Topology (original) (raw)

About DBpedia

위상수학(位相數學, 영어: topology)은 연결성이나 연속성 등, 작은 변환에 의존하지 않는 기하학적 성질들을 다루는 수학의 한 분야이다.

thumbnail

Property Value
dbo:abstract في الرياضيات، الطوبولوجيا أو التوبولوجيا (بالإنجليزية: Topology)‏ كلمة يونانية (من topos وتعني مكان أو بنى وlogos تعني دراسة أو علم) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية. تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة ، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا. يمكن القول على سبيل التبسيط أن هذا العلم يهتم بالخصائص الرياضية التي لا تتأثر عند التحول من فضاء رياضي إلى آخر. كذلك يمكن القول أن الطوبولوجيا هو العلم الذي يهتم بدراسة الخصائص الطوبولوجية التي تنتقل من إلى فراغ آخر بواسطة التشاكل. لفهم معنى كلمة التشاكل فإنه يقال عن دالة ما أنها تشكل تشاكلا إذا كانت دالة مستمرة والصورة العكسية لها أيضاً مستمرة وشاملة ومتباينة. (ar) Topologie (z řeckého topos - místo a logos - studie) je obor matematiky, opírající se o velmi obecný výklad pojmu prostor (topologický prostor). Studuje takové vlastnosti útvarů, které se nemění při oboustranně spojitých transformacích („blízké“ body se transformují opět v „blízké“ body). V topologii nezáleží na geometrických vlastnostech, závislých na vzdálenosti, křivosti a podobně. Z hlediska topologie lze například v rovině považovat čtverec a kruh za rovnocenné, ale úsečku a kružnici nikoliv. Podle metod, kterými topologie studuje topologické útvary, se rozlišuje topologie algebraická (též kombinatorická) a . Tento článek pojednává o vědě jménem topologie, která studuje topologické prostory. Pojmem topologie se však také označuje topologická struktura množiny: Je-li topologický prostor, pak se nazývá topologie na množině . (cs) La topologia (del Grec topos, lloc i logos, ciència) és una branca de les matemàtiques que estudia les propietats espacials i les deformacions bicontínues (dues dimensions) de l'espai. Topologia també es refereix a un objecte matemàtic situat en aquesta àrea. En aquest sentit, una topologia és una família de conjunts oberts que contenen des del conjunt buit fins a l'espai ple. Un espai equipat amb topologia és un espai topològic. Algunes propietats importants relacionades amb la topologia són la connectivitat i la compacitat. La topologia es va desenvolupar com una àrea d'estudi a partir de la geometria i la teoria de conjunts, mitjançant anàlisis de conceptes com «espai», «dimensió» i «transformació». Aquestes idees es remunten a Gottfried Leibniz, qui en el segle xvii va introduir la geometria situs (en grecollatí, "geometria de lloc") i analysis situs (en grecollatí, "separar en peces un lloc"). Leonhard Euler és considerat el primer a aconseguir resultats de naturalesa topològica, com el problema dels set ponts de Königsberg, de 1736, i la fórmula dels políedres. El terme topologia fou introduït per Johann Benedict Listing durant el segle xix, encara que no va ser fins a principis del segle xx quan es va desenvolupar la idea d'espai topològic. L'alemany Felix Hausdorff és sovint citat com el pare de la topologia moderna. A mitjans del segle xx, la topologia ja es va convertir en una àrea d'estudi major de les matemàtiques. La topologia té diverses subàrees d'estudi: * La topologia general estableix els aspectes fonamentals de la topologia, i investiga les propietats dels espais topològics i els conceptes inherents als espais topològics. Inclou la topologia fundacional utilitzada en les altres àrees (amb el tractament de conceptes com la connectivitat i la compacitat). * La topologia algebraica té com a objectiu mesurar els graus de connectivitat, emprant construccions algebraiques com l'homologia i l'homotopia. * La topologia diferencial és la disciplina que estudia les funcions diferenciables sobre varietats diferenciables. Està íntimament lligada a la geometria diferencial i, unides, configuren la teoria geomètrica de les varietats diferenciables. * La topologia geomètrica estudia, principalment, les varietats i les seves immersions en altres varietats. Una àrea particularment activa és la , que estudia les varietats de fins a 4 dimensions. Això inclou la teoria de nusos, l'estudi dels nusos matemàtics. (ca) Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να οριστεί μια έννοια κλειστότητας έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά. Είναι, συνεπώς ένα είδος γενικευμένης γεωμετρίας αφού θεωρούμε κι εδώ σχήματα. Δεν μας ενδιαφέρει όμως η διάσταση ή μια γενικευμένη ανάλυση αφού εστιάζουμε στην συνέχεια ή μη κάποιων συναρτήσεων. Αντικείμενο μελέτης της τοπολογίας είναι ο Τοπολογικός Χώρος. Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην μαθηματική ανάλυση, την άλγεβρα και την γεωμετρία. Θεμελιώδεις έννοιες όπως σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα ή συμπάγεια συναντούν στην τοπολογία την καλύτερη τους μορφοποίηση. Η τοπολογία βασίζεται ουσιαστικά στις έννοιες του τοπολογικού χώρου και του ομοιομορφισμού. Με τον όρο τοπολογία δηλώνεται επίσης η συλλογή ανοιχτών συνόλων που ορίζουν έναν τοπολογικό χώρο. Για παράδειγμα, ένας στερεός κύβος και μια στερεή σφαίρα είναι ομοιόμορφα, μπορούμε δηλαδή να παραμορφώσουμε το ένα μέχρι να εξασφαλίσουμε το άλλο χωρίς να κολλήσουμε ή να σχίσουμε οτιδήποτε: δεν είναι όμως δυνατόν για παράδειγμα να παραμορφώσουμε μια σφαίρα σε έναν κύκλο με τον ίδιο τρόπο, επειδή η διάσταση ενός αντικειμένου είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που δεν αλλάζει με τις μεταμορφώσεις. Υπό αυτήν την έννοια, η τοπολογία ερευνά τις βαθύτερες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων. (el) Topologio en matematiko havas du signifojn. Ĝi estas: 1. * matematika strukturo, per kiu oni studas la nociojn de kontinueco, konekseco, kaj konverĝado; kaj 2. * tiu branĉo de matematiko, kiu okupiĝas pri tiuj ĉi nocioj. Kiel matematika strukturo, topologio super aro X estas aro T da subaroj de X, kiu plenumas la jenajn kondiĉojn: 1. * Kaj X kaj la vakua aro troviĝas en T. 2. * La komunaĵo de iu ajn paro da aroj en T troviĝas en T. 3. * La kunaĵo de ajna kolekto da aroj en T troviĝas en T. Tiujn arojn, kiuj troviĝas en T, oni nomas malfermitaj. La komplementojn de la malfermitaj aroj oni nomas fermitaj. La aron X kune kun topologio T super X oni nomas topologia spaco. Funkcion inter du topologiaj spacoj oni nomas kontinua se la inversa bildo de ĉiu malfermita aro estas malfermita. (eo) Die Topologie (griechisch τόπος tópos, deutsch ‚Ort, Platz, Stelle‘ und -logie) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und damit ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der Stetigkeit durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts entstand die Topologie als eine eigenständige Disziplin, die auf Latein geometria situs ‚Geometrie der Lage‘ oder analysis situs (Griechisch-Latein für ‚Analyse des Ortes‘) genannt wurde. Seit Jahrzehnten ist die Topologie als Grundlagendisziplin anerkannt. Dementsprechend kann sie neben der Algebra als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für die Geometrie, die Analysis, die Funktionalanalysis und die Theorie der Lie-Gruppen. Ihrerseits hat sie auch die Mengenlehre und Kategorientheorie befruchtet. Der grundlegende Begriff der Topologie ist der des topologischen Raums, welcher eine weitreichende Abstraktion der Vorstellung von „Nähe“ darstellt und damit weitreichende Verallgemeinerungen mathematischer Konzepte wie Stetigkeit und Grenzwert erlaubt. Viele mathematische Strukturen lassen sich als topologische Räume auffassen. Topologische Eigenschaften einer Struktur werden solche genannt, die nur von der Struktur des zugrundeliegenden topologischen Raumes abhängen. Dies sind solche Eigenschaften, die durch „Verformungen“ oder durch Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört in anschaulichen Fällen das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren und Verdrillen einer geometrischen Figur. