Grassmannian (original) (raw)
Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, el grassmannià Gr(r, V) és un espai que parametritza tots els subespais vectorials de dimensió r d'un espai vectorial V. Per exemple, el grassmannià Gr(1, V) és l'espai de rectes que passen per l'origen de V, la qual cosa és equivalent a l'espai projectiu d'una dimensió menys que la de V. Quan V és un espai vectorial real o complex, els grassmannians són varietats suaus i compactes. En general, tenen l'estructura d'una varietat algebraica suau. El primer tractat sobre un grassmannià no trivial es deu a Julius Plücker, qui estudià el conjunt de rectes en l'espai projectiu tridimensional, i el parametritzà mitjançant el que es coneix avui en dia com a . Els grassmannians reben aquest nom per Hermann Grassmann, qui va introduir el concepte en un àmbit general. Segons els autors, les notacions poden diferir, amb Gr(V, r) equivalent a Gr(r, V); alguns autors utilitzen Gr(r, n) o Gr(n, r) per denotar el grassmannià de subespais de dimensió r sobre un cert espai vectorial de dimensió n. (ca) Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann. (de) In mathematics, the Grassmannian Gr(k, V) is a space that parameterizes all k-dimensional linear subspaces of the n-dimensional vector space V. For example, the Grassmannian Gr(1, V) is the space of lines through the origin in V, so it is the same as the projective space of one dimension lower than V. When V is a real or complex vector space, Grassmannians are compact smooth manifolds. In general they have the structure of a smooth algebraic variety, of dimension The earliest work on a non-trivial Grassmannian is due to Julius Plücker, who studied the set of projective lines in projective 3-space, equivalent to Gr(2, R4) and parameterized them by what are now called Plücker coordinates. Hermann Grassmann later introduced the concept in general. Notations for the Grassmannian vary between authors; notations include Grk(V), Gr(k, V), Grk(n), or Gr(k, n) to denote the Grassmannian of k-dimensional subspaces of an n-dimensional vector space V. (en) En matemáticas, un grasmaniano es un espacio que parametriza todos los subespacios lineales de un espacio vectorial V de una determinada dimensión. Por ejemplo, el grasmaniano Gr(1, V) es el espacio de líneas a través del origen en V, así que es el mismo que el espacio proyectivo P(V). Los grasmanianos son variedades compactas. Reciben este nombre en honor de Hermann Grassmann. (es) En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou Gk,n(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ». (fr) In matematica, la grassmanniana di uno spazio vettoriale è l'insieme di tutti i suoi sottospazi aventi dimensione fissata . Questo insieme è indicato generalmente con il simbolo Per la grassmanniana è l'insieme delle rette in , ovvero lo spazio proiettivo Il nome è legato al matematico tedesco Hermann Grassmann. (it) 대수기하학에서 그라스만 다양체(Graßmann多樣體, 영어: Grassmannian)는 어떤 선형 공간의 주어진 차원의 부분 선형 공간들을 분류하는 모듈라이 공간이다. 그라스만 다양체 Gr(k, V)는 n-차원 선형 공간 V의 모든 k-차원 부분 선형 공간들의 집합이 이루는 다양체다. 예를 들어, Gr(1, V)는 V의 원점을 지나는 모든 직선들의 집합이다. 즉 V로부터 얻은 사영공간과 같다. 복소 또는 실 선형 공간의 그라스만 다양체는 컴팩트한 매끄러운 다양체가 된다. (ko) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een grassmann-variëteit een ruimte die alle lineaire deelruimten van een vectorruimte van een gegeven dimensie parameteriseert. De grassmann-variëteit is bijvoorbeeld de ruimte van de lijnen door de oorsprong in , dus is het dezelfde als de projectieve ruimte . Grassmann-variëteiten zijn genoemd naar de Duitse wiskundige Hermann Grassmann. (nl) En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i . (sv) Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства размерности называется многообразие, состоящее из его -мерных подпространств. Обозначается или или . В частности, — это многообразие прямых в пространстве , совпадающее с проективным пространством . Названо в честь Германа Грассмана. На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение . Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера. (ru) 在数学中，格拉斯曼流形是一个向量空间 V 的给定维数的所有线性子空间。例如，格拉斯曼流形 Gr1(V) 是 V 中过原点直线的空间，从而与射影空间 PV 相同。格拉斯曼流形以赫尔曼·格拉斯曼命名。 (zh) Грассманіаном в математиці називають множину лінійних підпросторів розмірності k лінійного простору V. Як правило цій множині надається деяка додаткова структура. Зокрема для випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел можна ввести природну структуру гладкого многовиду. В цьому випадку також використовується термін многовид Грассмана. Мають широке застосування в лінійній алгебрі, диференціальній і алгебраїчній геометрії, а також в інформатиці, зокрема комп'ютерному баченні. Названі на честь німецького математика Германа Грассмана. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-37956-7 https://arxiv.org/abs/hep-th/9312104 https://books.google.com/books%3Fid=RTQmlDw9r6gC https://books.google.com/books%3Fid=k91UpG26Hp8C |
| dbo:wikiPageID | 373810 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 37051 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1120987350 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Amplituhedron dbr:Projective_geometry dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:Quasi-coherent dbr:Elementary_matrix dbr:Enumerative_geometry dbr:Algebraic_K-theory dbr:Homogeneous_space dbr:Julius_Plücker dbr:Perpendicular dbr:Vector_space dbr:Instanton dbr:Scattering_amplitude dbr:Lie_group dbc:Differential_geometry dbr:Compact_space dbr:Mathematics dbr:Gauss_map dbr:General_linear_group dbr:Operator_norm dbr:Tangent_bundle dbr:Classifying_space dbr:Edward_Witten dbr:Grassmann_graph dbr:Lagrangian_Grassmannian dbr:Homotopic dbr:Short_exact_sequence dbr:Computer_vision dbr:Haar_measure dbr:K-theory dbr:Linear_subspace dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_variety dbc:Projective_geometry dbr:Dual_space dbr:Euclidean_space dbr:Field_(mathematics) dbr:Grand_Tour_(data_visualisation) dbr:Grassmann_bundle dbr:Kadomtsev–Petviashvili_equation dbr:Projective_morphism dbr:Radon_measure dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Hermann_Grassmann dbr:Tau_function_(integrable_systems) dbc:Algebraic_geometry dbr:Affine_Grassmannian dbc:Algebraic_homogeneous_spaces dbr:Chern_class dbr:Cohomology dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Tautological_bundle dbr:Differential_geometry dbr:Dimension dbr:Plücker_embedding dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Classifying_space_for_U(n) dbr:Ground_field dbr:Inner_product dbr:Inner_product_space dbr:Metric_space dbr:Orthogonal_complement dbr:Orthogonal_group dbr:Schubert_calculus dbr:Flag_manifold dbr:Scheme_(mathematics) dbr:Smooth_algebraic_variety dbr:Smooth_manifold dbr:Soliton dbr:Unitary_group dbr:Vector_bundle dbr:Plücker_coordinates dbr:Flag_(linear_algebra) dbr:Singular_point_of_an_algebraic_variety dbr:Quantum_cohomology dbr:Representable_functor dbr:Subset dbr:Stiefel_manifold dbr:Transitive_action dbr:Topological dbr:Vector_bundles dbr:Parabolic_subgroup dbr:Functoriality dbr:Direct_sum_of_vector_bundles dbr:Echelon_form dbr:Plücker_co-ordinates dbr:Compact_manifold dbr:Complete_algebraic_variety dbr:Differential_manifold dbr:Homotopy_theory_of_schemes dbr:Zero-modes |
| dbp:em | 1.500000 (xsd:double) |
| dbp:text | . (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Block_indent dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Harvtxt dbt:I_sup dbt:Main_article dbt:Math dbt:Mvar dbt:Other_uses dbt:Refimprove dbt:Sfn dbt:Sub dbt:Sup dbt:Lee_Introduction_to_Smooth_Manifolds dbt:Norm |
| dcterms:subject | dbc:Differential_geometry dbc:Projective_geometry dbc:Algebraic_geometry dbc:Algebraic_homogeneous_spaces |
