Universal algebra (original) (raw)

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L'àlgebra universal (de vegades anomenada àlgebra general) és la branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les idees comunes a totes les estructures algebraiques per si mateixes, no exemples ("models") d'estructures algebraiques. Per exemple, en comptes d'estudiar els grups, l'àlgebra universal estudia la teoria de grups en conjunt.

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dbo:abstract L'àlgebra universal (de vegades anomenada àlgebra general) és la branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les idees comunes a totes les estructures algebraiques per si mateixes, no exemples ("models") d'estructures algebraiques. Per exemple, en comptes d'estudiar els grups, l'àlgebra universal estudia la teoria de grups en conjunt. (ca) Univerzální algebra je odvětví abstraktní algebry, které zkoumá vlastnosti společné různým druhům algebraických struktur. Abstraktní algebra zkoumá vlastnosti platné pro jednotlivé struktury (například nějaká věta je dokázána pro grupu a není ji tedy nutné dokazovat pro nejrůznější matematické objekty, které splňují definici grupy), univerzální algebra míru abstrakce a obecnosti dále zvyšuje zkoumáním výsledků, které platí pro všechny variety (varietu grup, varietu svazů, varietu lineárních prostorů apod.) Výsledky univerzální algebry lze ještě dále zobecnit v teorii kategorií. (cs) الجبر الشامل هو فرع الجبر الذي يدرس الخواص والبنى العامة المشتركة بين كل فروع الجبر. (ar) El Álgebra Universal es el sector de la matemática que estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas.​ Desde el punto de vista del álgebra universal, un álgebra (o álgebra abstracta) es un conjunto A dotado de una serie de operaciones que actúan sobre A. Una operación n-aria sobre A es una función que acepta n elementos de A y retorna un solo elemento de A.​ (es) Die universelle Algebra (auch allgemeine Algebra) ist ein Teilgebiet der Mathematik, genauer der Algebra, das sich mit allgemeinen algebraischen Strukturen und ihren Homomorphismen sowie gewissen Verallgemeinerungen befasst. Während in der abstrakten Algebra und ihren jeweiligen Teilgebieten wie Gruppentheorie, Ringtheorie und Körpertheorie algebraische Strukturen mit bestimmten festen Verknüpfungen mit festgelegten Eigenschaften untersucht werden, befasst sich die universelle Algebra mit Strukturen im Allgemeinen, also mit Strukturen mit beliebigen Verknüpfungen und beliebigen festlegbaren Eigenschaften. Die Gruppentheorie etwa spricht allgemein über Gruppen, für die universelle Algebra sind Gruppen dagegen nur ein Beispiel für einen Typ algebraischer Strukturen. Die universelle Algebra ist verwandt mit der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, das sich mit der Beziehung zwischen Strukturen und logischen Formeln, die diese beschreiben, befasst. Von zentralem Interesse ist dabei die Modelltheorie der . Auch die Verbandstheorie findet Anwendung in der universellen Algebra. Die Kategorientheorie stellt einen noch allgemeineren Ansatz dar, von dem aus sich die universelle Algebra betrachten lässt. Dabei wird die Beschreibung von Strukturen allein auf das Verhalten ihrer strukturerhaltenden Abbildungen unter Verkettung, im Falle der universellen Algebra der Homomorphismen, reduziert. (de) L'algèbre universelle est la branche de l'algèbre qui a pour but de traiter de manière générale et simultanée les différentes structures algébriques : groupes, monoïdes, anneaux, espaces vectoriels, etc. Elle permet de définir de manière uniforme les morphismes, les sous-structures (sous-groupes, sous-monoïdes, sous-anneaux, sous-espaces vectoriels, etc.), les quotients, les produits et les objets libres pour ces structures. En mathématiques, un grand nombre de types de structures algébriques vérifient différents axiomes (groupes, anneaux, espaces vectoriels, treillis, algèbres de Boole, algèbres de Lie). Pour ces différents types de structures, on définit une notion de morphisme et des constructions de structures qui sont analogues ou qui ont des propriétés analogues (sous-structures, quotients, produits, coproduits, objets libres, limites projectives et inductives, etc.). Ces morphismes et ces constructions ont un grand nombre de propriétés qui sont semblables (l'intersection de sous-groupes, de sous-anneaux, etc., en est un, l'image d'un sous-groupe, d'un sous-anneau, etc., par un morphisme en est un aussi). On a alors défini de manière générale et abstraite les structures algébriques pour pouvoir traiter de manière uniforme ces constructions et leurs propriétés, et on a pu, par la suite, se concentrer sur les propriétés propres à chacune de ces structures. Plus qu'une généralisation des structures algébriques usuelles qui ne servirait qu'en algèbre, l'algèbre universelle a aussi des applications en logique et en informatique. Une généralisation plus vaste encore de ces notions est fournie par la théorie des catégories. (fr) Aljabar universal (kadang disebut aljabar umum) adalah bidang matematika yang mempelajari struktur aljabar itu sendiri, bukan contoh ("model") dari struktur aljabar.Misalnya, daripada mengambil grup tertentu sebagai objek studi, dalam aljabar universal seseorang mengambil kelas grup sebagai objek studi. (in) Universal algebra (sometimes called general algebra) is the field of mathematics that studies algebraic structures themselves, not examples ("models") of algebraic structures.For instance, rather than take particular groups as the object of study, in universal algebra one takes the class of groups as an object of study. (en) 数学の一分野としての普遍代数学（ふへんだいすうがく、英: Universal algebra）あるいは一般代数学（いっぱんだいすうがく、英: general algebra）は、構造の「モデル」となる例についてではなく代数的構造そのものについて研究する分野である。