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Würfel aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind homöomorph.Ebenso sind ein Donut (dessen Form in der Mathematik als Volltorus bezeichnet wird) und eine einhenkelige Tasse homöomorph, da eine in die andere ohne Schnitt transformiert werden kann (siehe Animation rechts). Dagegen ist die Oberfläche des Torus von der Kugelfläche topologisch verschieden: Auf der Kugel lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt zusammenziehen (die anschauliche Sprache lässt sich präzisieren), auf dem Torus nicht jede. Die Topologie gliedert sich in Teilgebiete. Hierzu zählen die algebraische Topologie, die geometrische Topologie sowie die topologische Graphen- und die Knotentheorie. Die mengentheoretische Topologie kann als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werden. In dieser werden insbesondere auch topologische Räume betrachtet, deren Eigenschaften sich besonders weit von denen geometrischer Figuren unterscheiden. Ein wichtiger Begriff der Topologie ist die Stetigkeit. Stetige Abbildungen entsprechen in der Topologie dem, was man in anderen mathematischen Kategorien meist Homomorphismen nennt. Eine umkehrbare, in beiden Richtungen stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt ein Homöomorphismus und entspricht dem, was in anderen Kategorien meist Isomorphismus heißt: Homöomorphe Räume sind mit topologischen Mitteln nicht zu unterscheiden. Ein grundlegendes Problem dieser Disziplin ist es, zu entscheiden, ob zwei Räume homöomorph sind, oder allgemeiner, ob stetige Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften existieren. (de) Topologia (Grekotik topos, "lekua", eta logos, "zientzia" edo "estudioa") matematikaren atal bat da, espazio topologikoak aztertzen dituena. Beraz, topologiak objektu geometrikoen propietate kualitatiboak aztertzen ditu, hau da, deformazio aldatzen ez diren propietateak. Topologia hitza erabiltzen da ikasketen arlo hori deskribatzeko zein multzoen (multzo irekiak) familia bat izendatzeko, teoriaren oinarrizko kontzeptua (espazio topologikoa) definitzeko erabiltzen direnak. Espazio topologikoaren nozioa oinarrizkoa da gaur egungo matematikan, eta matematikaren adar oso ezberdinen arteko lotura da. Baina topologia bera matematikaren adar oso zabala da. Hiru arlo nagusi ditu: * Topologia orokorra: topologiako arlo guztien oinarria da. Espazio topologikoetatik eta haien gainean definitutako oinarrizko nozioetatik abiatuz, eta aztertzen ditu, besteak beste. Horrez gain, topologia orokorrean espazio topologikoen arteko aplikazioak sailkatzen dira jarraitutasuna, , eta antzeko nozioak erabiliz; * : arlo honetan, aljebra abstraktuaren tresnak erabiltzen dira espazio topologikoak aztertzeko. Adibide bat oinarrizko taldea da, espazio topologiko bidez konexu bakoitzari talde bat lotzen diona. Homotopia, homologia eta antzeko nozioak aztertzen ditu; * : era konkretu bateko espazio topologikoen propietateak aztertzen ditu: . Geometria diferentzialaren arlo auzokidea da. Teoria honen aplikazioen artean, , eta ditugu.. Espazio topologikoen estudioan bereziki garrantzitsuak dira Homeomorfismoak, bere espazioko "egitura topologikoa" gordetzen duten funtzioak. Hortaz, bi espazioen artean homeomorfismo bat existitzen bada, orduan espazio horiek bereizezinak dira. (eu) La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de la matemática dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.​ Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros. Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—. (es) Réimse den mhatamaitic a phléann le cruthanna is spásanna agus a n-airíonna. Mar shampla, déantar staidéar ar na céimeanna is gá chun cruth amháin a athrú i gcruth eile, agus uaidh sin déantar an dá chruth sin a shainiú is a idirdhealú. Is léarscáil thoipeolaíoch í an ghnáthléarscáil d'Iarnród Faoi Thalamh Londan, a léiríonn na línte go léir idir na stáisiúin ach nach bhfuil de réir scála. Tagann teoiric na snaidhmeanna isteach san ábhar seo, agus is mór an chabhair í d'fhisiceoirí is bitheolaithe móilíneacha, ag iarraidh cruth, leagan amach is feidhmiú móilíní de shaghas na bpróitéiní, na n-einsímí, DNA, is na ngéinte ar na crómasóim a thuiscint. Tháinig an t-ábhar go mór chun cinn sa 20ú céad chun na feidhmeanna a d'fhéadfadh a shainmhíniú ar spás ar leith a chinntiú, agus spásanna eile a aimsiú a chuimseodh an chéad spás. Baintear feidhm aisti i matamaitic fheidhmeach chun airíonna bunúsacha damhna is córais dhinimiciúla a mhíniú. Luaitear an focal céanna chun cur síos ar chruth tírdhreiche. (ga) Topologi (dari bahasa Yunani τόπος, "tempat", dan λόγος, "ilmu") merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Karena sifat ini, topologi disebut pula geometri karet. Ia muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi. Ide yang sekarang diklasifikasikan kedalam topologi telah dinyatakan semenjak 1736, dan pada akhir abad ke-19 sebuah ilmu yang jelas terpisah dikembangkan. Ilmu ini disebut dalam bahasa Latin sebagai geometria situs ( "geometri dari tempat") atau analisis situs (Yunani-Latin untuk "pengkajian tempat "), dan kemudian memperoleh nama mutakhir topologi. Di tengah-tengah abad ke-20, topologi telah menjadi salah satu cabang utama matematika. Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga himpunan dengan beberapa sifat yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi. Beberapa yang penting adalah homeomorfisme yang dapat didefinisikan sebagai fungsi malar dengan balikan malar pula. Misalnya, fungsi y = 3x adalah homeomorfisme dari garis bilangan real ke dirinya sendiri. Topologi mencakup banyak subbidang. Bagian yang paling mendasar dan tradisional dalam topologi adalah: * Topologi titik-himpunan, yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi - contoh dasar adalah kekompakan dan keterhubungan. * Topologi aljabar, yang umumnya mencoba untuk mengukur tingkat kesinambungan menggunakan konstruksi aljabar seperti kelompok homotopi, homologi * yang terutamanya mengkaji keragaman dan pembenamannya di keragaman lainnya. Beberapa bidang yang paling aktif, seperti topologi dimensi rendah dan teori grafik, tidak muat dengan rapi dalam pembagian ini. (in) La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre. Par exemple, on identifie le cercle et l’ellipse, la couronne et la paroi latérale d’un cylindre de révolution, une tasse et un tore (voir animation) ; c’est-à-dire qu’ils sont respectivement homéomorphes. En topologie, on étudie des espaces topologiques : ce sont des ensembles munis d’une notion de voisinage autour de chaque point. Les applications continues entre ces espaces préservent cette notion. La définition du voisinage est parfois induite par une distance entre les points, ce qui donne une structure d’espace métrique. C’est le cas notamment de la droite réelle, du plan, de l’espace tridimensionnel ou plus généralement d’un espace euclidien, et de leurs sous-ensemble comme le cercle, la sphère, le tore et d’autres variétés riemanniennes. Dans un espace topologique, la notion locale de voisinage peut être remplacée par la notion globale d’ouvert, qui est un voisinage de chacun de ses points. L’ensemble des ouverts est également appelé « topologie ». Cette topologie peut être compatible avec une structure algébrique, d’où la définition de groupe topologique et d’espace vectoriel topologique, en