Betti number (original) (raw)
En topologia, els nombres de Betti són uns objectes topològics que Henri Poincaré va demostrar que eren invariants i que va utilitzar per estendre la fórmula polièdrica a espais de dimensions més grans que tres. Per a cada dimensió d'un espai topològic en el que existeixen símplex, el nombre de Betti expressa el nombre de cicles independents en aquesta dimensió.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En topologia, els nombres de Betti són uns objectes topològics que Henri Poincaré va demostrar que eren invariants i que va utilitzar per estendre la fórmula polièdrica a espais de dimensions més grans que tres. Per a cada dimensió d'un espai topològic en el que existeixen símplex, el nombre de Betti expressa el nombre de cicles independents en aquesta dimensió. (ca) Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Betti-Zahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Von Henri Poincaré wurde gezeigt, dass sie topologische Invarianten sind. Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti, da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit über eingeführten Flächenzahlen sind. (de) In algebraic topology, the Betti numbers are used to distinguish topological spaces based on the connectivity of n-dimensional simplicial complexes. For the most reasonable finite-dimensional spaces (such as compact manifolds, finite simplicial complexes or CW complexes), the sequence of Betti numbers is 0 from some point onward (Betti numbers vanish above the dimension of a space), and they are all finite. The nth Betti number represents the rank of the nth homology group, denoted Hn, which tells us the maximum number of cuts that can be made before separating a surface into two pieces or 0-cycles, 1-cycles, etc. For example, if then , if then , if then , if then , etc. Note that only the ranks of infinite groups are considered, so for example if , where is the finite cyclic group of order 2, then . These finite components of the homology groups are their torsion subgroups, and they are denoted by torsion coefficients. The term "Betti numbers" was coined by Henri Poincaré after Enrico Betti. The modern formulation is due to Emmy Noether. Betti numbers are used today in fields such as simplicial homology, computer science, digital images, etc. (en) En topología algebraica, los números de Betti distinguen los espacios topológicos. Intuitivamente, el primer número de Betti de un espacio, cuenta el número máximo de cortes que se pueden hacer sin dividir al espacio en dos piezas. Cada número de Betti es o bien un número natural o bien un elemento de la recta real extendida (+∞). Para los espacios de dimensión finita más comunes (como las variedades compactas, un Complejo simplicial o CW-complejo) la secuencia de números de Betti es 0 para algunos puntos progresivamente (se anulan para dimensiones superiores al espacio), y son todos finitos. El término «números de Betti» fue acuñado por Henri Poincaré en honor al matemático italiano Enrico Betti. (es) En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, les nombres de Betti sont des invariants topologiques, c'est-à-dire qu'ils aident à distinguer différents espaces topologiques. Ils forment une suite dont chaque terme est un entier naturel ou +∞. Pour les espaces « raisonnables » comme les variétés compactes et les complexes simpliciaux ou CW-complexes finis, ils sont tous finis, et nuls à partir d'un certain rang (au-delà de la dimension de l'espace). Henri Poincaré les a nommés ainsi en l'honneur d'Enrico Betti. (fr) In topologia algebrica, il -esimo numero di Betti di uno spazio topologico , definito per ogni 0 e denotato con , è un numero naturale o infinito che, in termini intuitivi, costituisce il numero di buchi o cavità -dimensionali presenti in . Nel caso in cui lo spazio topologico in questione sia una superficie Σ, il primo numero di Betti (Σ) coincide con il massimo numero di tagli (circolari) che possono essere eseguiti senza dividere la superficie in due pezzi. Il termine "numeri di Betti" fu coniato da Henri Poincaré in riferimento a Enrico Betti. (it) 베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 며, 0이거나, 양의 정수이거나, 이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 부터 에 대하여 이다. (ko) In de algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, is het Betti-getal van een topologische ruimte, in intuïtieve termen uitgelegd, onder andere het maximale aantal snedes die men kan maken zonder dat de ruimte in twee delen uiteenvalt. Dit aantal noemt men bijvoorbeeld het eerste Betti-getal. Er is een rij Betti-getallen gedefinieerd. De term "Betti-getal" is ingevoerd door Henri Poincaré, die hiermee Enrico Betti wilde eren. Elk Betti-getal is of een natuurlijk getal of oneindig. Voor de gebruikelijkste ruimten, zoals compacte variëteiten, eindige simpliciale complexen of CW-complexen, bestaat de rij van Betti-getallen uit natuurlijke getallen, waarvan slechts eindig veel ongelijk aan 0. (nl) 代数的位相幾何学において、ベッチ数 (ベッチすう、英語: Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。 