostorů je rigorózní matematická metoda na hledání a kategorizování děr různých typů. V diferenciální geometrii hrají důležitou roli homologie komplexů diferenciálních operátorů. Nejznámější příklad je de Rhamův komplex, kterého kohomologie jsou izomorfní topologickým singulárním homologiím s koeficienty v reálných číslech. (cs) Homologia en matemàtiques, l'és una manera general d'associar una seqüència d'objectes algebraics, com ara mòduls o grups abelians, amb altres objectes matemàtics com espais topològics. Els grups d'homologia es van definir originalment en topologia algebraica. Hi ha construccions similars disponibles en una gran varietat d'altres contextos, com ara àlgebra abstracta, grups, Àlgebra de Lie, teoria de Galois i geometria algebraica. La motivació original per definir els grups d'homologia va ser l'observació que es poden distingir dues formes examinant els seus forats. Per exemple, un cercle no és un disc perquè el cercle té un forat a través d'ell mentre el disc és sòlid, i l'esfera ordinària no és un cercle perquè l'esfera tanca un forat bidimensional mentre que el cercle tanca un forat unidimensional. Tanmateix, com que un forat "no hi és", no és immediatament obvi com definir un forat o com distingir els diferents tipus de forats. L'homologia era originalment un mètode matemàtic rigorós per definir i categoritzar forats en una varietat. En termes generals, un cicle és una subvarietat tancada, un límit és un cicle que també és el límit d'una subvarietat i una classe d'homologia (que representa un forat) és una classe d'equivalència de cicles mòdul límits. Així, una classe d'homologia està representada per un cicle que no és el límit de cap subvarietat: el cicle representa un forat, és a dir, una varietat hipotètica el límit seria aquest cicle, però que "no hi és". (ca) التماثل في الرياضيات هو دالة من بنية رياضية إلى بنية من نفس النوع، بحيث تحافظ على الخواص الأساسية، أشهر أمثلة التماثلات هو دالة اللوغاريتم والتي تعتبر تماثلا بين زمرة الأعداد الحقيقية الموجبة مع عملية الضرب وزمرة الأعداد الحقيقية مع عملية الجمع.يستخدم التماثل في الرياضيات لتصنيف البنى والكائنات الرياضية، فوجود تماثل بين بنيتين رياضيتين يعني تشابههما في كثير من الجوانب، ويسمى التماثل تشاكلا إذا كانت دالة التماثل عبارة عن ، وفي هذه الحالة تعتبر البنيتين معبرتان عن كائن رياضي واحد. (ar) Στα μαθηματικά, η ομολογία είναι ένας γενικός τρόπος συσχέτισης μιας ακολουθίας αλγεβρικών αντικειμένων, όπως οι αβέλιες ομάδες ή τα πρότυπα, με άλλα μαθηματικά αντικείμενα όπως οι τοπολογικοί χώροι . Οι ομάδες ομολογίας ορίστηκαν αρχικά στην αλγεβρική τοπολογία . Παρόμοια αντικείμενα βρίσκονται σε πολλα αλλα περικειμενα όπως στην αφηρημένη άλγεβρα, σε ομάδες, σε , στην θεωρία Γκαλουά και στην αλγεβρική γεωμετρία . Το αρχικό κίνητρο για τον ορισμό των ομάδων ομολογίας ήταν η παρατήρηση ότι δύο σχήματα μπορούν να διακριθούν εξετάζοντας τις τρύπες τους. Για παράδειγμα, ένας κύκλος διαφέρει από έναν δίσκο επειδή ο κύκλος έχει μια τρύπα ενώ ο δίσκος δεν έχει και μια σφαίρα διαφέρει από έναν κύκλο επειδή η σφαίρα περικλείει μια δισδιάστατη τρύπα ενώ ο κύκλος περικλείει μια μονοδιάστατη τρύπα. Ωστόσο, μόνο το ότι μια τρύπα δεν "βρίσκεται εκεί", δεν είναι αρκετό για να είναι άμεσα προφανές πώς να οριστεί μια τρύπα ή πώς να διακριθούν διαφορετικά είδη τρυπών. Η ομολογία ήταν αρχικά μια αυστηρή μαθηματική μέθοδος για τον ορισμό και την κατηγοριοποίηση των τρυπών σε μια πολλαπλότητα . Σε γενικές γραμμέs, ένας κύκλος είναι φράγμα μιας υποπολλαπλότητας, ένα φράγμα είναι ένας κύκλος που είναι επίσης το φράγμα μιας υποπολλαπλότητας, και μια κλάση ομολογίας (που αναπαρασταίνει μια τρύπα) είναι μια κλάση ισοδυναμίας των κύκλων modulo τα φράγματα. Μια κλάση ομολογίας αναπαριστάνεται από έναν κύκλο ο οποίος δεν είναι το φράγμα οποιαδήποτε υποπολλαπλότητας: ο κύκλος αναπαρασταίνει μια τρύπα, δηλαδή μια υποθετική πολλαπλότητα της οποίας το φράγμα θα ήταν αυτός ο κύκλος, αλλά ο οποίος "δεν υπάρχει". Υπάρχουν πολλές διαφορετικές θεωρίες ομολογίας. Ένας συγκεκριμένος τύπος μαθηματικού αντικειμένου, όπως ένας τοπολογικός χώρος ή μια ομάδα, μπορεί να έχει μία ή περισσότερες σχετικές θεωρίες ομολογίας. Όταν το υποκείμενο αντικείμενο έχει μια γεωμετρική ερμηνεία όπως έχουν οι τοπολογικοί χώροι, η νυοστή ομάδα ομολογίας αναπαριστα τη συμπεριφορά στη διάσταση n . Οι περισσότερες ομόλογες ομάδες ή πρότυπα μπορούν να διαμορφωθούν ως σε κατάλληλες , μετρώντας την αποτυχία ενός συναρτητή να είναι ακριβής . Από αυτήν την αφηρημένη οπτική γωνία, οι ομάδες ομολογίας καθορίζονται από αντικείμενα μιας παράγωγης κατηγορίας . (el) En matemática (especialmente en topología algebraica y en álgebra homológica), la