particulier en analyse fonctionnelle. La topologie générale définit les notions et constructions usuelles d’espaces topologiques. La topologie algébrique associe à chaque espace topologique des invariants algébriques comme des nombres, des groupes, des modules ou des anneaux qui permettent de les distinguer, en particulier dans le cadre de la théorie des nœuds. La topologie différentielle se restreint à l’étude des variétés différentielles, dans lesquelles chaque point admet un voisinage homéomorphe à une boule de dimension finie. (fr) In mathematics, topology (from the Greek words τόπος, 'place, location', and λόγος, 'study') is concerned with the properties of a geometric object that are preserved under continuous deformations, such as stretching, twisting, crumpling, and bending; that is, without closing holes, opening holes, tearing, gluing, or passing through itself. A topological space is a set endowed with a structure, called a topology, which allows defining continuous deformation of subspaces, and, more generally, all kinds of continuity. Euclidean spaces, and, more generally, metric spaces are examples of a topological space, as any distance or metric defines a topology. The deformations that are considered in topology are homeomorphisms and homotopies. A property that is invariant under such deformations is a topological property. Basic examples of topological properties are: the dimension, which allows distinguishing between a line and a surface; compactness, which allows distinguishing between a line and a circle; connectedness, which allows distinguishing a circle from two non-intersecting circles. The ideas underlying topology go back to Gottfried Leibniz, who in the 17th century envisioned the geometria situs and analysis situs. Leonhard Euler's Seven Bridges of Königsberg problem and polyhedron formula are arguably the field's first theorems. The term topology was introduced by Johann Benedict Listing in the 19th century, although it was not until the first decades of the 20th century that the idea of a topological space was developed. (en) 위상수학(位相數學, 영어: topology)은 연결성이나 연속성 등, 작은 변환에 의존하지 않는 기하학적 성질들을 다루는 수학의 한 분야이다. (ko) La topologia (dal greco τόπος, tópos, "luogo", e λόγος, lógos, "studio", col significato quindi di "studio dei luoghi") è una branca della matematica che studia le proprietà delle figure e, in generale, degli oggetti matematici, che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". È una delle più importanti branche della matematica moderna. Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione. Si basa essenzialmente sui concetti di spazio topologico, funzione continua e omeomorfismo. Col termine topologia si indica anche la collezione di aperti che definisce uno spazio topologico. Per esempio, un cubo e una sfera sono oggetti topologicamente equivalenti (cioè omeomorfi), perché possono essere deformati l'uno nell'altro senza ricorrere ad alcuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e un toro invece non lo sono, perché il toro contiene un "buco" che non può essere eliminato da una deformazione. (it) Topologie (Oudgrieks topos (τόπος), "plaats," en logos (λόγος), "studie") is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van de ruimte die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De topologie is een uitgroeisel van de meetkunde, maar anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte is samengesteld, zoals samenhang en oriëntatie. Het woord topologie wordt zowel gebruikt om het studiegebied zelf aan te duiden, als voor de familie van verzamelingen die bepaalde eigenschappen beschrijft die worden gebruikt om een topologische ruimte te definiëren (het basisobject van de topologie). Van bijzonder belang in de studie van de topologie zijn de vervormingen die homeomorfismen worden genoemd. Informeel kunnen deze functies worden gezien als functies die de ruimte uitrekken zonder deze echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken. Een meer abstracte notie van een vervorming is een homotopische equivalentie, een begrip dat ook een fundamentele rol speelt. Toen de discipline aan het eind van de 19e eeuw ontstond, noemde men de topologie aanvankelijk geometria situs (Latijn: meetkunde van plaats) en analysis situs (Latijn: analyse van plaats). Topologie is intussen een grote tak van de wiskunde, die op zijn beurt weer vele deelgebieden kent. Van ongeveer 1925 tot 1975 kende de topologie een bloeiperiode en was zij een belangrijk groeigebied in de wiskunde. De meest basale en traditionele verdeling binnen de topologie is de driedeling tussen * de , die de fundamenten van de topologie neerzet en concepten zoals compactheid en samenhangendheid onderzoekt; * de algebraïsche topologie, die algemeen gesteld probeert om de graden van samenhang te meten, en die daar gebruikmaakt van algebraïsche constructies, zoals homotopiegroepen en homologie en ten slotte * de meetkundige topologie, die in de eerste plaats variëteiten en hun inbedding in andere variëteiten bestudeert. Opgemerkt dient echter te worden dat sommige van de meest actieve gebieden, zoals laag-dimensionale topologie, niet goed in deze opdeling passen. In allerlei andere deelgebieden van de wiskunde, zoals analyse, meetkunde en algebra, wordt veelvuldig gebruikgemaakt van ideeën en stellingen uit de topologie. De Nederlandse wiskundige Luitzen Egbertus Jan Brouwer heeft in de beginperiode van de topologie belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van het vakgebied. (nl) Topologia (gr. τόπος (tópos), miejsce, okolica; λόγος (lógos), słowo, nauka) – dział matematyki wyższej zajmujący się badaniem przestrzeni topologicznych, czyli najogólniejszych przestrzeni, dla których można zdefiniować pojęcie przekształcenia ciągłego. Topologia bada zwłaszcza własności zachowywane przez homeomorfizmy – np. orientowalność powierzchni, genus („liczbę otworów”), istnienie (niepustego) brzegu i jego podstawowe cechy. Właściwości tego typu są nazywane niezmiennikami topologicznymi. Nieformalnie mawia się, że własności topologiczne nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów, np. figur geometrycznych jak bryły i ich odpowiedniki o innej liczbie wymiarów. Przez deformowanie rozumie się tutaj dowolne odkształcanie – jak zginanie, rozciąganie czy skręcanie – ale bez rozrywania różnych części lub zlepiania różnych punktów. Proces deformacji można wyobrazić sobie, przyjmując, że obiekt wykonano z gumy. Pod tym kątem można analizować między innymi obiekty geometryczne jak przestrzenie euklidesowe, inne rozmaitości i ich podzbiory, a topologia wyrosła właśnie z geometrii i bywała określana jako teoria umiejscowienia (łac. analysis situs). Mimo to w ogólności nie posługuje się ona pojęciami ilościowymi jak odległość czy miara kąta; nie uwzględnia nawet niektórych jakościowych relacji geometrycznych jak równoległość prostych. Taki minimalizm umożliwił uściślenie pojęć o geometrycznym rodowodzie jak krzywa czy abstrakcyjny wymiar zbioru, bez odwoływania się do algebry liniowej czy teorii miary. Topologia wkroczyła też w różne dziedziny matematyki odległe od jej korzeni. Przykładem jest analiza funkcjonalna – intuicyjne pojęcie spójności można uogólnić m.in. na przestrzenie funkcyjne jak te Hilberta, Banacha czy jeszcze ogólniejsze przestrzenie liniowo-topologiczne, które stały się definiującym tematem tego działu matematyki. Metody topologiczne zastosowano nawet w teorii liczb. Geneza topologii, zwłaszcza rozumianej potocznie, bywa wiązana z XVIII-wiecznymi początkami teorii grafów w pracach Leonharda Eulera. Mimo to topologia