| gold:hypernym | dbr:Space |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Space100028651 yago:WikicatAlgebraicHomogeneousSpaces |
| rdfs:comment | Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann. (de) En matemáticas, un grasmaniano es un espacio que parametriza todos los subespacios lineales de un espacio vectorial V de una determinada dimensión. Por ejemplo, el grasmaniano Gr(1, V) es el espacio de líneas a través del origen en V, así que es el mismo que el espacio proyectivo P(V). Los grasmanianos son variedades compactas. Reciben este nombre en honor de Hermann Grassmann. (es) En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou Gk,n(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ». (fr) In matematica, la grassmanniana di uno spazio vettoriale è l'insieme di tutti i suoi sottospazi aventi dimensione fissata . Questo insieme è indicato generalmente con il simbolo Per la grassmanniana è l'insieme delle rette in , ovvero lo spazio proiettivo Il nome è legato al matematico tedesco Hermann Grassmann. (it) 대수기하학에서 그라스만 다양체(Graßmann多樣體, 영어: Grassmannian)는 어떤 선형 공간의 주어진 차원의 부분 선형 공간들을 분류하는 모듈라이 공간이다. 그라스만 다양체 Gr(k, V)는 n-차원 선형 공간 V의 모든 k-차원 부분 선형 공간들의 집합이 이루는 다양체다. 예를 들어, Gr(1, V)는 V의 원점을 지나는 모든 직선들의 집합이다. 즉 V로부터 얻은 사영공간과 같다. 복소 또는 실 선형 공간의 그라스만 다양체는 컴팩트한 매끄러운 다양체가 된다. (ko) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een grassmann-variëteit een ruimte die alle lineaire deelruimten van een vectorruimte van een gegeven dimensie parameteriseert. De grassmann-variëteit is bijvoorbeeld de ruimte van de lijnen door de oorsprong in , dus is het dezelfde als de projectieve ruimte . Grassmann-variëteiten zijn genoemd naar de Duitse wiskundige Hermann Grassmann. (nl) En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i . (sv) 在数学中，格拉斯曼流形是一个向量空间 V 的给定维数的所有线性子空间。例如，格拉斯曼流形 Gr1(V) 是 V 中过原点直线的空间，从而与射影空间 PV 相同。格拉斯曼流形以赫尔曼·格拉斯曼命名。 (zh) Грассманіаном в математиці називають множину лінійних підпросторів розмірності k лінійного простору V. Як правило цій множині надається деяка додаткова структура. Зокрема для випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел можна ввести природну структуру гладкого многовиду. В цьому випадку також використовується термін многовид Грассмана. Мають широке застосування в лінійній алгебрі, диференціальній і алгебраїчній геометрії, а також в інформатиці, зокрема комп'ютерному баченні. Названі на честь німецького математика Германа Грассмана. (uk) En matemàtiques, el grassmannià Gr(r, V) és un espai que parametritza tots els subespais vectorials de dimensió r d'un espai vectorial V. Per exemple, el grassmannià Gr(1, V) és l'espai de rectes que passen per l'origen de V, la qual cosa és equivalent a l'espai projectiu d'una dimensió menys que la de V. Quan V és un espai vectorial real o complex, els grassmannians són varietats suaus i compactes. En general, tenen l'estructura d'una varietat algebraica suau. (ca) In mathematics, the Grassmannian Gr(k, V) is a space that parameterizes all k-dimensional linear subspaces of the n-dimensional vector space V. For example, the Grassmannian Gr(1, V) is the space of lines through the origin in V, so it is the same as the projective space of one dimension lower than V. When V is a real or complex vector space, Grassmannians are compact smooth manifolds. In general they have the structure of a smooth algebraic variety, of dimension (en) Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства размерности называется многообразие, состоящее из его -мерных подпространств. Обозначается или или . В частности, — это многообразие прямых в пространстве , совпадающее с проективным пространством . Названо в честь Германа Грассмана. (ru) |