homología (en Griego homos = idéntico) es un procedimiento general para asociar un objeto matemático dado (por ejemplo un espacio topológico o un grupo) con una sucesión de grupos abelianos (o en contextos más generales módulos o cualquier elemento sobre una categoría abeliana), es decir una acción functorial. Para un espacio topológico, los grupos de homología son generalmente mucho más fáciles de computar que los grupos de homotopía, y consecuentemente, uno habitualmente tendrá un trabajo más simple con homología para ayudar en la clasificación de espacios. Una observación que motiva esta teoría es que a veces podemos distinguir parejas de espacios topológicos, por medio del estudio de sus agujeros. Por ejemplo: * Un círculo no es equivalente a un disco porque el círculo tiene un agujero en medio de él. * Una esfera no es equivalente a un círculo, ya que la esfera encierra un agujero 2-dimensional, mientras que el círculo encierra un agujero 1-dimensional. En general, no es inmediato ni definir lo que es un agujero, ni distinguir distintos tipos de agujeros. Es por ello que la motivación original de homología fue definir y clasificar los agujeros de un espacio topológico, por ejemplo en una variedad. La definición de los grupos de homología se fundamenta en los conceptos de ciclos, - que son subvariedades cerradas - fronteras, -que son ciclos y a la vez fronteras de una subvariedad-, y clases de homología -que son las clases de equivalencia que obtenemos al cocientar los ciclos módulo las fronteras. Entonces, cada clase de homología está representada por un ciclo que no es frontera de ninguna subvariedad, e indica la ausencia de una variedad cuya frontera sería dicho ciclo. Así mismo, cada generador indica la existencia de un agujero y las propiedades del grupo indican la estructura del espacio topológico, así como lo hacen las nociones de dimensión y orientabilidad. Existen diferentes teorías de homología. Dependiendo del objeto matemático que estemos estudiando - por ejemplo, un espacio topológico o un grupo-, podremos asociarle algunas de estas teorías. Cuando podemos describir geométricamente a dicho objeto, el n-avo grupo de homología describe el comportamiento del objeto en la n-ava dimensión. (es) Eine Homologie (altgriechisch ὁμός homos, „ähnlich, gleich“, und λόγος logos, hier: „Verhältnis, Analogie, Proportion“) ist ein mathematisches Objekt. Sie ist eine Folge von mathematischen Objekten, den Homologiegruppen. Zu den wichtigsten Ausprägungen einer Homologie zählt die singuläre Homologie. Homologien wurden im Bereich der algebraischen Topologie entwickelt. Später wurden sie auch als rein algebraische Objekte betrachtet, woraus sich das Teilgebiet der homologischen Algebra entwickelte.Die ursprüngliche Motivation dafür, Homologiegruppen zu definieren, war die Beobachtung, dass sich Formen durch ihre Löcher unterscheiden lassen (beispielsweise in der Klassifikation der Flächen). Da Löcher aber „nicht da“ sind, ist es nicht offensichtlich, wie man Löcher mathematisch definieren kann. Die Homologie ist ein mathematischer Ansatz, die Existenz von Löchern zu formalisieren. Gewisse „sehr feine“ Löcher sind für die Homologie unsichtbar; hier kann u. U. auf die schwerer zu bestimmenden Homotopiegruppen zurückgegriffen werden. Im Bereich der algebraischen Topologie sind die Homologien beziehungsweise die Homologiegruppen Invarianten eines topologischen Raums, sie helfen also dabei, topologische Räume zu unterscheiden. (de) In mathematics, homology is a general way of associating a sequence of algebraic objects, such as abelian groups or modules, with other mathematical objects such as topological spaces. Homology groups were originally defined in algebraic topology. Similar constructions are available in a wide variety of other contexts, such as abstract algebra, groups, Lie algebras, Galois theory, and algebraic geometry. The original motivation for defining homology groups was the observation that two shapes can be distinguished by examining their holes. For instance, a circle is not a disk because the circle has a hole through it while the disk is solid, and the ordinary sphere is not a circle because the sphere encloses a two-dimensional hole while the circle encloses a one-dimensional hole. However, because a hole is "not there", it is not immediately obvious how to define a hole or how to distinguish different kinds of holes. Homology was originally a rigorous mathematical method for defining and categorizing holes in a manifold. Loosely speaking, a cycle is a closed submanifold, a boundary is a cycle which is also the boundary