sensu stricto wyrosła w II połowie XIX wieku, na pograniczu geometrii, analizy i teorii mnogości. Została nazwana przez Johanna Listinga w 1847 roku, a ogólny obszar badań tej dziedziny – czyli przestrzeń topologiczną – zdefniowano na początku XX wieku, w pracach Feliksa Hausdorffa i Kazimierza Kuratowskiego. Od tego czasu wykształciły się całe zróżnicowane gałęzie tej nauki – oprócz topologii ogólnej i mnogościowej powstały między innymi topologia algebraiczna, różniczkowa i . Badają one różne szczególne klasy przestrzeni topologicznych, niezmienniki specjalnych typów homeomorfizmów – jak np. dyfeomorfizmy – i czerpią przy tym z różnych działów matematyki, zwłaszcza teorii grup. Osobną, owocną dyscypliną stała się też teoria węzłów, bliska korzeniom topologii w jakościowej stereometrii (trójwymiarowej geometrii euklidesowej). Topologia była jednym z głównych obszarów badań warszawskiej szkoły matematycznej, a osiągnięcia Polaków w tej dziedzinie upamiętniono m.in. nazwą przestrzeni polskiej. Prace Samuela Eilenberga w topologii algebraicznej przyczyniły się do powstania teorii kategorii; wiązanej głównie z algebrą i odgrywającej dużą rolę w różnych obszarach matematyki oraz poza nią. Pytania postawione przez topologię uznano za doniosłe. W 2000 roku hipotezę Poincarégo w topologii algebraicznej umieszczono na liście siedmiu problemów milenijnych, a rozwiązanie jej przez Grigorija Perelmana nagrodzono dodatkowo (odrzuconym przez laureata) Medalem Fieldsa. Już wcześniej odznaczano tym medalem badania nad tą hipotezą, m.in. przez Stephena Smale’a, Michaela Freedmana i Williama Thurstona. Wybitne postępy w topologii nagradzano też innymi najwyższymi zaszczytami dostępnymi matematykom jak Nagroda Abela i Medal Copleya. Topologia wywiera też bezpośredni wpływ na rozmaite kierunki fizyki teoretycznej – teorię cząstek elementarnych (np. teorię strun), informatykę kwantową, biofizykę molekularną czy fizykę materii skondensowanej; przykładowo była wprost wspomniana w uzasadnieniu Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki za 2016 rok. Pojęcia i wyniki topologiczne mają też znaczenie dla kosmologii – otwartym pozostaje pytanie o kształt Wszechświata; rozważano modele o różnych, czasem nietrywialnych ułożeniach czasoprzestrzeni. (pl) 数学の一分野、位相幾何学(いそうきかがく、英: topology, トポロジー)は、その名称がギリシア語: τόπος(「位置」「場所」)と λόγος(「言葉」「学問」) に由来し、図形を構成する点の連続的位置関係のみに着目する幾何学で「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形(かたち。あるいは「空間」)を連続変形(伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと)しても保たれる性質(位相的性質または位相不変量)に焦点を当てたものである。位相的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる。 位相幾何学は、空間、次元、変換といった概念の研究を通じて、幾何学および集合論から生じた分野である。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」(羅: geometria situs)および「位置の解析」(羅: analysis situs)を見越したゴットフリート・ライプニッツにまで遡れる。レオンハルト・オイラーの「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題および多面体公式がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。用語 topology は19世紀にによって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 位相幾何学には様々な分科が存在する。 * 位相空間論 (General topology) は位相の基礎となる側面を確立し、位相空間の性質を研究し、位相空間特有の概念について研究する。別の言い方をすると、「与えられた集合を位相空間とするような開集合に関して研究する」分野である。これには他のあらゆる分野で用いられる基本的な位相的概念(コンパクト性や連結性などの話題を含む)を扱う点集合位相 (point-set topology) も含まれる。 * 代数的位相幾何学は、ホモロジー群やホモトピー群などの代数的構成を用いて連結性の度合いを測ることを試みる。 * 微分位相幾何学は可微分多様体上の可微分写像を扱う分野である。微分幾何学とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。 * 幾何学的位相幾何学は主として多様体およびそれらの別の多様体への埋め込みについて研究する。特に活発なのが、四次元(以下)の多様体について調べる低次元位相幾何学であり、これには結び目について研究する結び目理論も含まれる。 (ja) Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria. A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos) utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico. A Topologia é uma área muito ampla, com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é: * Topologia Geral, que investiga conceitos como compacidade, conexidade, separabilidade; * Topologia algébrica, que investiga conceitos como homotopia e homologia; * Topologia geométrica, que estuda as variedades e suas aplicações, fibrados incluindo a teoria dos nós. Particularmente importantes no estudo dos espaços topológicos são as funções conhecidas como homeomorfismos. Trata-se de funções que preservam a "estrutura topológica" do seu espaço. Assim, se entre dois espaços existe um homeomorfismo, então esses espaços são topologicamente indistinguíveis. (pt) Topologi från grekiskans τόπος ("topos": plats, ställe) och λόγος ("logos": lära), är en gren inom den moderna matematiken. Det är en form av geometri där endast formen på objekten, och inte några avstånd, betraktas. En topologi beskriver ett antal volymers fysiska form och formen på deras gemensamma rum såsom de gemensamma resulterande öppningarna och överbryggningarna. En topologisk beskrivning kan till exempel vara ett schema över hållplatserna för kollektivtrafik som inte tar hänsyn till avstånden. Topologi är viktigt för att avgöra logistik då man adderar anläggningar av industrikomplex i flera plan och i många byggnader. Topologi används också då man anlägger datanätverk och väljer hur datorerna skall kopplas samman i förhållande till varandra i nätverk. Topologi föddes i början av 1900-talet och är därför ett relativt nytt område inom matematiken. Den har visat sig mycket användbar och tillämpas idag inom andra grenar av matematik såsom analys och algebra, såväl som inom andra vetenskaper som till exempel fysik och genetik. I geografiska databaser är topologi en förutsättning för att kunna göra vissa GIS-analyser, såsom närmaste väg mellan två noder, se vilka objekt som finns intill varandra osv. Topologin generaliserar begreppen kontinuerlig funktion och öppen mängd. Den introduceras ofta genom att först definiera "topologiska rum", sedan "kontinuerliga funktioner" mellan dessa rum. Därefter studerar man olika "topologiska egenskaper" hos dessa. Se definitioner nedan. (sv) Тополо́гія (грец. τόπος — місце, logos — наука) — розділ математики, який наближений до геометрії.У той час як алгебра починається з розглядання операцій, геометрія — фігур, а математичний аналіз — функцій; найфундаментальніше поняття топології — неперервність. (uk) Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий: * в самом общем виде — явление непрерывности; * в частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость, компактность. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии кружка с ручкой и бублик (полноторий) неотличимы. Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (упрощённо: это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний). (ru) 在數學裡,拓撲學(英語:Topology)也可寫成拓樸學,或意譯為位相幾何學,是一門研究拓撲空間的學科,主要研究空間內,在連續變化下維持不變的性質。在拓撲學裡,重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科,研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲,他在17世紀提出「位置的幾何學」(geometria situs)和「位相分析」(analysis situs)的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出,雖然直到20世紀初,拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉,拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域: * 一般拓撲學建立拓撲的基礎,並研究拓撲空間的性質,以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學,被用於其他數學領域(如緊緻性與連通性等主題)之中。 * 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。 * 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數,與微分幾何密切相關,並一齊組成微分流形的幾何理論。 * 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」,研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」,研究數學上的紐結。 (zh)
dbo:thumbnail wiki-commons:Special:FilePath/Möbius_strip.jpg?width=300
