Homogeneous coordinates (original) (raw)
في الرياضيات، الإحداثيات المتجانسة التي تم تقديم مفهومها من قبل أوغست فيرديناند موبيوس في عام 1827 تسمح بتمثيل التحويلات الأفينية بشكل بسيط باستخدام المصفوفات. كما تسهل إجراء الحسابات في كما يسهل نظام الإحداثيات الديكارتية هذه الحسابات في الفضاء الإقليدي. تكتب الإحداثيات المتجانسة لنقطة تنتمي إلى فضاء الإسقاط ذو البعد n بالصيغة (x : y : z : ... : w) على شكل متجه من صف واحد طوله n+1.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في الرياضيات، الإحداثيات المتجانسة التي تم تقديم مفهومها من قبل أوغست فيرديناند موبيوس في عام 1827 تسمح بتمثيل التحويلات الأفينية بشكل بسيط باستخدام المصفوفات. كما تسهل إجراء الحسابات في كما يسهل نظام الإحداثيات الديكارتية هذه الحسابات في الفضاء الإقليدي. تكتب الإحداثيات المتجانسة لنقطة تنتمي إلى فضاء الإسقاط ذو البعد n بالصيغة (x : y : z : ... : w) على شكل متجه من صف واحد طوله n+1. (ar) En matemàtiques, i més concretament en geometria projectiva, les coordenades homogènies són un instrument usat per descriure un punt a l'espai projectiu. Van ser introduïdes pel matemàtic alemany August Ferdinand Möbius l'any 1837. També poden utilitzar-se com un sistema alternatiu de coordenades per treballar a l'espai euclidià, perquè aquest pot veure's com un subconjunt de l'espai projectiu. D'aquesta manera, les coordenades homogènies són àmpliament usades en infografia per a la representació d'escenes en tres dimensions. La seva notació en forma matricial s'empra en biblioteques de programació gràfica en 3D com OpenGL i Direct3D. (ca) In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten verwendet, um Punkte in einem projektiven Raum durch Zahlenwerte darzustellen und damit geometrische Probleme einer rechnerischen Bearbeitung zugänglich zu machen. Im Vergleich zu den normalerweise verwendeten (inhomogenen) Koordinaten, die jeden Punkt eindeutig identifizieren, haben homogene Koordinaten die Eigenschaft, dass sie für einen vorgegebenen Punkt nicht eindeutig bestimmt sind. Der Vorteil homogener Koordinaten liegt in der einheitlichen Darstellung der Elemente eines projektiven Raums, bei der Fernelemente keine Sonderrolle mehr spielen. Zudem lassen sich durch die Verwendung homogener Koordinaten alle Kollineationen, und damit auch Parallelverschiebungen, einheitlich durch lineare Abbildungen und damit durch Matrizen beschreiben. Aus diesem Grund spielen homogene Koordinaten im dreidimensionalen Raum eine wichtige Rolle in der Computergrafik. (de) En matematiko, homogenaj koordinatoj, permesas al afinaj transformoj esti facile prezentitaj per matrico. Ankaŭ ili faras kalkulojn eblaj en samkiel karteziaj koordinatoj faras en eŭklida spaco. La homogenaj koordinatoj de punkto de projekcia spaco de dimensio n estas kutime skribita kiel (x : y : z : ... : w), (linio, vico) vektoro de longo n + 1, escepte (0 : 0 : 0 : ... : 0). Du aroj de koordinatoj, kiuj estas proporciaj signifas la saman punkton de projekcia spaco: por (ĉiu, iu) ne-nula skalaro c de la suba kampo K, (ĉ : cy : cz : ... : cw) signifas la saman punkton. Pro tio, ĉi tiu sistemo de koordinatoj povas esti eksplikita kiel sekvas: se la projekcia spaco estas konstruita el vektora spaco V de dimensio n + 1, prezenti koordinatojn en V per elektanta bazo, kaj uzi ĉi tiuj en P(V), la ekvivalento-klasoj de proporcia ne-nulaj vektoroj en V. Prenante la ekzemplon de projekcia spaco de dimensio tri, tie estos esti homogenaj koordinatoj (x : y : z : w). La estas kutime identigita kun la aro de punktoj kun w = 0. For de ĉi tiu ebeno ni povas uzi (x/w, y/w, z/w) kiel ordinaran Kartezian sistemon; pro tio la afina