例えば、その研究対象として個々の群を考えるのではなく群論そのものをその研究対象とするのである。 (ja) 보편 대수학(普遍代數學, universal algebra) 또는 일반 대수학(general algebra)이란, 대수적 구조의 모형이 되는 한가지 예시가 아닌, 대수적 구조 그 자체를 연구대상으로 삼는 수학의 한 분야이다. 예컨대 개개의 특정한 군이 아닌 모든 군에 보편적인 구조를 연구하는 것이다. 모형 이론의 한 특수한 형태로 볼 수 있다. (ko) L'algebra universale è il settore della matematica che studia le idee comuni a tutte le strutture algebriche. Essa si collega ai vari argomenti della sezione 08-XX dello schema di classificazione MSC2000. (it) De universele algebra (ook wel algemene algebra genoemd) is het deelgebied van de wiskunde dat niet slechts de instanties van een bepaalde algebraïsche structuur, maar deze algebraïsche structuren zelf onderwerp van studie heeft gemaakt. In plaats van bijvoorbeeld een bijzonder type groep te bestuderen, is in de universele algebra "de groepentheorie" zelf onderwerp van studie. (nl) Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy . Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą. (pl) A álgebra universal (às vezes chamada de álgebra geral) é o campo da matemática que estuda as estruturas algébricas em si, não os exemplos ("modelos") de estruturas algébricas. Por exemplo, em vez de considerar grupos específicos como objeto de estudo, na álgebra universal é considerada a como objeto de estudo. (pt) Універсальна алгебра (іноді її називають загальною алгеброю) — це галузь математики, яка вивчає самі алгебраїчні структури, а не приклади («моделі») алгебраїчних структур. Наприклад, замість того, щоб розглядати окремі групи як об’єкт дослідження, в універсальній алгебрі об’єктом дослідження виступає . (uk) 泛代数，也称普适代数学（英語：Universal algebra），研究通用於所有代數結構的理論，而不是代數結構的模型。舉個例子，並不是將特殊的個別的群作為個體分別來學習，而是將整個群論的理論作為學習的主題。 (zh) Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, использующий сходства между различными алгебраическими структурами — группами, кольцами, модулями, решётками, вводящий присущие им всем понятия и устанавливающий общие для всех них утверждения. Занимает промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам. Центральное понятие — алгебраическая система, объект максимальной общности, объемлющий значительную часть вариантов алгебраических структур; над этим объектом могут быть построены понятия гомоморфизма и факторсистемы, обобщающие соответствующие конструкции из теорий групп, колец, решёток и так далее. Развитое направление в разделе — изучение классов аксиоматизируемых алгебраических систем, прежде всего таких, как задающихся тождествами многообразия (в том числе ), и определяющихся квазитождествами квазимногообразия. В Математической предметной классификации универсальной алгебре присвоен раздел верхнего уровня 08. (ru)
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(cs) الجبر الشامل هو فرع الجبر الذي يدرس الخواص والبنى العامة المشتركة بين كل فروع الجبر. (ar) El Álgebra Universal es el sector de la matemática que estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas.​ Desde el punto de vista del álgebra universal, un álgebra (o álgebra abstracta) es un conjunto A dotado de una serie de operaciones que actúan sobre A. Una operación n-aria sobre A es una función que acepta n elementos de A y retorna un solo elemento de A.​ (es) Aljabar universal (kadang disebut aljabar umum) adalah bidang matematika yang mempelajari struktur aljabar itu sendiri, bukan contoh ("model") dari struktur aljabar.Misalnya, daripada mengambil grup tertentu sebagai objek studi, dalam aljabar universal seseorang mengambil kelas grup sebagai objek studi. (in) Universal algebra (sometimes called general algebra) is the field of mathematics that studies algebraic structures themselves, not examples ("models") of algebraic structures.For instance, rather than take particular groups as the object of study, in universal algebra one takes the class of groups as an object of study. (en) 数学の一分野としての普遍代数学（ふへんだいすうがく、英: Universal algebra）あるいは一般代数学（いっぱんだいすうがく、英: general algebra）は、構造の「モデル」となる例についてではなく代数的構造そのものについて研究する分野である。例えば、その研究対象として個々の群を考えるのではなく群論そのものをその研究対象とするのである。 (ja) 보편 대수학(普遍代數學, universal algebra) 또는 일반 대수학(general algebra)이란, 대수적 구조의 모형이 되는 한가지 예시가 아닌, 대수적 구조 그 자체를 연구대상으로 삼는 수학의 한 분야이다. 예컨대 개개의 특정한 군이 아닌 모든 군에 보편적인 구조를 연구하는 것이다. 모형 이론의 한 특수한 형태로 볼 수 있다. (ko) L'algebra universale è il settore della matematica che studia le idee comuni a tutte le strutture algebriche. Essa si collega ai vari argomenti della sezione 08-XX dello schema di classificazione MSC2000. (it) De universele algebra (ook wel algemene algebra genoemd) is het deelgebied van de wiskunde dat niet slechts de instanties van een bepaalde algebraïsche structuur, maar deze algebraïsche structuren zelf onderwerp van studie heeft gemaakt. In plaats van bijvoorbeeld een bijzonder type groep te bestuderen, is in de universele algebra "de groepentheorie" zelf onderwerp van studie. (nl) Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy . Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą. 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