dbo:wikiPageExternalLink http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html http://www.geom.uiuc.edu/zoo/ https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-2972-8_1 http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html http://at.yorku.ca/i/a/a/b/23.htm http://at.yorku.ca/index.html https://archive.org/details/mbiusstripdrau00pick https://web.archive.org/web/20090713073050/http:/www.ornl.gov/sci/ortep/topology/defs.txt
dbo:wikiPageID 29954 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength 38690 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID 1123784828 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink dbr:Calculus dbr:Projective_plane dbr:Quantum_Hall_effect dbr:Quantum_field_theory dbr:Robot dbr:Samson_Abramsky dbr:Sans-serif dbr:Electrophoresis dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:List_of_examples_in_general_topology dbr:List_of_general_topology_topics dbr:Cross-cap dbr:Spacetime_topology dbr:Euler's_polyhedron_formula dbr:Topological_dimension dbr:Topology_glossary dbr:Bernhard_Riemann dbr:Deformation_theory dbr:Dennis_Sullivan dbr:Algebraic_topology dbr:Homeomorphic dbr:Homotopy_equivalence dbr:Betti_number dbr:Vaughan_Jones dbr:Vector_field dbr:Vector_space dbr:Vito_Volterra dbr:Polyhedron dbr:List_of_geometric_topology_topics dbr:Topological_invariant dbr:Compactness dbr:Complex_plane dbr:Continuous_function dbr:Analysis_Situs_(paper) dbr:Mathematics dbr:Maxim_Kontsevich dbr:Genotype dbr:Mathematical_object dbr:Nature_(journal) dbr:Topological_order dbr:Smooth_structure dbr:Persistent_homology dbr:Topological_property dbr:Circle dbr:Edward_Witten dbr:English_alphabet dbr:Enrico_Betti dbr:Function_(mathematics) dbr:Geometrization_conjecture dbr:Georg_Cantor dbr:Giulio_Ascoli dbr:Greek_language dbr:Braggadocio_(typeface) dbr:Moduli_spaces dbr:Molecules dbr:Condensed_matter_physics dbr:Configuration_space_(physics) dbr:Conformal_geometry dbr:Connectedness dbr:Contact_mechanics dbr:Crumpling dbr:Equivariant_topology dbr:Lemniscate dbr:Leonhard_Euler dbr:Line_(geometry) dbr:Ludwig_Schläfli dbr:Calabi–Yau_manifold dbr:Simon_Donaldson dbr:String_theory dbr:Clopen_set dbr:Closure_(mathematics) dbr:Complex_geometry dbr:Compressive_strength dbr:Fundamental_group dbr:Hairy_ball_theorem dbr:Plane_(geometry) dbr:Pointless_topology dbr:Stencil dbr:Steve_Vickers_(computer_scientist) dbr:Surface_(topology) dbr:Topological_data_analysis dbr:Materials_science dbr:Augustin-Louis_Cauchy dbr:Cesare_Arzelà dbr:Topology_(structure) dbr:Torus dbr:Typography dbr:Wacław_Sierpiński dbr:Domain_theory dbr:Hausdorff_space dbr:Joint dbr:Lattice_(order) dbr:Local_flatness dbr:Algebra dbc:Mathematical_structures dbc:Topology dbr:Curvature dbr:Duncan_Haldane dbr:Euclidean_space dbr:Eulerian_path dbr:Felix_Hausdorff dbr:Fields_Medal dbr:Fourier_series dbr:Fractal_dimension dbr:Nicolas_Bourbaki dbr:Disentanglement_puzzle dbr:Family_of_sets dbr:Graph_theory dbr:Handle_decomposition dbr:Knot_theory dbr:Physical_cosmology dbr:Simplicial_complex dbr:Ryszard_Engelking dbr:Gottfried_Leibniz dbr:Hassler_Whitney dbr:Henri_Poincaré dbr:Heyting_algebra dbr:Jacques_Hadamard dbr:Covering_space dbr:Cowlick dbr:Abel_Prize dbr:Characterizations_of_the_category_of_topological_spaces dbr:Johann_Benedict_Listing dbr:Kaliningrad dbr:Kazimierz_Kuratowski dbr:Surface_(mathematics) dbr:Surgery_theory dbr:Surjective_function dbr:Cohomology dbr:Homeomorphism dbr:Homology_(mathematics) dbr:Homotopy dbr:Homotopy_group dbr:Differentiable_function dbr:Differentiable_manifold dbr:Differential_geometry dbr:Manifold dbr:Boolean_algebra_(structure) dbr:Phenotype dbr:Pi-system dbr:Sphere dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Circuit_topology dbr:Classification_theorem dbr:Free_group dbr:Continuity_(mathematics) dbr:Grothendieck_topology dbr:Injective_function dbr:Klein_bottle dbr:Metric_space dbr:Neighborhood_(mathematics) dbr:Orientability dbr:Cantor_set dbr:Category_theory dbr:Real_number dbr:Semidecidable dbr:Set_(mathematics) dbr:Shape_of_the_universe dbr:Mechanical_engineering dbr:Orientable_manifold dbr:Real_projective_plane dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Twist_(mathematics) dbr:Uniformization_theorem dbr:Up_to dbr:Topological_Galois_theory dbr:Euler_characteristic dbr:List_of_topology_topics dbr:Seven_Bridges_of_Königsberg dbr:Metric_(mathematics) dbr:Evolutionary_biology dbr:Exercise_(mathematics) dbr:Characteristic_classes dbr:Motion_planning dbr:Real_line dbr:Topoisomer dbr:Topological_space dbr:Topological_quantum_field_theory dbr:Subset dbr:The_Geometry_Center dbr:Topological_geometry dbr:Stretch_factor dbr:Jordan-Schönflies_theorem dbr:Riemannian_curvature dbr:File:Konigsberg_bridges.png dbr:Van_Kampen's_theorem dbr:List_of_publications_in_mathematics dbr:Orbit_space dbr:Set_intersection dbr:Set_union dbr:Four-manifold dbr:Point-set_topology dbr:Maurice_Fréchet dbr:Myriad_(font) dbr:Programming_language_semantics dbr:Genus_(topology) dbr:Compact_(topology) dbr:File:Trefoil_knot_arb.png dbr:File:Möbius_strip.jpg dbr:File:Alphabet_homeo.png dbr:File:Alphabet_homotopy.png dbr:File:Topology_joke.jpg dbr:Michael_B._Smyth dbr:Wikt:τόπος
dbp:footer A continuous deformation of a mug into a doughnut and of a cow into a sphere (en)
dbp:id p/t093200 (en)
dbp:image Mug and Torus morph.gif (en) Spot the cow.gif (en)
dbp:title Topology, general (en)
dbp:width 200 (xsd:integer)
dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Springer dbt:! dbt:Anchor dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Colend dbt:Commons dbt:Curlie dbt:Distinguish dbt:Em dbt:Lang-grc dbt:Main dbt:Math dbt:Multiple_image dbt:Mvar dbt:Other_uses dbt:Pi dbt:Portal dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Use_dmy_dates dbt:Wikibooks dbt:Wikiquote dbt:Isbn dbt:Areas_of_mathematics dbt:Topology dbt:Cols
dcterms:subject dbc:Mathematical_structures dbc:Topology
rdf:type owl:Thing
rdfs:comment 위상수학(位相數學, 영어: topology)은 연결성이나 연속성 등, 작은 변환에 의존하지 않는 기하학적 성질들을 다루는 수학의 한 분야이다. (ko) Тополо́гія (грец. τόπος — місце, logos — наука) — розділ математики, який наближений до геометрії.У той час як алгебра починається з розглядання операцій, геометрія — фігур, а математичний аналіз — функцій; найфундаментальніше поняття топології — неперервність. (uk) 在數學裡,拓撲學(英語:Topology)也可寫成拓樸學,或意譯為位相幾何學,是一門研究拓撲空間的學科,主要研究空間內,在連續變化下維持不變的性質。在拓撲學裡,重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科,研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲,他在17世紀提出「位置的幾何學」(geometria situs)和「位相分析」(analysis situs)的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出,雖然直到20世紀初,拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉,拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域: * 一般拓撲學建立拓撲的基礎,並研究拓撲空間的性質,以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學,被用於其他數學領域(如緊緻性與連通性等主題)之中。 * 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。 * 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數,與微分幾何密切相關,並一齊組成微分流形的幾何理論。 * 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」,研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」,研究數學上的紐結。 (zh) في الرياضيات، الطوبولوجيا أو التوبولوجيا (بالإنجليزية: Topology)‏ كلمة يونانية (من topos وتعني مكان أو بنى وlogos تعني دراسة أو علم) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية. تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة ، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا. (ar) La topologia (del Grec topos, lloc i logos, ciència) és una branca de les matemàtiques que estudia les propietats espacials i les deformacions bicontínues (dues dimensions) de l'espai. Topologia també es refereix a un objecte matemàtic situat en aquesta àrea. En aquest sentit, una topologia és una família de conjunts oberts que contenen des del conjunt buit fins a l'espai ple. Un espai equipat amb topologia és un espai topològic. Algunes propietats importants relacionades amb la topologia són la connectivitat i la compacitat. La topologia té diverses subàrees d'estudi: (ca) Topologie (z řeckého topos - místo a logos - studie) je obor matematiky, opírající se o velmi obecný výklad pojmu prostor (topologický prostor). Studuje takové vlastnosti útvarů, které se nemění při oboustranně spojitých transformacích („blízké“ body se transformují opět v „blízké“ body). Tento článek pojednává o vědě jménem topologie, která studuje topologické prostory. Pojmem topologie se však také označuje topologická struktura množiny: Je-li topologický prostor, pak se nazývá topologie na množině . (cs) Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να οριστεί μια έννοια κλειστότητας έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά. Είναι, συνεπώς ένα είδος γενικευμένης γεωμετρίας αφού θεωρούμε κι εδώ σχήματα. Δεν μας ενδιαφέρει όμως η διάσταση ή μια γενικευμένη ανάλυση αφού εστιάζουμε στην συνέχεια ή μη κάποιων συναρτήσεων. Αντικείμενο μελέτης της τοπολογίας είναι ο Τοπολογικός Χώρος. Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην μαθηματική ανάλυση, την άλγεβρα και την γεωμετρία. (el) Topologio en matematiko havas du signifojn. Ĝi estas: 1. * matematika strukturo, per kiu oni studas la nociojn de kontinueco, konekseco, kaj konverĝado; kaj 2. * tiu branĉo de matematiko, kiu okupiĝas pri tiuj ĉi nocioj. Kiel matematika strukturo, topologio super aro X estas aro T da subaroj de X, kiu plenumas la jenajn kondiĉojn: 1. * Kaj X kaj la vakua aro troviĝas en T. 2. * La komunaĵo de iu ajn paro da aroj en T troviĝas en T. 3. * La kunaĵo de ajna kolekto da aroj en T troviĝas en T. (eo) Die Topologie (griechisch τόπος tópos, deutsch ‚Ort, Platz, Stelle‘ und -logie) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und damit ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der Stetigkeit durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor. (de) Topologia (Grekotik topos, "lekua", eta logos, "zientzia" edo "estudioa") matematikaren atal bat da, espazio topologikoak aztertzen dituena. Beraz, topologiak objektu geometrikoen propietate kualitatiboak aztertzen ditu, hau da, deformazio aldatzen ez diren propietateak. Topologia hitza erabiltzen da ikasketen arlo hori deskribatzeko zein multzoen (multzo irekiak) familia bat izendatzeko, teoriaren oinarrizko kontzeptua (espazio topologikoa) definitzeko erabiltzen direnak. (eu) La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de la matemática dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.​ Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros. (es) Réimse den mhatamaitic a phléann le cruthanna is spásanna agus a n-airíonna. Mar shampla, déantar staidéar ar na céimeanna is gá chun cruth amháin a athrú i gcruth eile, agus uaidh sin déantar an dá chruth sin a shainiú is a idirdhealú. Is léarscáil thoipeolaíoch í an ghnáthléarscáil d'Iarnród Faoi Thalamh Londan, a léiríonn na línte go léir idir na stáisiúin ach nach bhfuil de réir scála. Tagann teoiric na snaidhmeanna isteach san ábhar seo, agus is mór an chabhair í d'fhisiceoirí is bitheolaithe móilíneacha, ag iarraidh cruth, leagan amach is feidhmiú móilíní de shaghas na bpróitéiní, na n-einsímí, DNA, is na ngéinte ar na crómasóim a thuiscint. Tháinig an t-ábhar go mór chun cinn sa 20ú céad chun na feidhmeanna a d'fhéadfadh a shainmhíniú ar spás ar leith a chinntiú, agus spásanna eile (ga) Topologi (dari bahasa Yunani τόπος, "tempat", dan λόγος, "ilmu") merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Karena sifat ini, topologi disebut pula geometri karet. Ia muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi. (in) In mathematics, topology (from the Greek words τόπος, 'place, location', and λόγος, 'study') is concerned with the properties of a geometric object that are preserved under continuous deformations, such as stretching, twisting, crumpling, and bending; that is, without closing holes, opening holes, tearing, gluing, or passing through itself. (en) La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre. Par exemple, on identifie le cercle et l’ellipse, la couronne et la paroi latérale d’un cylindre de révolution, une tasse et un tore (voir animation) ; c’est-à-dire qu’ils sont respectivement homéomorphes. (fr) 数学の一分野、位相幾何学(いそうきかがく、英: topology, トポロジー)は、その名称がギリシア語: τόπος(「位置」「場所」)と λόγος(「言葉」「学問」) に由来し、図形を構成する点の連続的位置関係のみに着目する幾何学で「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形(かたち。あるいは「空間」)を連続変形(伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと)しても保たれる性質(位相的性質または位相不変量)に焦点を当てたものである。位相的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる。 位相幾何学は、空間、次元、変換といった概念の研究を通じて、幾何学および集合論から生じた分野である。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」(羅: geometria situs)および「位置の解析」(羅: analysis situs)を見越したゴットフリート・ライプニッツにまで遡れる。レオンハルト・オイラーの「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題および多面体公式がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。用語 topology は19世紀にによって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 (ja) La topologia (dal greco τόπος, tópos, "luogo", e λόγος, lógos, "studio", col significato quindi di "studio dei luoghi") è una branca della matematica che studia le proprietà delle figure e, in generale, degli oggetti matematici, che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". (it) Topologie (Oudgrieks topos (τόπος), "plaats," en logos (λόγος), "studie") is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van de ruimte die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De topologie is een uitgroeisel van de meetkunde, maar anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte is samengesteld, zoals samenhang en oriëntatie. (nl) Topologia (gr. τόπος (tópos), miejsce, okolica; λόγος (lógos), słowo, nauka) – dział matematyki wyższej zajmujący się badaniem przestrzeni topologicznych, czyli najogólniejszych przestrzeni, dla których można zdefiniować pojęcie przekształcenia ciągłego. Topologia bada zwłaszcza własności zachowywane przez homeomorfizmy – np. orientowalność powierzchni, genus („liczbę otworów”), istnienie (niepustego) brzegu i jego podstawowe cechy. Właściwości tego typu są nazywane niezmiennikami topologicznymi. (pl) Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria. A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos) utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico. A Topologia é uma área muito ampla, com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é: (pt) Topologi från grekiskans τόπος ("topos": plats, ställe) och λόγος ("logos": lära), är en gren inom den moderna matematiken. Det är en form av geometri där endast formen på objekten, och inte några avstånd, betraktas. Topologi föddes i början av 1900-talet och är därför ett relativt nytt område inom matematiken. Den har visat sig mycket användbar och tillämpas idag inom andra grenar av matematik såsom analys och algebra, såväl som inom andra vetenskaper som till exempel fysik och genetik. (sv) Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий: * в самом общем виде — явление непрерывности; * в частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость, компактность. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии кружка с ручкой и бублик (полноторий) неотличимы. (ru)
rdfs:label Topology (en) طوبولوجيا (ar) Topologia (ca) Topologie (cs) Topologie (Mathematik) (de) Τοπολογία (el) Topologio (eo) Topología (es) Topologia (eu) Toipeolaíocht (ga) Topologi (in) Topologie (fr) Topologia (it) 위상수학 (ko) 位相幾何学 (ja) Topologia (pl) Topologie (nl) Topologia (matemática) (pt) Topologi (sv) Топология (ru) Топологія (uk) 拓扑学 (zh)