spaco komplementa al la ebeno je malfinio estas koordinatigita laŭ familiara maniero, kun bazo koresponda (1 : 0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 1). Se ni provas sekci la du (planoj, ebenoj)n difinitajn per ekvacioj x = w kaj x = 2w tiam ni klare derivos unua w = 0 kaj tiam x = 0. Tio diras, ke ni (tiu, ke, kiu) la komunaĵo estas enhavita en la ebeno je malfinio, kaj konsistas el ĉiuj punktoj kun koordinatoj (0 : y : z : 0). Ĝi estas linio, kaj fakte la linio (aniĝanta, aliganta, aliĝanta) (0 : 1 : 0 : 0) kaj (0 : 0 : 1 : 0). La linio estas donita per la ekvacio kie μ estas (krustanta, skalanta) faktoro. La (krustanta, skalanta) faktoro povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita) al ununormigi la koordinatojn (0 : y : z : 0), per tio eliminanta unu de la du gradoj de libereco. La rezulto estas aro de punktoj kun nur unu grado de libereco, kiel estas atendita por linio. (eo) In mathematics, homogeneous coordinates or projective coordinates, introduced by August Ferdinand Möbius in his 1827 work Der barycentrische Calcul, are a system of coordinates used in projective geometry, just as Cartesian coordinates are used in Euclidean geometry. They have the advantage that the coordinates of points, including points at infinity, can be represented using finite coordinates. Formulas involving homogeneous coordinates are often simpler and more symmetric than their Cartesian counterparts. Homogeneous coordinates have a range of applications, including computer graphics and 3D computer vision, where they allow affine transformations and, in general, projective transformations to be easily represented by a matrix. If homogeneous coordinates of a point are multiplied by a non-zero scalar then the resulting coordinates represent the same point. Since homogeneous coordinates are also given to points at infinity, the number of coordinates required to allow this extension is one more than the dimension of the projective space being considered. For example, two homogeneous coordinates are required to specify a point on the projective line and three homogeneous coordinates are required to specify a point in the projective plane. (en) En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837. También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D. (es) En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie projective, les coordonnées homogènes (ou coordonnées projectives), introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif, comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées homogènes sont largement utilisées en infographie et plus particulièrement pour la représentation de scènes en trois dimensions, car elles sont adaptées à la géométrie projective et elles permettent de caractériser les transformations de l'espace. La notation sous forme matricielle est plus particulièrement employée dans les bibliothèques de programmation graphique 3D telles que OpenGL et Direct3D. (fr) In matematica, le coordinate omogenee o coordinate proiettive, introdotte da August Ferdinand Möbius intorno al 1837, sono uno strumento usato per descrivere i punti nella geometria proiettiva. Sono cioè l'analogo delle coordinate cartesiane nella geometria analitica ed hanno il vantaggio di poter rappresentare coordinate di punti, anche punti all'infinito, utilizzando coordinate finite. Le coordinate omogenee sono ampiamente usate nell'arte digitale per la rappresentazione di oggetti nello spazio e dei loro movimenti. (it) 사영기하학에서 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는 차원 사영 공간을 개의 좌표로 