of a submanifold, and a homology class (which represents a hole) is an equivalence class of cycles modulo boundaries. A homology class is thus represented by a cycle which is not the boundary of any submanifold: the cycle represents a hole, namely a hypothetical manifold whose boundary would be that cycle, but which is "not there". There are many different homology theories. A particular type of mathematical object, such as a topological space or a group, may have one or more associated homology theories. When the underlying object has a geometric interpretation as topological spaces do, the nth homology group represents behavior in dimension n. Most homology groups or modules may be formulated as derived functors on appropriate abelian categories, measuring the failure of a functor to be exact. From this abstract perspective, homology groups are determined by objects of a derived category. (en) En mathématiques, l'homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique. La motivation initiale pour définir les groupes d'homologie était l'observation que deux formes peuvent être distinguées en examinant leurs trous. Par exemple, un cercle n'est pas un disque car le cercle est perforé alors que le disque est solide et la sphère n'est pas un cercle car la sphère renferme un trou bidimensionnel alors que le cercle renferme un trou unidimensionnel. Cependant, étant donné qu’un trou n’est "pas là", la définition d'un trou et comment distinguer différent types de trous n'est pas évident. L'homologie était à l'origine une méthode mathématique rigoureuse pour définir et classer les trous dans une variété. En gros, un cycle est une sous-variété fermée, une limite est un cycle qui est également la limite d'une sous-variété et une classe d'homologie (qui représente un trou) est une classe d'équivalence de cycles modulo une limite. Une classe d'homologie est donc représentée par un cycle qui n'est la limite d'aucune sous-variété: le cycle représente un trou, à savoir une variété hypothétique dont la limite serait ce cycle, mais qui "n'est pas là". Il existe de nombreuses théories d'homologie. Un type particulier d'objet mathématique, tel qu'un espace topologique ou un groupe, peut avoir une ou plusieurs théories d'homologie associées. Lorsque l'objet sous-jacent a une interprétation géométrique, à l'instar des espaces topologiques, le n-ième groupe d'homologie représente le comportement dans la dimension n . La plupart des groupes d'homologie ou des modules peuvent être formulés en tant que foncteurs dérivés sur des catégories abéliennes appropriées, en mesurant l'incapacité d'un foncteur à être exact. Dans cette perspective abstraite, les groupes d'homologie sont déterminés par des objets d'une catégorie dérivée. (fr) L'omologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica.È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. In topologia, l'omologia di uno spazio topologico è un gruppo abeliano che informalmente misura il numero di "buchi -dimensionali" dello spazio . Un concetto analogo è il gruppo fondamentale. (it) ( 이 문서는 수학에 관한 것입니다. 생물학에 대해서는 상동성 문서를, 화학에 대해서는 동족 (화학) 문서를 참고하십시오.) 수학(특히 대수적 위상수학과 추상대수학)에서 호몰로지(영어: homology, '동일한'이라는 뜻의 그리스어 homos에서 나옴)는 (위상 공간이나 군 등의) 수학적 대상에 아벨 군이나 모듈의 열을 대응시키는 일반적인 과정이다. 이를 중심적으로 연구하는 대수의 분야를 호몰로지 대수학이라 한다. 위상 공간의 경우 호몰로지군은 호모토피 군에 비해 훨씬 계산하기 쉬우며, 따라서 공간을 분류하는 과정에서도 호몰로지를 사용하는 쪽이 대체로 편리하다. (ko) 数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。ホモロジーの名は「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来する。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱える。 (ja) In de hogere wiskunde worden bepaalde ingewikkelde structuren, zoals topologische ruimten of variëteiten, gekarakteriseerd door er een relatief eenvoudige rij abelse groepen mee te associëren, de homologiegroepen. In een abstractere context is een homologie een rij modulen die wordt geassocieerd met een ketencomplex over een gegeven ring . Homologie en het duale begrip cohomologie vormen de centrale studie-objecten van de homologische algebra. (nl) Inom matematiken, speciellt i algebraisk topologi och abstrakt algebra, är homologi en viss allmän procedur för att associera en följd av abelska grupper eller moduler till ett givet matematiskt objekt såsom ett topologiskt rum eller en grupp. För ett topologiskt rum är homologigrupperna mycket enklare att beräkna än , och är härmed enklare att använda i klassificeringen av rum. (sv) Em matemática (especialmente topologia algébrica e álgebra abstrata), homologia (em parte do Grego ὁμός homos "identical") é uma maneira geral de associar uma sequência de objetos algébricos tais