rdfs:seeAlso dbr:History_of_the_separation_axioms
owl:differentFrom dbr:Topography dbr:Typology_(disambiguation)
owl:sameAs freebase:Topology dbpedia-commons:Topology http://d-nb.info/gnd/4060425-1 wikidata:Topology dbpedia-af:Topology dbpedia-an:Topology dbpedia-ar:Topology http://ast.dbpedia.org/resource/Topoloxía dbpedia-az:Topology http://ba.dbpedia.org/resource/Топология dbpedia-be:Topology dbpedia-bg:Topology http://bn.dbpedia.org/resource/টপোগণিত http://bs.dbpedia.org/resource/Topologija dbpedia-ca:Topology http://ckb.dbpedia.org/resource/تۆپۆلۆژی dbpedia-cs:Topology http://cv.dbpedia.org/resource/Топологи dbpedia-cy:Topology dbpedia-da:Topology dbpedia-de:Topology dbpedia-el:Topology dbpedia-eo:Topology dbpedia-es:Topology dbpedia-et:Topology dbpedia-eu:Topology dbpedia-fa:Topology dbpedia-fi:Topology dbpedia-fr:Topology dbpedia-ga:Topology dbpedia-gl:Topology dbpedia-he:Topology http://hi.dbpedia.org/resource/संस्थितिविज्ञान dbpedia-hr:Topology http://ht.dbpedia.org/resource/Topoloji dbpedia-hu:Topology http://hy.dbpedia.org/resource/Տոպոլոգիա http://ia.dbpedia.org/resource/Topologia_(branca_de_mathematica) dbpedia-id:Topology dbpedia-io:Topology dbpedia-is:Topology dbpedia-it:Topology dbpedia-ja:Topology dbpedia-ka:Topology dbpedia-kk:Topology dbpedia-ko:Topology http://ky.dbpedia.org/resource/Топология dbpedia-la:Topology dbpedia-lb:Topology http://lt.dbpedia.org/resource/Topologija http://lv.dbpedia.org/resource/Topoloģija dbpedia-mk:Topology dbpedia-ms:Topology http://my.dbpedia.org/resource/တိုပေါ်လော်ဂျီ dbpedia-nl:Topology dbpedia-nn:Topology dbpedia-no:Topology dbpedia-oc:Topology http://pa.dbpedia.org/resource/ਟੌਪੌਲੌਜੀ dbpedia-pl:Topology dbpedia-pms:Topology dbpedia-pnb:Topology dbpedia-pt:Topology dbpedia-ro:Topology dbpedia-ru:Topology http://scn.dbpedia.org/resource/Topoluggìa dbpedia-sh:Topology http://si.dbpedia.org/resource/ස්ථල_විද්‍යාව dbpedia-simple:Topology dbpedia-sk:Topology dbpedia-sl:Topology dbpedia-sq:Topology dbpedia-sr:Topology dbpedia-sv:Topology dbpedia-sw:Topology http://ta.dbpedia.org/resource/இடவியல் http://tg.dbpedia.org/resource/Топология dbpedia-th:Topology dbpedia-tr:Topology dbpedia-uk:Topology http://ur.dbpedia.org/resource/وضعیت http://uz.dbpedia.org/resource/Topologiya dbpedia-vi:Topology dbpedia-war:Topology http://yi.dbpedia.org/resource/טאפאלאגיע dbpedia-zh:Topology https://global.dbpedia.org/id/3zD7y
prov:wasDerivedFrom wikipedia-en:Topology?oldid=1123784828&ns=0
foaf:depiction wiki-commons:Special:FilePath/Mug_and_Torus_morph.gif wiki-commons:Special:FilePath/Möbius_strip.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Konigsberg_bridges.png wiki-commons:Special:FilePath/Alphabet_homeo.png wiki-commons:Special:FilePath/Alphabet_homotopy.png wiki-commons:Special:FilePath/Spot_the_cow.gif wiki-commons:Special:FilePath/Topology_joke.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Trefoil_knot_arb.png
foaf:isPrimaryTopicOf wikipedia-en:Topology
is dbo:academicDiscipline of dbr:Poul_Heegaard dbr:Beatrice_Aitchison dbr:Bernard_Morin dbr:Dennis_Barden dbr:Algebraic_&_Geometric_Topology dbr:Geometry_&_Topology dbr:Lowell_E._Jones dbr:Egbert_van_Kampen dbr:Georg_Aumann dbr:Georg_Feigl dbr:Thomas_Goodwillie_(mathematician) dbr:Andrzej_Trybulec dbr:Bernardo_Uribe dbr:Liu_Yingming dbr:M._Zahid_Hasan dbr:Autumn_Kent dbr:William_Jaco dbr:John_Edwin_Luecke dbr:Lisa_Piccirillo dbr:F._Thomas_Farrell dbr:Nicolas_Bergeron dbr:Journal_of_Topology dbr:James_Waddell_Alexander_II dbr:Arthur_Moritz_Schoenflies dbr:Johannes_de_Groot dbr:Kazimierz_Zarankiewicz dbr:Kenneth_Appel dbr:Sumner_Byron_Myers dbr:Topology_(journal) dbr:Marshall_H._Stone dbr:Krystyna_Kuperberg dbr:Michel_André_(mathematician) dbr:Nguyen_Dinh_Ngoc dbr:Oleksandr_Mykolayovych_Sharkovsky dbr:Wolfgang_Franz_(mathematician) dbr:Ye_Xiangdong dbr:Topology_and_Its_Applications dbr:Peter_Shalen dbr:Satyan_Devadoss
is dbo:knownFor of dbr:David_W._Henderson dbr:Judith_Roitman dbr:Richard_Davis_Anderson dbr:Coke_Reed dbr:Gordon_Thomas_Whyburn dbr:Mian_Mohammed_Sharif__Mohammad_Sharif__1 dbr:Andrey_Nikolayevich_Tikhonov dbr:Leonard_Gillman dbr:Leopold_Vietoris dbr:Simon_Donaldson dbr:Tim_Poston dbr:W._B._R._Lickorish dbr:Werner_Boy dbr:A._P._Balachandran dbr:Alexander_Grothendieck dbr:Felix_Behrend dbr:Henri_Poincaré dbr:John_E._L._Peck dbr:Kenneth_Kunen dbr:T._Thrivikraman
is dbo:notableIdea of dbr:Gottfried_Wilhelm_Leibniz
is dbo:picture of dbr:Topology_and_Its_Applications
is dbo:wikiPageDisambiguates of dbr:Topology_(disambiguation)
is dbo:wikiPageRedirects of dbr:Topological_analysis dbr:Topologically dbr:Topology_(Mathematics) dbr:Topology_(mathematics) dbr:TopOlogy dbr:Topologist dbr:Applications_of_topology dbr:History_of_topology dbr:Topological dbr:Topologies
is dbo:wikiPageWikiLink of dbr:Cahit_Arf dbr:Calculus_of_variations dbr:Canonical_map dbr:Carl_B._Allendoerfer dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Caryn_Navy dbr:Amphibious_reconnaissance dbr:Amy_Feldman dbr:Poul_Heegaard dbr:Preissmann's_theorem dbr:Preorder dbr:Princeton_University_Department_of_Mathematics dbr:Product_topology dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:Pterodactylus dbr:QCD_vacuum dbr:Quantum_field_theory dbr:Robert_Zimmer dbr:Root_phenotypic_plasticity dbr:Rostislav_Grigorchuk dbr:Samuel_J._Lomonaco_Jr. dbr:Saurosphargidae dbr:Saurosphargis dbr:Scalar_curvature dbr:Electronic_filter_topology dbr:End_(topology) dbr:Envelope_(category_theory) dbr:Environment_artist dbr:List_of_University_of_Michigan_alumni dbr:List_of_University_of_Warwick_people dbr:List_of_academic_fields dbr:List_of_agnostics dbr:List_of_astronomy_acronyms dbr:List_of_axioms dbr:List_of_cross_and_circle_games dbr:List_of_cryptographers dbr:List_of_fields_of_doctoral_studies_in_the_United_States dbr:Mathematical_morphology dbr:Michael_Weiss_(mathematician) dbr:Mike_Hill_(mathematician) dbr:Mixing_(mathematics) dbr:Mixmaster_universe dbr:Modal_logic dbr:Motion_(geometry) dbr:Mug dbr:MSU_Faculty_of_Mechanics_and_Mathematics dbr:Mereology dbr:Mereotopology dbr:Mesh_parameterization dbr:Metrizable_space dbr:Monotonically_normal_space dbr:Monovalent_cation:proton_antiporter-1 dbr:Moore_plane dbr:Morgan_Prize dbr:Split_interval dbr:One_Two_Three..._Infinity dbr:Pasting_lemma dbr:Representation_theory dbr:Subnetwork_connection_protection dbr:Quasi-relative_interior dbr:Profinite_word dbr:Prime_manifold dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Sigmatropic_reaction dbr:Spacetime_topology dbr:Supertoroid dbr:Takeo_Wada dbr:The_Library_of_Babel dbr:Tonnetz dbr:Topological_analysis dbr:Topologically dbr:Topology_(Mathematics) dbr:Topology_(mathematics) dbr:1948_in_Norway dbr:Bartel_Leendert_van_der_Waerden dbr:Beatrice_Aitchison dbr:Befunge dbr:Bernard_Morin dbr:Bernhard_Riemann dbr:Bimetric_gravity dbr:Black_hole dbr:Borel's_theorem dbr:Bounded_variation dbr:Bra–ket_notation dbr:Brenda_MacGibbon dbr:Brian_Greene dbr:David_Eisenbud dbr:David_Gabai dbr:David_Gauld_(mathematician) dbr:David_W._Henderson dbr:David_van_Dantzig dbr:De_Sitter_space dbr:Dennis_Barden dbr:Dessin_d'enfant dbr:Determinacy dbr:Alfred_Errera dbr:Algebraic_&_Geometric_Topology dbr:Algebraic_K-theory dbr:Algebraic_combinatorics dbr:Algebraic_function_field dbr:Algebraic_number_field dbr:Algebraic_structure dbr:Allotropes_of_silicon dbr:Almgren–Pitts_min-max_theory dbr:Anna_Stafford dbr:Anomaly_(physics) dbr:Antarafacial_and_suprafacial dbr:Antonio_Monteiro_(mathematician) dbr:Aphanoascus_fulvescens dbr:Approach_space dbr:Architectural_geometry dbr:Architecture_of_Integrated_Information_Systems