나타내는 좌표계다. (ko) Współrzędne jednorodne – sposób reprezentacji punktów -wymiarowej przestrzeni rzutowej za pomocą układu współrzędnych. Pojęcie to opiera się na konstrukcji przestrzeni rzutowej, w której -wymiarową przestrzeń euklidesową uzupełnia się o kierunki zwane punktami w nieskończoności lub punktami niewłaściwymi. Jeśli punkt właściwy ma współrzędne kartezjańskie to jego współrzędne jednorodne mają postać Np. punkt na płaszczyźnie o współrzędnych kartezjańskich ma zarazem współrzędne jednorodne postaci podobnie punkt w przestrzeni trójwymiarowej o współrzędnych kartezjańskich ma współrzędne jednorodne Odwrotnie – punkt właściwy o współrzędnych jednorodnych i ma współrzędne kartezjańskie postaci Jeśli natomiast to jest to punkt w nieskończoności i nie istnieją dla niego współrzędne kartezjańskie. Żaden punkt nie może mieć współrzędnych jednorodnych Dwa układy i są współrzędnymi jednorodnymi tego samego punktu, gdy jeden z tych układów jest wielokrotnością drugiego tj. dla pewnego Inaczej mówiąc, każdy punkt (właściwy lub niewłaściwy) można reprezentować na nieskończenie wiele sposobów we współrzędnych jednorodnych i wszystkie te reprezentacje są do siebie proporcjonalne. Współrzędne jednorodne zostały wprowadzone do geometrii w 1827 przez Augusta Möbiusa w pracy Der barycentrische Calcul. W 1946 E. Maxwell użył ich do rozwiązywania problemów związanych z rzutowaniem. Są narzędziem do stosowania metod analitycznych w przestrzeniach rzutowych. Ze względu na kilka zalet znalazły też zastosowanie w grafice komputerowej. (pl) In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, worden coördinaten homogeen genoemd, als ze op een factor na bepaald zijn, zodat alleen hun onderlinge verhoudingen absolute betekenis hebben. Dit is de reden dat homogene coördinaten veelal genoteerd worden als getallen gescheiden door dubbelepunten. Voorbeelden van homogene coördinaten zijn: barycentrische coördinaten, trilineaire coördinaten en projectieve coördinaten De term 'homogene coördinaten' werd in 1827 door August Ferdinand Möbius in diens werk Der barycentrische Calcul geïntroduceerd voor barycentrische coördinaten. (nl) Em geometria computacional, é utilizado em lugar do sistema de coordenadas cartesiano devido às vantagens que oferece no tratamento algébrico de pontos "no infinito". (pt) Однорідні координати — координати, що володіють властивістю, за якої об'єкт, що визначається цими координатами, не змінюється при множенні всіх координат на одне і те ж число, відмінне від нуля. Однорідні координати мають таке ж значення для проєктивної геометрії, як декартові координати для Евклідової геометрії. Поняття однорідних координат увів Август Фердинанд Мебіус у 1827 році у роботі Der barycentrische Calcül. За допомогою однорідних координат навіть координати нескінченно віддалених точок можна представити за допомогою скінченних координат. Формули, записані в однорідних координатах, найчастіше простіші та більш симетричні, ніж їхні вирази в декартових координатах. Однорідні координати мають широкий спектр застосування, в тому числі в комп'ютерній графіці та в 3D комп'ютерному зорі, де вони дозволяють виконувати афінні перетворення і, загалом, проєктивні перетворення, через що їх легко представити у вигляді матриці. Однорідні координати не задають однозначно точку простору. Наприклад, (1, 1, 1, 1) і (2, 2, 2, 2) задають одну і ту ж точку (1, 1, 1). При переході до однорідних координат для точки з координатами (x, у, z) пропонується узяти набір (x, у, z, 1). В процесі перетворень четверта координата w може змінюватися. Зворотний перехід до декартових координат здійснюється за допомогою ділення на w-координату. (uk) 在數學裡，齊次坐標（homogeneous coordinates），或投影坐標（projective coordinates）是指一個用於投影幾何裡的坐標系統，如同用於歐氏幾何裡的笛卡兒坐標一般。