como grupos ou grupos abelianos ou módulos a outros objetos matemáticos tais como o espaço topológico. Na linguagem da teoria das categorias, dizemos que uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos espaços topológicos na categoria dos grupos abelianos graduados. Grupos de homologia foram originalmente definidos em topologia algébrica. No entanto, construções semelhantes estão disponíveis em uma ampla variedade de outros contextos, tais como grupos, álgebra de Lie, Teoria de Galois e geometria algébrica. Já em álgebra comutativa, uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos complexos de cadeia na categoria dos grupos abelianos graduados. A álgebra homológica trata do estudo de tais functores. Além disto, existe dentro da teoria de categorias uma área de pesquisa denominada álgebra homológica abstrata, que generaliza as ferramentas da álgebra homológica ao contexto das categorias abelianas. Tal formulação da homologia algébrica foi concebida por A. Grothendieck para estudar feixes sobre variedades algébricas. A motivação original para a definição de grupos de homologia foi a observação de que duas formas podem ser distinguidas examinando seus buracos. Por exemplo, um círculo não é um disco porque o círculo tem um furo através dele enquanto o disco é sólido, e a esfera ordinária não é um círculo porque a esfera delimita um furo bidimensional enquanto o círculo delimita um furo unidimensional. No entanto, porque um buraco é "não existente", não é imediatamente óbvio como definir um buraco ou como distinguir diferentes tipos de buracos. Homologia foi originalmente um método matemático rigoroso para definir e categorizar os buracos em uma variedade. Falando superficialmente, um "círculo" é uma subvariedade fechada, uma "fronteira" é a fronteira de uma subvariedade com limite e uma "classe de homologia" (que representa um buraco) é uma classe de equivalência de círculo módulo limites. Existem muitas teorias de homologia diferentes. Um tipo particular de objeto matemático, como um espaço topológico ou um grupo, pode ter uma ou mais teorias de homologia associadas. Quando o objeto subjacente tem uma interpretação geométrica como os espaços topológicos, o n - grupo de homologia representa um comportamento exclusivo de dimensão n . Em geral, a maioria dos grupos de homologia ou módulos surgem como na apropriada categorias abelianas. Eles fornecem descrições concretas da falha de um functor para ser . A partir desta perspectiva abstrata, os grupos de homologia são determinados por objetos de uma . (pt) У математиці, (особливо у алгебраїчній топології і абстрактній алгебрі), гомологія (від грецького ὁμός «однаковий») це спосіб зв'язати ряд алгебраїчних об'єктів, таких як абелеві групи або модулі над кільцем, з іншими математичними об'єктами, такими як топологічні простори. Гомологічні групи вперше виникли у алгебраїчній топології, де вони були винайдені як спосіб описати «дірки» в многовидах. Зараз подібні конструкції використовуються в різноманітних галузях математики, таких як теорія груп, алгебри Лі, та інші. Гомологія дозволяє побудувати топологічний інваріант простору. (uk) Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий. В простейшем случае топологическому пространству сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий , занумерованных натуральными числами . Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации. Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию, и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга. Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии с коэффициентами в абелевой группе , относительные гомологии пары пространств и когомологии , определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения , превращающего их в градуированную алгебру. Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями. (ru) 数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。 对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/spherecycles1.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Homology_group http://www.sas.upenn.edu/~vnanda/perseus http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~sergerar/Kenzo/ http://chomp.rutgers.edu http://linalg.org http://redhom.ii.uj.edu.pl http://www.gap-system.org http://www.maplesoft.com http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0245/survey.pdf https://www.youtube.com/playlist%3Flist=PL6763F57A61FE6FE8 http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATchapters.html%7Ctitle=Algebraic |