dbr:History_of_knot_theory dbr:Hogel_processing_unit dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Homotopy_type_theory dbr:House_of_Borromeo dbr:John_N._Mather dbr:John_Pardon dbr:John_Toland_(mathematician) dbr:John_Tukey dbr:John_von_Neumann dbr:Jordan_curve_theorem dbr:José_Luis_Massera dbr:Judith_Roitman dbr:List_of_Dutch_discoveries dbr:List_of_Dutch_inventions_and_innovations dbr:List_of_Welsh_mathematicians dbr:List_of_Xanth_characters dbr:List_of_chemical_compounds_with_unusual_names dbr:List_of_fellows_of_the_Fields_Institute dbr:List_of_fusion_experiments dbr:List_of_geometers dbr:List_of_important_publications_in_conc...,_parallel,_and_distributed_computing dbr:List_of_words_with_the_suffix_-ology dbr:List_of_works_by_Leonardo_da_Vinci dbr:Pathological_(mathematics) dbr:Paul_Erdős dbr:Pavel_Alexandrov dbr:Per_Enflo dbr:Peter_Eccles_(mathematician) dbr:Peter_Scholze dbr:Peter_Tait_(physicist) dbr:Reverse_mathematics dbr:Rhombicosidodecahedron dbr:Richard_Bader dbr:Richard_Davis_Anderson dbr:Riemann_surface dbr:Cubic_graph dbr:Cubical_set dbr:Curve dbr:Cut_point dbr:Cyclic_surgery_theorem dbr:Cyphochilus dbr:Càdlàg dbr:Ultrafilter_(set_theory) dbr:Undefined_(mathematics) dbr:Uniform_isomorphism dbr:Uniform_space dbr:Unit_circle dbr:Unitary_operator dbr:Universal_Migrator_Part_2:_Flight_of_the_Migrator dbr:Universe dbr:University_of_Bonn dbr:University_of_Cape_Town dbr:University_of_Lviv dbr:University_of_North_Carolina_at_Asheville dbr:University_of_Rijeka dbr:Vijay_Kumar_Patodi dbr:Vladimir_Arnold dbr:David_Richeson dbr:De_Groot_dual dbr:Deane_Montgomery dbr:Deaths_in_March_1992 dbr:Decahedron dbr:Dedekind_sum dbr:Degree_of_a_continuous_mapping dbr:Dehn_surgery dbr:Department_of_Mathematics,_University_of_Manchester dbr:Dependency_network dbr:Derived_set_(mathematics) dbr:Descending_wedge dbr:Descent_(mathematics) dbr:Desuspension dbr:Development_(topology) dbr:Dona_Strauss dbr:Door_space dbr:Double_origin_topology dbr:Dunce_hat_(topology) dbr:Incremental_heuristic_search dbr:Indefinite_inner_product_space dbr:Index_of_branches_of_science dbr:Inductive_dimension dbr:Inferring_horizontal_gene_transfer dbr:Infinite_broom dbr:Instanton dbr:Instituto_Nacional_de_Matemática_Pura_e_Aplicada dbr:Intelligent_Home_Control dbr:Intelligent_Resilient_Framework dbr:Interactome dbr:Interior_algebra dbr:Interlocking_interval_topology dbr:Intersection_homology dbr:Intramolecular_Heck_reaction dbr:Introduction_to_Lattices_and_Order dbr:Invariance_of_domain dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Inverted_repeat dbr:Invertible_knot dbr:James_reduced_product dbr:Jane_Piore_Gilman dbr:Kuranishi_structure dbr:L._Christine_Kinsey dbr:Mandelbrot_set dbr:Orbit dbr:Pachypodium dbr:Plasma_propulsion_engine dbr:Polyhedron dbr:Sigma dbr:Operator_algebra dbr:Real_analysis dbr:Selman_Akbulut dbr:Lewis_structure dbr:Library_of_Congress_Classification:Class_Q_--_Science dbr:Lift_(mathematics) dbr:Limit-preserving_function_(order_theory) dbr:Lindelöf's_lemma dbr:Lindelöf's_theorem dbr:List_of_geometry_topics dbr:List_of_important_publications_in_mathematics dbr:List_of_inequalities dbr:List_of_knot_terminology dbr:List_of_lemmas dbr:List_of_mathematics_awards dbr:List_of_order_theory_topics dbr:List_of_people_associated_with_Bletchley_Park dbr:List_of_people_from_Breslau dbr:List_of_people_from_Michigan dbr:List_of_people_from_Saginaw,_Michigan dbr:Thomas_Jech dbr:Topological_index dbr:Vladimir_Platonov dbr:OGC_GeoSPARQL dbr:Poset_topology dbr:Positive_real_numbers dbr:Positive_set_theory dbr:Pseudocomplement dbr:Pseudoholomorphic_curve dbr:Public_transport_in_Helsinki dbr:Pugh's_closing_lemma dbr:Topological_combinatorics dbr:Science_and_technology_in_Romania dbr:Superhelix dbr:William_Frederick_Eberlein dbr:Whitehead's_point-free_geometry dbr:Timeline_of_Polish_science_and_technology dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:"—And_He_Built_a_Crooked_House—" dbr:16-cell dbr:Colombia dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Continuous_function dbr:Convergence_of_random_variables dbr:Convolution dbr:Conway_polyhedron_notation dbr:Cornelia_Druțu dbr:Critical_point_(mathematics) dbr:Analysis_Situs_(book) dbr:Analysis_Situs_(paper) dbr:Analytic_continuation dbr:Analytical_mechanics dbr:Anderson–Kadec_theorem dbr:Maryanthe_Malliaris dbr:Massachusetts_Bay_Transportation_Authority dbr:Mathematical_Institute,_University_of_Oxford dbr:Mathematical_induction dbr:Mathematical_joke dbr:Mathematics dbr:Max_Dehn dbr:Max_Planck_Institute_for_Chemical_Physics_of_Solids dbr:Mayer–Vietoris_sequence dbr:Mazeras dbr:Chern–Gauss–Bonnet_theorem dbr:Chern–Weil_homomorphism dbr:Elliptic_function dbr:Elmer_Rees dbr:Gauge_theory dbr:Gauss_map dbr:General_topology dbr:Generalized_Poincaré_conjecture dbr:Generalized_map dbr:Generator_(mathematics) dbr:Generic_property dbr:Genetic_code dbr:Geographic_information_system dbr:Geometriae_Dedicata dbr:Geometric_analysis dbr:Geometric_function_theory
is dbp:discipline of dbr:David_Gauld_(mathematician) dbr:Algebraic_&_Geometric_Topology dbr:Geometry_&_Topology dbr:Journal_of_Topology dbr:Herbert_Seifert dbr:Topology_(journal) dbr:Topology_and_Its_Applications
is dbp:field of dbr:Beatrice_Aitchison dbr:Bernard_Morin dbr:Georg_Aumann dbr:Thomas_Goodwillie_(mathematician) dbr:Liu_Yingming dbr:F._Thomas_Farrell dbr:James_Waddell_Alexander_II dbr:Wolfgang_Franz_(mathematician)
is dbp:fields of dbr:Poul_Heegaard dbr:Dennis_Barden dbr:Lowell_E._Jones dbr:Egbert_van_Kampen dbr:Georg_Feigl dbr:Andrzej_Trybulec dbr:Bernardo_Uribe dbr:M._Zahid_Hasan dbr:Autumn_Kent dbr:John_Edwin_Luecke dbr:Lisa_Piccirillo dbr:Johannes_de_Groot dbr:Kazimierz_Zarankiewicz dbr:Kenneth_Appel dbr:Sumner_Byron_Myers dbr:Marshall_H._Stone dbr:Nguyen_Dinh_Ngoc dbr:Ye_Xiangdong dbr:Peter_Shalen dbr:Satyan_Devadoss
is dbp:knownFor of dbr:Judith_Roitman dbr:Richard_Davis_Anderson dbr:Gordon_Thomas_Whyburn dbr:Leonard_Gillman dbr:Tim_Poston dbr:W._B._R._Lickorish dbr:Werner_Boy dbr:A._P._Balachandran dbr:Henri_Poincaré dbr:John_E._L._Peck
is dbp:subDiscipline of dbr:Samuel_J._Lomonaco_Jr. dbr:Deane_Montgomery
is gold:hypernym of dbr:Mesh_networking dbr:Particular_point_topology dbr:Syntomic_topology dbr:Algebraic_topology_(object) dbr:Arbitrated_loop dbr:Lexicographic_order_topology_on_the_unit_square dbr:Compact-open_topology dbr:Geometric_topology_(object) dbr:Lower_limit_topology dbr:Fibre_Channel_point-to-point dbr:Mackey_topology dbr:Mediated_VPN dbr:Distributed_active_transformer dbr:H_topology dbr:K-topology dbr:Lawson_topology dbr:Linear_topology dbr:Weak_topology_(polar_topology) dbr:Nisnevich_topology dbr:Flat_Neighborhood_Network dbr:Switched_fabric dbr:Ring_network dbr:Hypertree_network dbr:Strong_topology_(polar_topology) dbr:Coherent_topology dbr:Bus_network dbr:Evenly_spaced_integer_topology dbr:Induced_topology dbr:Weak_operator_topology dbr:Étale_topology dbr:Ultraweak_topology dbr:Extension_topology dbr:Zariski_topology dbr:Flat_topology dbr:Natural_topology dbr:Internet_topology dbr:Overlapping_interval_topology dbr:PSTN_network_topology dbr:Torus_interconnect dbr:Sallen–Key_topology dbr:Tate_topology dbr:Strong_topology
is rdfs:seeAlso of dbr:Limit_of_a_function dbr:Complete_topological_vector_space dbr:Neighbourhood_(mathematics) dbr:Convergence_space dbr:Limit_inferior_and_limit_superior dbr:Subnet_(mathematics) dbr:Axiomatic_foundations_of_topological_spaces dbr:Counterexample dbr:Kernel_(set_theory) dbr:Net_(mathematics) dbr:Sequential_space dbr:One-sided_limit
is owl:differentFrom of dbr:Topography
is foaf:primaryTopic of wikipedia-en:Topology