該詞由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯於1827年在其著作《Der barycentrische Calcul》一書內引入。齊次坐標可讓包括無窮遠點的點坐標以有限坐標表示。使用齊次坐標的公式通常會比用笛卡兒坐標表示更為簡單，且更為對稱。齊次坐標有著廣泛的應用，包括電腦圖形及3D電腦視覺。使用齊次坐標可讓電腦進行仿射變換，其投影變換通常能簡單地使用矩陣來表示。 如一個點的齊次坐標乘上一個非零純量，則所得之坐標會表示同一個點。因為齊次坐標也用來表示無窮遠點，為此一擴展而需用來標示坐標之數值比之維度多一。例如，在齊次坐標裡，需要兩個值來表示在投影線上的一點，需要三個值來表示投影平面上的一點。 (zh) Однородные координаты ― система координат, используемая в проективной геометрии, подобно тому, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии. Однородные координаты обладают тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число. Из-за этого количество координат, необходимое для представления точек, всегда на одну больше, чем размерность пространства, в котором эти координаты используются. Например, для представления точки на прямой в одномерном пространстве необходимы 2 координаты и 3 координаты для представления точки на плоскости в двумерном пространстве. В однородных координатах возможно представить даже точки, находящиеся в бесконечности. Введены Плюккером в качестве аналитического подхода к принципу . (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/RationalBezier2D.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.unchainedgeometry.com/jbloom/pdf/homog-coords.pdf http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/geometry/homo-coor.html http://mathworld.wolfram.com/HomogeneousCoordinates.html https://archive.org/details/briotandbouquet01bouqgoog https://archive.org/details/briotandbouquet01bouqgoog/page/n390 https://archive.org/details/highergeometrya00woodgoog https://archive.org/details/introductiontoh00bcgoog https://archive.org/details/mathematicalelem00roge%7Curl-access=registration https://books.google.com/books%3Fid=JoJsAAAAMAAJ&pg=PA120 https://books.google.com/books%3Fid=LEpLAAAAMAAJ&pg=PR1 https://books.google.com/books%3Fid=WNjRrqTm62QC&pg=PA134 https://books.google.com/books%3Fid=qjg6GOQaHNEC&pg=PA13 https://books.google.com/books%3Fid=yCsDO425PC0C&pg=PA357 https://web.archive.org/web/20210226225843/http:/www.unchainedgeometry.com/jbloom/pdf/homog-coords.pdf |
| dbo:wikiPageID | 243316 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 27757 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122968679 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_coordinate_system dbr:Projective_geometry dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:Projective_transformation dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Determinant dbr:Homogeneous_function dbr:Julius_Plücker dbr:Perspective_projection dbr:Commutative_property dbr:Complex_number dbr:Mathematics dbr:Origin_(mathematics) dbr:Graphics_card dbr:Equivalence_class dbc:1827_in_science dbr:Complex_projective_space dbr:Computer_graphics dbr:Computer_vision dbr:Parametric_equation dbr:Bézout's_theorem dbr:Line_at_infinity dbr:Line_coordinates dbr:Affine_transformation dbc:Linear_algebra dbc:Projective_geometry dbr:Equivalence_relation dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_field dbr:Center_of_mass dbr:Projective_line dbr:Projective_linear_group dbr:Ring_(mathematics) dbr:Vector_processor dbr:Riemann_sphere dbr:August_Ferdinand_Möbius dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Homogeneous_polynomial dbr:Transformation_matrix dbr:Translation_(geometry) dbr:Division_ring dbr:Plücker_embedding dbr:Polynomial dbr:Circular_algebraic_curve dbr:Circular_points_at_infinity dbr:OpenGL dbr:Real_number dbr:Rotation_(mathematics) dbr:Scaling_(geometry) dbr:Euclidean_geometry dbr:Point_at_infinity dbr:Microsoft_Direct3D dbr:Points_at_infinity dbr:System_of_coordinates dbr:Vertex_shader dbr:Complex_projective_line dbr:File:RationalBezier2D.svg |