| dbo:wikiPageID | 142432 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 44297 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1121278090 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Presentation_of_a_group dbr:Product_topology dbr:Projective_plane dbr:List_of_cohomology_theories dbr:Module_(mathematics) dbr:Cross-cap dbr:Euclidean_3-space dbr:Bernhard_Riemann dbr:De_Rham_cohomology dbr:Algebraic_topology dbr:Antipodal_point dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Jordan_curve_theorem dbr:Betti_number dbr:Cycle_space dbr:Cyclic_homology dbr:Derived_category dbr:Derived_functor dbr:Dynamical_system dbr:Intersection_homology dbr:Invariance_of_domain dbr:Invariant_manifold dbr:Künneth_theorem dbr:Network_topology dbr:Trivial_group dbr:Continuous_function dbr:Continuous_map dbr:Analysis_Situs_(paper) dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Genus_(mathematics) dbr:Normal_subgroup dbr:Persistent_homology dbr:Quotient_group dbr:Topological_property dbr:Circle dbr:Emmy_Noether dbr:Enrico_Betti dbr:Galois_theory dbr:Gmsh dbr:Great_circle dbr:Braid_theory dbr:Morse_theory dbr:Möbius_strip dbr:N-sphere dbr:Connected_space dbr:Connected_sum dbr:Simplicial_homology dbr:Leopold_Vietoris dbr:Lie_algebra dbr:Long_exact_sequence dbr:Short_exact_sequence dbr:Simplex dbr:Combinatorial_topology dbr:Computational_electromagnetics dbr:Functor dbr:Hairy_ball_theorem dbr:Kernel_(algebra) dbr:Physics dbr:Topological_data_analysis dbr:Ball_(mathematics) dbr:Bar-Ilan_University dbr:C++ dbc:Homology_theory dbr:Torus dbr:K-homology dbr:Poincaré_duality dbr:Abelianization dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_variety dbr:American_Mathematical_Society dbr:Cyclic_group dbr:Euclidean_space dbr:Oxford_University_Press dbr:Cellular_homology dbr:Discrete_Morse_theory dbr:Floer_homology dbr:Graph_homology dbr:Khovanov_homology dbr:Simplicial_complex dbr:Rank_of_an_abelian_group dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_homomorphism dbr:Henri_Poincaré dbr:Hurewicz_theorem dbr:Finite_element_methods dbr:Finitely-generated_abelian_group dbr:Surjective dbr:Abelian_category dbr:Abelian_group dbr:Abstract_algebra dbr:KAM_theorem dbr:Cohomology dbr:Eilenberg–Steenrod_axioms dbr:Hochschild_homology dbr:Homeomorphism dbr:Homological_algebra dbr:Homological_conjectures_in_commutative_algebra dbr:Homological_connectivity dbr:Homological_dimension dbr:Homotopy dbr:Homotopy_group dbr:Tor_functor dbr:Torsion_(algebra) dbr:Reduced_homology dbr:Direct_product_of_groups dbr:Manifold dbr:Borel–Moore_homology dbr:Borsuk–Ulam_theorem dbr:Sphere dbr:Free_abelian_group dbr:Free_group dbr:Continuous_function_(topology) dbr:Group_extension dbr:Klein_bottle dbr:Open_set dbr:Category_(mathematics) dbr:Chain_complex dbr:Hole_(topology) dbr:Rose_(topology) dbr:Smith_normal_form dbr:Singular_homology dbr:Vertex_(geometry) dbr:Simple-homotopy_equivalence dbr:Euler_characteristic dbr:Image_(mathematics) dbr:Formal_sum dbr:Walther_Mayer dbr:Point_cloud dbr:Exact_functor dbr:Exact_sequence dbr:Relative_homology dbr:Morse_homology dbr:Steenrod_homology dbr:Injective dbr:Topological_space dbr:Zig-zag_lemma dbr:Hamel_dimension dbr:Hodge-Laplace_operator dbr:Brouwer_fixed_point_theorem dbr:Manifold_(mathematics) dbr:Contractible_topological_space dbr:Periodic_orbit dbr:Cochain_complex dbr:Cohomology_class dbr:Generator_(groups) dbr:Genus_(topology) dbr:Boundary-value_problem dbr:Boy_surface dbr:Sensor_network dbr:File:Flatsurfaces.svg |
| dbp:align | left (en) right (en) centre (en) |
| dbp:caption | Cycles on a 2-sphere (en) Cycles on a Klein bottle (en) Cycles on a hemispherical projective plane (en) Cycles on a torus (en) The circle or 1-sphere (en) The solid disc or 2-ball (en) The torus (en) The 2-sphere is the outer shell, not the interior, of a ball (en) |
| dbp:image | 1 (xsd:integer) Circle - black simple.svg (en) Kleincycles1.svg (en) Simple torus with cycles.svg (en) Sphere wireframe 10deg 4r.svg (en) projectivecycles1.svg (en) spherecycles1.svg (en) toruscycles1.svg (en) |
| dbp:totalWidth | 300 (xsd:integer) 325 (xsd:integer) 750 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Clear dbt:Cn dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Em dbt:For dbt:Main dbt:Multiple_image dbt:N/A dbt:Nbsp dbt:Other_uses dbt:Portal dbt:Reflist dbt:Rp dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Fsp dbt:Topology |
| dcterms:subject | dbc:Homology_theory |