右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の｢穴｣の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は 1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。 ベッチ数は、今日、数学のみならず計算機科学やデジタル画像などの分野でも研究されている。 「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ (Enrico Betti) にちなみ、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) により命名された。 (ja) Числа Бетти — последовательность инвариантов топологического пространства. Каждому пространству соответствует некая последовательность чисел Бетти . * Нулевое число Бетти совпадает с числом связных компонент; * Первое число Бетти интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности. Число Бетти может принимать неотрицательные целые значения или бесконечность. Для разумно устроенного конечномерного пространства (например, компактного многообразия или конечного симплициального комплекса), все числа Бетти конечны и, начиная с некоторого номера, равны нулю. Термин «числа Бетти» был введен Анри Пуанкаре, который назвал их в честь итальянского математика Энрико Бетти. (ru) В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому. Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті. (uk) 在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數 是一族重要的不變量，取值為非負整數或無窮大。直觀地看， 是連通分支之個數， 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 可藉同調群定義。 「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用，以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Torus_cycles.png?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 346262 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 15838 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1114532407 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Projective_plane dbr:Binomial_coefficient dbr:Algebraic_topology dbr:Homology_theory dbc:Generating_functions dbr:Universal_coefficient_theorem dbr:De_Rham's_theorem dbr:Künneth_theorem dbc:Graph_invariants dbr:Critical_point_(mathematics) dbr:Mathematical_induction dbr:Edward_Witten dbr:Emmy_Noether dbr:Enrico_Betti dbr:Generating_function dbr:Modular_arithmetic dbr:Morse_theory dbr:Simplicial_homology dbr:Lie_groups dbr:Simplicial_complexes dbr:Closed_manifold dbr:Complex_projective_space dbr:Computer_science dbr:Zonal_and_meridional dbr:Topological_data_analysis dbr:Software_engineering dbr:Torus dbr:Poincaré_duality dbc:Algebraic_topology dbr:Cyclic_group dbr:Cyclomatic_complexity dbr:Exterior_derivative dbr:Field_(mathematics) dbr:Graph_homology dbr:Hilbert–Poincaré_series dbr:Simplicial_complex dbr:Rank_of_a_group dbr:Rank_of_an_abelian_group dbr:Gustav_Kirchhoff dbr:Henri_Poincaré dbr:Abelian_group dbc:Topological_graph_theory dbr:Hodge_theory dbr:Tor_functor dbr:Torsion_(algebra) dbr:Integer dbr:CW_complexes dbr:Euler_characteristic dbr:Digital_images dbr:Linear_recursive_sequence dbr:Rational_functions dbr:Torsion_subgroup dbr:Topological_space dbr:Topological_graph_theory dbr:Torsion_coefficient_(topology) dbr:Morse_function dbr:Hodge_Laplacian dbr:Vector_space_dimension dbr:Harmonic_form dbr:Characteristic_(field) dbr:Characteristic_p dbr:Period_length dbr:De_Rham_complex dbr:Closed_differential_form dbr:Compact_manifold dbr:Cyclomatic_number dbr:Exact_differential_form dbr:Homology_group dbr:File:Torus_cycles.png dbr:File:Simplicialexample.png |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Topology |
| dcterms:subject | dbc:Generating_functions dbc:Graph_invariants dbc:Algebraic_topology dbc:Topological_graph_theory |
| rdf:type | owl:Thing yago:Abstraction100002137 yago:Arrangement107938773 yago:Cognition100023271 yago:Concept105835747 yago:Content105809192 yago:Feature105849789 yago:Function113783816 yago:Group100031264 yago:Idea105833840 yago:Invariant105850432 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Ordering108456993 yago:Property105849040 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:Relation100031921 yago:WikicatGeneratingFunctions yago:WikicatGraphInvariants yago:WikicatIntegerSequences yago:Sequence108459252 yago:Series108457976 |