| rdfs:label | Grassmannià (ca) Graßmann-Mannigfaltigkeit (de) Grasmaniano (es) Grassmannian (en) Grassmannienne (fr) Grassmanniana (it) 그라스만 다양체 (ko) Grassmann-variëteit (nl) Grassmannmångfald (sv) Грассманиан (ru) Грассманіан (uk) 格拉斯曼流形 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Grassmannian yago-res:Grassmannian wikidata:Grassmannian dbpedia-ca:Grassmannian dbpedia-de:Grassmannian dbpedia-es:Grassmannian dbpedia-fr:Grassmannian dbpedia-he:Grassmannian dbpedia-it:Grassmannian dbpedia-ko:Grassmannian dbpedia-nl:Grassmannian dbpedia-ru:Grassmannian dbpedia-sv:Grassmannian dbpedia-uk:Grassmannian dbpedia-zh:Grassmannian https://global.dbpedia.org/id/Kbqz |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Grassmannian?oldid=1120987350&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Grassmannian |
| is dbo:knownFor of | dbr:Hermann_Grassmann |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Grassmannian_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Grassmanian dbr:Grassmannians dbr:Grassman_manifold dbr:Grassmann_manifold dbr:Grassmannian_manifold dbr:Grassmannian_variety |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Amplituhedron dbr:Projective_geometry dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:List_of_algebraic_geometry_topics dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:Algebraic_manifold dbr:Homogeneous_space dbr:Julius_Plücker dbr:Characteristic_class dbr:Cubic_surface dbr:Determinantal_variety dbr:Introduction_to_Tropical_Geometry dbr:Lie_group_decomposition dbr:Penrose_transform dbr:Prehomogeneous_vector_space dbr:Stiefel–Whitney_class dbr:Weiqing_Gu dbr:Computational_anatomy dbr:Gauss_map dbr:General_hypergeometric_function dbr:General_linear_group dbr:Generalized_flag_variety dbr:Orientation_of_a_vector_bundle dbr:Quaternionic_projective_space dbr:Standard_monomial_theory dbr:Quadric_(algebraic_geometry) dbr:Timeline_of_manifolds dbr:Classifying_space dbr:Gaussian_binomial_coefficient dbr:Glossary_of_classical_algebraic_geometry dbr:Grassmanian dbr:Grassmann_graph dbr:Grassmannians dbr:Bott_periodicity_theorem dbr:Bracket_ring dbr:Music_and_mathematics dbr:Convexity_(algebraic_geometry) dbr:Lagrangian_Grassmannian dbr:Littlewood–Richardson_rule dbr:Chow_variety dbr:Cluster_algebra dbr:Complex_manifold dbr:Complex_projective_space dbr:Standard_basis dbr:Quaternion-Kähler_symmetric_space dbr:Symmetric_space dbr:Matrix_completion dbr:Jumping_line dbr:Quintic_threefold dbr:Alexander_Varchenko dbr:3-manifold dbr:Exterior_algebra dbr:Field_with_one_element dbr:Difference_set dbr:Diffiety dbr:Dionisio_Gallarati dbr:Grand_Tour_(data_visualisation) dbr:Grassmann_bundle dbr:Grassmann_number dbr:Hilbert's_fifteenth_problem dbr:Grassmannian_(disambiguation) dbr:Projective_variety dbr:Hermann_Grassmann dbr:Hilbert_scheme dbr:AWM–Microsoft_Research_Prize_in_Algebra_and_Number_Theory dbr:Affine_Grassmannian_(manifold) dbr:Charles_Ehresmann dbr:Chern_class dbr:Kazhdan–Lusztig_polynomial dbr:Lauren_Williams_(mathematician) dbr:Blackboard_bold dbr:Blade_(geometry) dbr:Blowing_up dbr:Cobordism dbr:Hermitian_symmetric_space dbr:Hodge_algebra dbr:Tautological_bundle dbr:Thomas_Muir_(mathematician) dbr:Moduli_space dbr:Differential_geometry dbr:CW_complex dbr:Plücker_embedding dbr:Classifying_space_for_O(n) dbr:Classifying_space_for_U(n) dbr:Grassman_manifold dbr:Grassmann_manifold dbr:Grassmannian_manifold dbr:Grassmannian_variety dbr:Kähler_manifold dbr:Mikhail_Zelikin dbr:Mikio_Sato dbr:Bruhat_order dbr:Real_projective_space dbr:Young_tableau dbr:Schubert_calculus dbr:Topological_manifold dbr:Satake_isomorphism dbr:Twistor_space dbr:Twistor_string_theory dbr:Twistor_theory dbr:Vector_bundle dbr:Varifold dbr:List_of_things_named_after_Hermann_Grassmann dbr:Norman_Levitt dbr:Flag_(linear_algebra) dbr:N_=_4_supersymmetric_Yang–Mills_theory dbr:Nash_blowing-up dbr:Schubert_variety dbr:Weyl_group dbr:Siteswap dbr:Éléments_de_géométrie_algébrique dbr:Stiefel_manifold dbr:Sectional_curvature |
| is dbp:knownFor of | dbr:Hermann_Grassmann |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Grassmannian |