| gold:hypernym | dbr:Way |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | التماثل في الرياضيات هو دالة من بنية رياضية إلى بنية من نفس النوع، بحيث تحافظ على الخواص الأساسية، أشهر أمثلة التماثلات هو دالة اللوغاريتم والتي تعتبر تماثلا بين زمرة الأعداد الحقيقية الموجبة مع عملية الضرب وزمرة الأعداد الحقيقية مع عملية الجمع.يستخدم التماثل في الرياضيات لتصنيف البنى والكائنات الرياضية، فوجود تماثل بين بنيتين رياضيتين يعني تشابههما في كثير من الجوانب، ويسمى التماثل تشاكلا إذا كانت دالة التماثل عبارة عن ، وفي هذه الحالة تعتبر البنيتين معبرتان عن كائن رياضي واحد. (ar) L'omologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica.È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. In topologia, l'omologia di uno spazio topologico è un gruppo abeliano che informalmente misura il numero di "buchi -dimensionali" dello spazio . Un concetto analogo è il gruppo fondamentale. (it) ( 이 문서는 수학에 관한 것입니다. 생물학에 대해서는 상동성 문서를, 화학에 대해서는 동족 (화학) 문서를 참고하십시오.) 수학(특히 대수적 위상수학과 추상대수학)에서 호몰로지(영어: homology, '동일한'이라는 뜻의 그리스어 homos에서 나옴)는 (위상 공간이나 군 등의) 수학적 대상에 아벨 군이나 모듈의 열을 대응시키는 일반적인 과정이다. 이를 중심적으로 연구하는 대수의 분야를 호몰로지 대수학이라 한다. 위상 공간의 경우 호몰로지군은 호모토피 군에 비해 훨씬 계산하기 쉬우며, 따라서 공간을 분류하는 과정에서도 호몰로지를 사용하는 쪽이 대체로 편리하다. (ko) 数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。ホモロジーの名は「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来する。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱える。 (ja) In de hogere wiskunde worden bepaalde ingewikkelde structuren, zoals topologische ruimten of variëteiten, gekarakteriseerd door er een relatief eenvoudige rij abelse groepen mee te associëren, de homologiegroepen. In een abstractere context is een homologie een rij modulen die wordt geassocieerd met een ketencomplex over een gegeven ring . Homologie en het duale begrip cohomologie vormen de centrale studie-objecten van de homologische algebra. (nl) Inom matematiken, speciellt i algebraisk topologi och abstrakt algebra, är homologi en viss allmän procedur för att associera en följd av abelska grupper eller moduler till ett givet matematiskt objekt såsom ett topologiskt rum eller en grupp. För ett topologiskt rum är homologigrupperna mycket enklare att beräkna än , och är härmed enklare att använda i klassificeringen av rum. (sv) У математиці, (особливо у алгебраїчній топології і абстрактній алгебрі), гомологія (від грецького ὁμός «однаковий») це спосіб зв'язати ряд алгебраїчних об'єктів, таких як абелеві групи або модулі над кільцем, з іншими математичними об'єктами, такими як топологічні простори. Гомологічні групи вперше виникли у алгебраїчній топології, де вони були винайдені як спосіб описати «дірки» в многовидах. Зараз подібні конструкції використовуються в різноманітних галузях математики, таких як теорія груп, алгебри Лі, та інші. Гомологія дозволяє побудувати топологічний інваріант простору. (uk) 数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。 对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。 (zh) Homologia en matemàtiques, l'és una manera general d'associar una seqüència d'objectes algebraics, com ara mòduls o grups abelians, amb altres objectes matemàtics com espais topològics. Els grups d'homologia es van definir originalment en topologia algebraica. Hi ha construccions similars disponibles en una gran varietat d'altres contextos, com ara àlgebra abstracta, grups, Àlgebra de Lie, teoria de Galois i geometria algebraica. (ca) V matematice (speciálně algebraické topologii a abstraktní algebře), je homologie (z řeckého ὁμός homos "identické") proces, který přiřadí matematickým objektům posloupnost Abelových grup nebo modulů. V homologické algebře jsou objekty , kterým se přiřadí moduly . Těmto modulům říkáme homologie, resp. homologické grupy. Pokud indexy modulů zleva doprava neklesají ale rostou, mluvíme o kohomologii komplexu, resp. kohomologických grupách. V teorii topologických prostorů se pod homologií prostoru obvykle rozumí singulární homologie. (cs) Στα μαθηματικά, η ομολογία είναι ένας γενικός τρόπος συσχέτισης μιας ακολουθίας αλγεβρικών αντικειμένων, όπως οι αβέλιες ομάδες ή τα πρότυπα, με άλλα μαθηματικά αντικείμενα όπως οι τοπολογικοί χώροι . Οι ομάδες ομολογίας ορίστηκαν αρχικά στην αλγεβρική τοπολογία . Παρόμοια αντικείμενα βρίσκονται σε πολλα αλλα περικειμενα όπως στην αφηρημένη άλγεβρα, σε ομάδες, σε , στην θεωρία Γκαλουά και στην αλγεβρική γεωμετρία . (el) Eine Homologie (altgriechisch ὁμός homos, „ähnlich, gleich“, und λόγος logos, hier: „Verhältnis, Analogie, Proportion“) ist ein mathematisches Objekt. Sie ist eine Folge von mathematischen Objekten, den Homologiegruppen. Zu den wichtigsten Ausprägungen einer Homologie zählt die singuläre Homologie. Homologien wurden im Bereich der algebraischen Topologie entwickelt. Später wurden sie auch als rein algebraische Objekte betrachtet, woraus sich das Teilgebiet der homologischen Algebra entwickelte.Die ursprüngliche Motivation dafür, Homologiegruppen zu definieren, war