| rdfs:comment | En topologia, els nombres de Betti són uns objectes topològics que Henri Poincaré va demostrar que eren invariants i que va utilitzar per estendre la fórmula polièdrica a espais de dimensions més grans que tres. Per a cada dimensió d'un espai topològic en el que existeixen símplex, el nombre de Betti expressa el nombre de cicles independents en aquesta dimensió. (ca) Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Betti-Zahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Von Henri Poincaré wurde gezeigt, dass sie topologische Invarianten sind. Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti, da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit über eingeführten Flächenzahlen sind. (de) En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, les nombres de Betti sont des invariants topologiques, c'est-à-dire qu'ils aident à distinguer différents espaces topologiques. Ils forment une suite dont chaque terme est un entier naturel ou +∞. Pour les espaces « raisonnables » comme les variétés compactes et les complexes simpliciaux ou CW-complexes finis, ils sont tous finis, et nuls à partir d'un certain rang (au-delà de la dimension de l'espace). Henri Poincaré les a nommés ainsi en l'honneur d'Enrico Betti. (fr) In topologia algebrica, il -esimo numero di Betti di uno spazio topologico , definito per ogni 0 e denotato con , è un numero naturale o infinito che, in termini intuitivi, costituisce il numero di buchi o cavità -dimensionali presenti in . Nel caso in cui lo spazio topologico in questione sia una superficie Σ, il primo numero di Betti (Σ) coincide con il massimo numero di tagli (circolari) che possono essere eseguiti senza dividere la superficie in due pezzi. Il termine "numeri di Betti" fu coniato da Henri Poincaré in riferimento a Enrico Betti. (it) 베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 며, 0이거나, 양의 정수이거나, 이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 부터 에 대하여 이다. (ko) 代数的位相幾何学において、ベッチ数 (ベッチすう、英語: Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。 右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の｢穴｣の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は 1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。 ベッチ数は、今日、数学のみならず計算機科学やデジタル画像などの分野でも研究されている。 「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ (Enrico Betti) にちなみ、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) により命名された。 (ja) В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому. Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті. (uk) 在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數 是一族重要的不變量，取值為非負整數或無窮大。直觀地看， 是連通分支之個數， 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 可藉同調群定義。 「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用，以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。 (zh) In algebraic topology, the Betti numbers are used to distinguish topological spaces based on the connectivity of n-dimensional simplicial complexes. For the most reasonable finite-dimensional spaces (such as compact manifolds, finite simplicial complexes or CW complexes), the sequence of Betti numbers is 0 from some point onward (Betti numbers vanish above the dimension of a space), and they are all finite. (en) En topología algebraica, los números de Betti distinguen los espacios topológicos. Intuitivamente, el primer número de Betti de un espacio, cuenta el número máximo de cortes que se pueden hacer sin dividir al espacio en dos piezas. Cada número de Betti es o bien un número natural o bien un elemento de la recta real extendida (+∞). Para los espacios de dimensión finita más comunes (como las variedades compactas, un Complejo simplicial o CW-complejo) la secuencia de números de Betti es 0 para algunos puntos progresivamente (se anulan para dimensiones superiores al espacio), y son todos finitos. (es) In de algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, is het Betti-getal van een topologische ruimte, in intuïtieve termen uitgelegd, onder andere het maximale aantal snedes die men kan maken zonder dat de ruimte in twee delen uiteenvalt. Dit aantal noemt men bijvoorbeeld het eerste Betti-getal. Er is een rij Betti-getallen gedefinieerd. De term "Betti-getal" is ingevoerd door Henri Poincaré, die hiermee Enrico Betti wilde eren. (nl) Числа Бетти — последовательность инвариантов топологического пространства. Каждому пространству соответствует некая последовательность чисел Бетти . * Нулевое число Бетти совпадает с числом связных компонент; * Первое число Бетти интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности. Термин «числа Бетти» был введен Анри Пуанкаре, который назвал их в честь итальянского математика Энрико Бетти. (ru) |
