Compact operator (original) (raw)
Kompakte Operatoren zwischen zwei Banachräumen sind in der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik, spezielle Operatoren, die ihren Ursprung in der Theorie der Integralgleichungen haben. Man spricht auch von kompakten Abbildungen anstatt von kompakten Operatoren und unterscheidet lineare von nichtlinearen Operatoren.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En anàlisi funcional, una branca de les matemàtiques, un operador compacte és un operador lineal L d'un espai de Banach X a un altre espai de Banach Y, tal que la imatge per L de qualsevol subconjunt afitat X és un subconjunt de Y. Un operador d'aquesta forma és necessàriament un , i per tant continu. Tot operador afitat L que tingui rang finit és un operador compacte; en efecte, la classe dels operadors compactes és una generalització natural de la classe dels en el cas de dimensió infinita. Si Y és un espai de Hilbert, llavors és cert que tot operador compacte és el límit d'operadors de rang finit, de tal manera que la classe dels operadors compactes es pot definir també com la clausura en la dels operadors de rang finit. L'afirmació de si això era cert en general per espais de Banach (la ) va ser una qüestió sense resoldre durant molt temps; finalment, en va donar un contraexemple. L'origen de la teoria d'operadors compactes rau en la teoria de les equacions integrals, on els operadors integrals proporcionen exemples concrets d'aquests operadors. Una equació integral de Fredholm típica dona lloc a un operador compacte K en espais funcionals; la propietat de compacitat es demostra per equicontinuïtat. El mètode d'aproximació per operadors de rang finit és bàsic en el càlcul numèric de solucions per aquestes equacions. La idea abstracta d'un es deriva d'aquesta connexió. (ca) Kompakte Operatoren zwischen zwei Banachräumen sind in der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik, spezielle Operatoren, die ihren Ursprung in der Theorie der Integralgleichungen haben. Man spricht auch von kompakten Abbildungen anstatt von kompakten Operatoren und unterscheidet lineare von nichtlinearen Operatoren. (de) In functional analysis, a branch of mathematics, a compact operator is a linear operator , where are normed vector spaces, with the property that maps bounded subsets of to relatively compact subsets of (subsets with compact closure in ). Such an operator is necessarily a bounded operator, and so continuous. Some authors require that are Banach, but the definition can be extended to more general spaces. Any bounded operator that has finite rank is a compact operator; indeed, the class of compact operators is a natural generalization of the class of finite-rank operators in an infinite-dimensional setting. When is a Hilbert space, it is true that any compact operator is a limit of finite-rank operators, so that the class of compact operators can be defined alternatively as the closure of the set of finite-rank operators in the norm topology. Whether this was true in general for Banach spaces (the approximation property) was an unsolved question for many years; in 1973 Per Enflo gave a counter-example, building on work by Grothendieck and Banach. The origin of the theory of compact operators is in the theory of integral equations, where integral operators supply concrete examples of such operators. A typical Fredholm integral equation gives rise to a compact operator K on function spaces; the compactness property is shown by equicontinuity. The method of approximation by finite-rank operators is basic in the numerical solution of such equations. The abstract idea of Fredholm operator is derived from this connection. (en) En análisis funcional, un operador compacto es un operador lineal L definido sobre un espacio de Banach X a otro espacio de Banach Y, tal que la imagen por L de cualquier conjunto acotado de X es un conjunto de Y. Un operador con esa propiedad necesariamente es un operador acotado y por tanto continuo. Cualquier operador acotado L de rango finito es un operador compacto, de hecho, la clase de operadores compactos es un generalización natural de la clase de en un contexto de dimensión infinita. Cuando Y es un espacio de Hilbert, resulta que cualquier operador compacto es el límite de una sucesión de operadores de rango finito, de tal manera que la clase de operadores compactos puede ser definida alternativamente como la clausura topológica en la del conjunto de operadores de rango finito. Durante años fue una cuestión abierta de si esto es cierto en general para espacios de Banach, hasta que mostró que no, dando un contraejemplo. El origen de la teoría de operadores compactos es la teoría de ecuaciones integrales donde algunos operadores integrales eran casos concretos de operadores compactos. Una típica da lugar a un operador compacto K sobre un espacio funcional, cuya propiedad de compacidad se demuestra por equicontinuidad. El