die Beobachtung, dass sich Formen durch ihre Löcher unterscheiden lassen (beispielsweise in der Klassifikation der Flächen). Da Löcher aber „nicht da“ sind, ist es nicht offensichtlich, wie man Löcher mathematisch definieren kann (de) In mathematics, homology is a general way of associating a sequence of algebraic objects, such as abelian groups or modules, with other mathematical objects such as topological spaces. Homology groups were originally defined in algebraic topology. Similar constructions are available in a wide variety of other contexts, such as abstract algebra, groups, Lie algebras, Galois theory, and algebraic geometry. (en) En matemática (especialmente en topología algebraica y en álgebra homológica), la homología (en Griego homos = idéntico) es un procedimiento general para asociar un objeto matemático dado (por ejemplo un espacio topológico o un grupo) con una sucesión de grupos abelianos (o en contextos más generales módulos o cualquier elemento sobre una categoría abeliana), es decir una acción functorial. Una observación que motiva esta teoría es que a veces podemos distinguir parejas de espacios topológicos, por medio del estudio de sus agujeros. Por ejemplo: (es) En mathématiques, l'homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique. (fr) Em matemática (especialmente topologia algébrica e álgebra abstrata), homologia (em parte do Grego ὁμός homos "identical") é uma maneira geral de associar uma sequência de objetos algébricos tais como grupos ou grupos abelianos ou módulos a outros objetos matemáticos tais como o espaço topológico. Na linguagem da teoria das categorias, dizemos que uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos espaços topológicos na categoria dos grupos abelianos graduados. Grupos de homologia foram originalmente definidos em topologia algébrica. No entanto, construções semelhantes estão disponíveis em uma ampla variedade de outros contextos, tais como grupos, álgebra de Lie, Teoria de Galois e geometria algébrica. (pt) Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий. (ru) |
| rdfs:label | تماثل (رياضيات) (ar) Homologia (àlgebra) (ca) Homologie (matematika) (cs) Homologietheorie (de) Ομολογία (μαθηματικά) (el) Homología (matemática) (es) Homologie (mathématiques) (fr) Homology (mathematics) (en) Omologia (topologia) (it) ホモロジー (数学) (ja) 호몰로지 (ko) Homologie (wiskunde) (nl) Homologia (matemática) (pt) Homologi (matematik) (sv) Теория гомологий (ru) 同调 (zh) Гомологія (математика) (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Homology (mathematics) wikidata:Homology (mathematics) dbpedia-ar:Homology (mathematics) dbpedia-ca:Homology (mathematics) dbpedia-cs:Homology (mathematics) dbpedia-de:Homology (mathematics) dbpedia-el:Homology (mathematics) dbpedia-es:Homology (mathematics) dbpedia-fa:Homology (mathematics) dbpedia-fi:Homology (mathematics) dbpedia-fr:Homology (mathematics) dbpedia-gl:Homology (mathematics) dbpedia-he:Homology (mathematics) dbpedia-it:Homology (mathematics) dbpedia-ja:Homology (mathematics) dbpedia-ka:Homology (mathematics) dbpedia-ko:Homology (mathematics) dbpedia-nl:Homology (mathematics) dbpedia-nn:Homology (mathematics) dbpedia-pt:Homology (mathematics) dbpedia-ru:Homology (mathematics) dbpedia-simple:Homology (mathematics) dbpedia-sr:Homology (mathematics) dbpedia-sv:Homology (mathematics) dbpedia-uk:Homology (mathematics) http://uz.dbpedia.org/resource/Gomologiya_(matematika) dbpedia-zh:Homology (mathematics) https://global.dbpedia.org/id/CLTx |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Homology_(mathematics)?oldid=1121278090&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/1-ball.svg wiki-commons:Special:FilePath/Circle_-_black_simple.svg wiki-commons:Special:FilePath/Flatsurfaces.svg wiki-commons:Special:FilePath/Kleincycles1.svg wiki-commons:Special:FilePath/Simple_torus_with_cycles.svg wiki-commons:Special:FilePath/Sphere_wireframe_10deg_4r.svg wiki-commons:Special:FilePath/projectivecycles1.svg wiki-commons:Special:FilePath/spherecycles1.svg wiki-commons:Special:FilePath/toruscycles1.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Homology_(mathematics) |
| is dbo:academicDiscipline of | dbr:Alex_F._T._W._Rosenberg |