| rdfs:label | Nombre de Betti (ca) Betti-Zahl (de) Betti number (en) Número de Betti (es) Nombre de Betti (fr) Numero di Betti (it) ベッチ数 (ja) 베티 수 (ko) Betti-getal (nl) Число Бетти (ru) Числа Бетті (uk) 貝蒂數 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Betti number yago-res:Betti number http://d-nb.info/gnd/4231040-4 wikidata:Betti number dbpedia-ca:Betti number dbpedia-de:Betti number dbpedia-es:Betti number dbpedia-fa:Betti number dbpedia-fr:Betti number dbpedia-it:Betti number dbpedia-ja:Betti number dbpedia-ko:Betti number dbpedia-nl:Betti number dbpedia-ru:Betti number dbpedia-uk:Betti number dbpedia-zh:Betti number https://global.dbpedia.org/id/3yPyu |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Betti_number?oldid=1114532407&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Simplicialexample.png wiki-commons:Special:FilePath/Torus_cycles.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Betti_number |
| is dbo:knownFor of | dbr:Enrico_Betti dbr:Henri_Poincaré |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Betti |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Betti_numbers dbr:Torsion_coefficient_(topology) dbr:Poincare_polynomial dbr:Poincaré_polynomial |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Beauville_surface dbr:Enoki_surface dbr:Enriques_surface dbr:Enriques–Kodaira_classification dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:List_of_complex_and_algebraic_surfaces dbr:Betti_numbers dbr:Dave_Bayer dbr:De_Rham_cohomology dbr:Algebraic_topology dbr:Hyperelliptic_surface dbr:List_of_things_named_after_Henri_Poincaré dbr:Ricci-flat_manifold dbr:Cycle_space dbr:Universal_coefficient_theorem dbr:Donaldson's_theorem dbr:Incompressible_surface dbr:Inoue_surface dbr:Inoue–Hirzebruch_surface dbr:Künneth_theorem dbr:List_of_mathematical_uses_of_Latin_letters dbr:List_of_people_from_Central_Italy dbr:Analysis_Situs_(book) dbr:Mayer–Vietoris_sequence dbr:Chern–Gauss–Bonnet_theorem dbr:General_linear_group dbr:Geometric_function_theory dbr:Outer_space_(mathematics) dbr:Torsion_abelian_group dbr:Timeline_of_manifolds dbr:Alexander_duality dbr:Emmy_Noether dbr:Enrico_Betti dbr:Gaetano_Fichera dbr:Georges_de_Rham dbr:Morse_theory dbr:Contributions_of_Leonhard_Euler_to_mathematics dbr:Thomas_Schick dbr:Simplicial_homology dbr:Uniform_9-polytope dbr:Milnor_number dbr:Arithmetic_group dbr:Arnold_Conjecture dbr:Arnold–Givental_conjecture dbr:Shoshichi_Kobayashi dbr:Betti dbr:Combinatorial_topology dbr:Commutative_ring dbr:Complex_manifold dbr:Complex_projective_plane dbr:Complex_projective_space dbr:Component_(graph_theory) dbr:Étale_cohomology dbr:Hairy_ball_theorem dbr:Haken_manifold dbr:Hopf_surface dbr:Symplectic_manifold dbr:Topological_data_analysis dbr:Matsushima's_formula dbr:6-polytope dbr:Topology dbr:W._V._D._Hodge dbr:Weil_conjectures dbr:G2_manifold dbr:Supersingular_K3_surface dbr:Poincaré_duality dbr:Riemann–Hurwitz_formula dbr:5-polytope dbr:4-polytope dbr:Cyclomatic_complexity dbr:Euler_operator_(digital_geometry) dbr:Fake_projective_plane dbr:Cellular_homology dbr:Diagonal dbr:Differential_structure dbr:Dirac–Kähler_equation dbr:Discrete_Morse_theory dbr:Fake_projective_space dbr:Fano_variety dbr:Floer_homology dbr:Hantzsche–Wendt_manifold dbr:History_of_manifolds_and_varieties dbr:Kato_surface dbr:Kodaira_surface dbr:Lefschetz_fixed-point_theorem dbr:Lefschetz_manifold dbr:Theodore_Frankel dbr:Rank_(graph_theory) dbr:Riemannian_geometry dbr:Henri_Poincaré dbr:Hermann_Künneth dbr:Hyperbolic_3-manifold dbr:K3_surface dbr:Birational_geometry dbr:Coherent_sheaf_cohomology dbr:Hodge_theory dbr:Homological_mirror_symmetry dbr:Homology_(mathematics) dbr:Homology_sphere dbr:Real_algebraic_geometry dbr:Regular_4-polytope dbr:Manifold dbr:Circuit_rank dbr:Kähler_manifold dbr:Mikhael_Gromov_(mathematician) dbr:Orbifold dbr:Casson_invariant dbr:Categorification dbr:Yang–Mills_equations dbr:Singular_homology dbr:Nielsen–Schreier_theorem dbr:Euler's_Gem dbr:Euler_characteristic dbr:Listing_number dbr:Surface_of_class_VII dbr:Train_track_map dbr:Symplectomorphism dbr:Plethystic_exponential dbr:Finitely_generated_abelian_group dbr:Uniform_8-polytope dbr:Pisa_University_System dbr:Uniform_7-polytope dbr:Rational_homotopy_theory dbr:Torsion_coefficient_(topology) dbr:Uniform_10-polytope dbr:Riemann–Roch_theorem dbr:Poincare_polynomial dbr:Poincaré_polynomial |
| is dbp:knownFor of | dbr:Henri_Poincaré |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Betti_number |