método de aproximación de operadores de rango finito es básico en la solución numérica de ese tipo de ecuaciones. La idea abstracta de se deriva de esta conexión. * Datos: Q1780743 (es) En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, un opérateur compact est une application continue entre deux espaces vectoriels topologiques X et Y envoyant les parties bornées de X sur les parties relativement compactes de Y. Les applications linéaires compactes généralisent les applications linéaires continues de rang fini. La théorie est particulièrement intéressante pour les espaces vectoriels normés ou les espaces de Banach. En particulier, dans un espace de Banach, l'ensemble des opérateurs compacts est fermé pour la topologie forte. Mieux, dans un espace de Hilbert, un opérateur compact est limite d'opérateurs bornés de rangs finis. Les premiers opérateurs compacts sont apparus avec les équations intégrales et l'étude des espaces fonctionnels. La résolution formelle d'équations intégrales simples fait apparaître un opérateur à noyau dont la compacité tient à des propriétés d'équicontinuité. À travers ce problème est apparue une autre classe importante d'opérateurs, les opérateurs de Fredholm. La perturbation par des opérateurs compacts préserve la propriété d'être de Fredholm et l'indice de Fredholm : c'est le théorème de stabilité de l'indice. (fr) 함수해석학에서 콤팩트 작용소(compact作用素, 영어: compact operator)는 유계 집합의 상이 상대 콤팩트 집합인 바나흐 공간 사이의 선형 변환이다. (ko) 数学の一分野函数解析学においてコンパクト作用素（コンパクトさようそ、英語: compact operator）とは、バナッハ空間 X から別のバナッハ空間 Y への線型作用素 L であって、X の任意の有界集合を Y の相対コンパクト集合へ写すようなもののことを言う。このような作用素は有界作用素、つまり連続写像でなければならない。 有界作用素 L で階数が有限なものは全てコンパクト作用素である。実際、無限次元空間上のコンパクト作用素のクラスは階数有限な作用素のクラスの自然な一般化である。X = Y がヒルベルト空間であるとき、任意のコンパクト作用素は有限階作用素の極限として得られる。したがってコンパクト作用素のクラスを有限階作用素のクラスの作用素ノルムに関する閉包として定義することもできる。このこと（ AP）が一般のバナッハ空間においても正しいかどうかということは長年未解決の問題であったが、によって反例が与えられ否定的に解決された。 コンパクト作用素の理論の始まりは、積分方程式の理論の中にあり、そこでは積分作用素がそのような作用素の具体的な例を与える。典型的なフレドホルム方程式は函数空間上のコンパクト作用素 K を生じ、このときのコンパクト性は同程度連続性によって示される。有限階作用素による近似法はそのような方程式の数値解法の基礎である。抽象的なフレドホルム作用素の概念はこの関連性からくるものである。 (ja) In analisi funzionale, un operatore compatto è un operatore lineare tra spazi di Banach tale che l'immagine di ogni sottoinsieme limitato del dominio sia un insieme relativamente compatto del codominio, cioè che la sua chiusura sia compatta. Ogni operatore compatto è un operatore completamente continuo, ma non è vero il viceversa. Gli operatori compatti sono necessariamente limitati, e quindi sono operatori continui. Ogni operatore limitato che ha rango finito è un operatore compatto, e quindi la classe degli operatori compatti è la naturale generalizzazione della classe degli operatori a rango finito in uno spazio infinito dimensionale. Se si definisce un operatore compatto da uno spazio di Hilbert in sé, esso è il limite di una successione di operatori a rango finito, e quindi la classe degli operatori compatti può essere definita in modo alternativo come la chiusura della classe degli operatori a rango finito. Gli operatori compatti da uno spazio di Banach in sé, formano un ideale bilatero nell'algebra di tutti gli operatori limitati di uno spazio. Inoltre, gli operatori compatti su di uno spazio di Hilbert formano un ideale minimale, per cui l', nota come l', è un'algebra semplice. Esempi di operatori compatti sono gli operatori di Hilbert-Schmidt, o più in generale operatori nella classe di Schmidt. (it) Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony. Dla operatora liniowego T: E → F przekształcającego przestrzeń Banacha E w F następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów. 1. * domknięcie obrazu T(B) jest zwarte w F dla każdego zbioru ograniczonego B w E (tj. T jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji), 2. * domknięcie obrazu T(B) jest zwarte w F, gdzie B oznacza kulę jednostkową w E, 3. * obraz T(B) jest całkowicie ograniczony w F dla każdego zbioru ograniczonego B w E, 4. * dla każdego ograniczonego ciągu (xn) punktów przestrzeni E ciąg (Txn) zawiera podciąg zbieżny. (pl) Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito. A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema se comporta como em dimensão finita. (pt) Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными. (ru) Цілкóм неперéрвний оперáтор — оператор, що відображає банахів простір в себе, називається цілком неперервним, якщо він кожну обмежену множину переводить у відносно компактну. Сукупність усіх компактних операторів, що діють з в , позначають через ( у випадку, коли X1=X2=X). (uk) 在数学分支泛函分析中，一个紧算子(英語：Compact operator)是从巴拿赫空间X到另一个巴拿赫空间Y的线性算子L，使得在L的作用下X的任意有界子集的的像集是Y的子集。这样的算子必然是有界算子，因此是连续的。 任意有限秩的有界算子L是紧算子; 事实上，紧算子是有限秩算子在无限维情形下的自然推广。 当Y是希尔伯特空间时，任意紧算子都是有限秩算子的极限，因此紧算子集合可以被替换地定义为有限秩算子在算子范数意义下的闭包。这一性质对于巴拿赫空间（）是否成立是多年来未解决的问题; 最后给出了一个反例。 紧算子理论的起源于积分方程理论，积分算子给出这样算子的具体例子。 典型的给出函数空间上的紧算子K; 紧性由等度连续性得出。 利用有限秩算子近似是数值求解这种方程的基本方法。 的抽象概念也由此得出。 (zh) |
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