| is dbo:knownFor of | dbr:Jon_Folkman |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Homology |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Homology_theory dbr:Betti_group dbr:Homology_class dbr:Homology_group dbr:Homology_groups dbr:Homology_of_a_chain_complex dbr:Homology_theories |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Poul_Heegaard dbr:Ronald_Brown_(mathematician) dbr:Scientific_method dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:Monoidal_functor dbr:Projective_unitary_group dbr:De_Rham_cohomology dbr:Algebraic_topology dbr:Almgren–Pitts_min-max_theory dbr:Arf_invariant_of_a_knot dbr:Homology_theory dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Jon_Folkman dbr:List_of_people_considered_father_or_mother_of_a_scientific_field dbr:Paul_Seymour_(mathematician) dbr:Characteristic_class dbr:Cubical_complex dbr:Current_(mathematics) dbr:Cycle_basis dbr:Cycle_space dbr:Dehn_surgery dbr:Derived_category dbr:Intersection_number dbr:Künneth_theorem dbr:List_of_group_theory_topics dbr:List_of_important_publications_in_mathematics dbr:List_of_mathematical_uses_of_Latin_letters dbr:Polar_homology dbr:Stable_map dbr:Thom_conjecture dbr:Topological_combinatorics dbr:Novikov_ring dbr:Quasi-isomorphism dbr:Surgery_obstruction dbr:Søren_Galatius dbr:Transversality_(mathematics) dbr:Analogy dbr:Maxwell's_equations dbr:Ryu–Takayanagi_conjecture dbr:Elliptic_surface dbr:Essential_manifold dbr:Geometric_and_Topological_Inference dbr:Geometric_topology dbr:Natural_transformation dbr:Nonabelian_cohomology dbr:Pontryagin_product dbr:Raymond_Louis_Wilder dbr:Solid_torus dbr:Persistent_homology dbr:Topological_property dbr:Timeline_of_bordism dbr:1990_in_science dbr:Christopher_Zeeman dbr:Emanuel_Sperner dbr:Fundamental_groupoid dbr:Georges_de_Rham dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Monstrous_moonshine dbr:Morse_theory dbr:Multilinear_algebra dbr:Contributions_of_Leonhard_Euler_to_mathematics dbr:Theta_function dbr:Milnor_number dbr:Operad dbr:Leopold_Vietoris dbr:Lev_Pontryagin dbr:Bockstein_homomorphism dbr:Calibrated_geometry dbr:Chow_group dbr:Simplex dbr:Compactly-supported_homology dbr:Delta_set dbr:Fundamental_class dbr:Hairy_ball_theorem dbr:Hopf_algebra dbr:String_theory_landscape dbr:Symmetric_product_(topology) dbr:Topological_data_analysis dbr:Mapping_cylinder dbr:Math_in_Moscow dbr:Burau_representation dbr:CAPD_library dbr:Acyclic_space dbr:Adams_spectral_sequence dbr:Aharonov–Bohm_effect dbr:Tian_Gang dbr:Topology dbr:Torus dbr:Weil_conjectures dbr:William_Browder_(mathematician) dbr:K-homology dbr:K-theory dbr:Lawrence–Krammer_representation dbr:Linking_number dbr:Poincaré_duality dbr:Abstract_simplicial_complex dbr:Alex_F._T._W._Rosenberg dbr:Almgren_isomorphism_theorem dbr:Duality_(mathematics) dbr:Eduardo_Sáenz_de_Cabezón dbr:Five_lemma dbr:Brouwer_fixed-point_theorem dbr:Differential_graded_Lie_algebra dbr:Discrete_Morse_theory dbr:Discrete_calculus dbr:Floer_homology dbr:Graph_homology dbr:Hilbert's_third_problem dbr:History_of_mathematical_notation dbr:Kaluza–Klein_theory dbr:Kan-Thurston_theorem dbr:Khovanov_homology dbr:Knot_theory dbr:Lefschetz_hyperplane_theorem dbr:Lens_space dbr:Mapping_cone_(homological_algebra) dbr:Gromov's_systolic_inequality_for_essential_manifolds dbr:H._Blaine_Lawson dbr:Henri_Cartan dbr:Henri_Poincaré dbr:Atiyah–Jones_conjecture dbr:Hurewicz_theorem dbr:Karen_Vogtmann dbr:Laves_graph dbr:Biological_network_inference dbr:Bivariant_theory dbr:Blowing_up dbr:Surgery_theory dbr:Systolic_geometry dbr:Cobordism dbr:Cohomology_with_compact_support dbr:Cole_Prize dbr:Eckmann–Hilton_argument dbr:Eckmann–Hilton_duality dbr:Eilenberg–Zilber_theorem dbr:Hole dbr:Homological_algebra dbr:Homology_manifold dbr:Homotopy dbr:Homotopy_sphere dbr:Triangulation_(topology) dbr:Moduli_stack_of_principal_bundles dbr:Reduced_homology dbr:Vanishing_cycle dbr:Differential_form dbr:Differential_graded_algebra dbr:Divergence dbr:Divisor_(algebraic_geometry) dbr:Manifold dbr:Mapping_class_group dbr:Poincaré_conjecture dbr:Polymake dbr:Spectral_sequence dbr:Classification_of_manifolds dbr:Free_abelian_group dbr:Gromov–Witten_invariant dbr:Orientability dbr:Category_theory dbr:Chain_(algebraic_topology) dbr:Chain_complex dbr:Homology dbr:Smith_normal_form dbr:Singular_homology dbr:Pochhammer_contour dbr:Euler_characteristic dbr:Euler_class dbr:Torus_bundle dbr:Walther_Mayer dbr:Plus_construction dbr:Sullivan_conjecture dbr:Exact_sequence dbr:Finitely_generated_abelian_group dbr:Weak_equivalence_(homotopy_theory) dbr:Supermanifold dbr:Quantum_cohomology dbr:Topological_space dbr:Vietoris–Rips_complex dbr:P-compact_group dbr:Topological_half-exact_functor dbr:Urs_Stammbach dbr:Supersymmetric_theory_of_stochastic_dynamics dbr:Betti_group dbr:Homology_class dbr:Homology_group dbr:Homology_groups dbr:Homology_of_a_chain_complex dbr:Homology_theories |
| is dbp:fields of | dbr:Alex_F._T._W._Rosenberg |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Homology_(mathematics) |