| dbp:date | 2021-02-26 (xsd:date) |
| dbp:url | https://web.archive.org/web/20210226225843/http:/www.unchainedgeometry.com/jbloom/pdf/homog-coords.pdf |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Commons_category dbt:Main dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Webarchive |
| dct:subject | dbc:1827_in_science dbc:Linear_algebra dbc:Projective_geometry |
| gold:hypernym | dbr:System |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatCoordinateSystems yago:Abstraction100002137 yago:Arrangement105726596 yago:Cognition100023271 yago:CoordinateSystem105728024 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:Structure105726345 |
| rdfs:comment | في الرياضيات، الإحداثيات المتجانسة التي تم تقديم مفهومها من قبل أوغست فيرديناند موبيوس في عام 1827 تسمح بتمثيل التحويلات الأفينية بشكل بسيط باستخدام المصفوفات. كما تسهل إجراء الحسابات في كما يسهل نظام الإحداثيات الديكارتية هذه الحسابات في الفضاء الإقليدي. تكتب الإحداثيات المتجانسة لنقطة تنتمي إلى فضاء الإسقاط ذو البعد n بالصيغة (x : y : z : ... : w) على شكل متجه من صف واحد طوله n+1. (ar) In matematica, le coordinate omogenee o coordinate proiettive, introdotte da August Ferdinand Möbius intorno al 1837, sono uno strumento usato per descrivere i punti nella geometria proiettiva. Sono cioè l'analogo delle coordinate cartesiane nella geometria analitica ed hanno il vantaggio di poter rappresentare coordinate di punti, anche punti all'infinito, utilizzando coordinate finite. Le coordinate omogenee sono ampiamente usate nell'arte digitale per la rappresentazione di oggetti nello spazio e dei loro movimenti. (it) 사영기하학에서 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는 차원 사영 공간을 개의 좌표로 나타내는 좌표계다. (ko) In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, worden coördinaten homogeen genoemd, als ze op een factor na bepaald zijn, zodat alleen hun onderlinge verhoudingen absolute betekenis hebben. Dit is de reden dat homogene coördinaten veelal genoteerd worden als getallen gescheiden door dubbelepunten. Voorbeelden van homogene coördinaten zijn: barycentrische coördinaten, trilineaire coördinaten en projectieve coördinaten De term 'homogene coördinaten' werd in 1827 door August Ferdinand Möbius in diens werk Der barycentrische Calcul geïntroduceerd voor barycentrische coördinaten. (nl) Em geometria computacional, é utilizado em lugar do sistema de coordenadas cartesiano devido às vantagens que oferece no tratamento algébrico de pontos "no infinito". (pt) 在數學裡，齊次坐標（homogeneous coordinates），或投影坐標（projective coordinates）是指一個用於投影幾何裡的坐標系統，如同用於歐氏幾何裡的笛卡兒坐標一般。該詞由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯於1827年在其著作《Der barycentrische Calcul》一書內引入。齊次坐標可讓包括無窮遠點的點坐標以有限坐標表示。使用齊次坐標的公式通常會比用笛卡兒坐標表示更為簡單，且更為對稱。齊次坐標有著廣泛的應用，包括電腦圖形及3D電腦視覺。使用齊次坐標可讓電腦進行仿射變換，其投影變換通常能簡單地使用矩陣來表示。 如一個點的齊次坐標乘上一個非零純量，則所得之坐標會表示同一個點。因為齊次坐標也用來表示無窮遠點，為此一擴展而需用來標示坐標之數值比之維度多一。例如，在齊次坐標裡，需要兩個值來表示在投影線上的一點，需要三個值來表示投影平面上的一點。 (zh) En matemàtiques, i més concretament en geometria projectiva, les coordenades homogènies són un instrument usat per descriure un punt a l'espai projectiu. Van ser introduïdes pel matemàtic alemany August Ferdinand Möbius l'any 1837. (ca) En matematiko, homogenaj koordinatoj, permesas al afinaj transformoj esti facile prezentitaj per matrico. Ankaŭ ili faras kalkulojn eblaj en samkiel karteziaj koordinatoj faras en eŭklida spaco. La homogenaj koordinatoj de punkto de projekcia spaco de dimensio n estas kutime skribita kiel (x : y : z : ... : w), (linio, vico) vektoro de longo n + 1, escepte (0 : 0 : 0 : ... : 0). Du aroj de koordinatoj, kiuj estas proporciaj signifas la saman punkton de projekcia spaco: por (ĉiu, iu) ne-nula skalaro c de la suba kampo K, (ĉ : cy : cz : ... : cw) signifas la saman punkton. Pro tio, ĉi tiu sistemo de koordinatoj povas esti eksplikita kiel sekvas: se la projekcia spaco estas konstruita el vektora spaco V de dimensio n + 1, prezenti koordinatojn en V per elektanta bazo, kaj uzi ĉi tiuj en P(V) (eo) En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837. (es) In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten verwendet, um Punkte in einem projektiven Raum durch Zahlenwerte darzustellen und damit geometrische Probleme einer rechnerischen Bearbeitung zugänglich zu machen. Im Vergleich zu den normalerweise verwendeten (inhomogenen) Koordinaten, die jeden Punkt eindeutig identifizieren, haben homogene Koordinaten die Eigenschaft, dass sie für einen vorgegebenen Punkt nicht eindeutig bestimmt sind. Der Vorteil homogener Koordinaten liegt in der einheitlichen Darstellung der Elemente eines projektiven Raums, bei der Fernelemente keine Sonderrolle mehr spielen. Zudem lassen sich durch die Verwendung homogener Koordinaten alle Kollineationen, und damit auch Parallelverschiebungen, einheitlich durch lineare Abbildungen und damit durch Matrizen bes (de) In mathematics, homogeneous coordinates or projective coordinates, introduced by August Ferdinand Möbius in his 1827 work Der barycentrische Calcul, are a system of coordinates used in projective geometry, just as Cartesian coordinates are used in Euclidean geometry. They have the advantage that the coordinates of points, including points at infinity, can be represented using finite coordinates. Formulas involving homogeneous coordinates are often simpler and more symmetric than their Cartesian counterparts. Homogeneous coordinates have a range of applications, including computer graphics and 3D computer vision, where they allow affine transformations and, in general, projective transformations to be easily represented by a matrix. (en) En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie projective, les coordonnées homogènes (ou coordonnées projectives), introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif, comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. (fr) Współrzędne jednorodne – sposób reprezentacji punktów -wymiarowej przestrzeni rzutowej za pomocą układu współrzędnych. Pojęcie to opiera się na konstrukcji przestrzeni rzutowej, w której -wymiarową przestrzeń euklidesową uzupełnia się o kierunki zwane punktami w nieskończoności lub punktami niewłaściwymi. Odwrotnie – punkt właściwy o współrzędnych jednorodnych i ma współrzędne kartezjańskie postaci Jeśli natomiast to jest to punkt w nieskończoności i nie istnieją dla niego współrzędne kartezjańskie. Żaden punkt nie może mieć współrzędnych jednorodnych (pl) Однорідні координати — координати, що володіють властивістю, за якої об'єкт, що визначається цими координатами, не змінюється при множенні всіх координат на одне і те ж число, відмінне від нуля. Однорідні координати мають таке ж значення для проєктивної геометрії, як декартові координати для Евклідової геометрії. Поняття однорідних координат увів Август Фердинанд Мебіус у 1827 році у роботі Der barycentrische Calcül. Зворотний перехід до декартових координат здійснюється за допомогою ділення на w-координату. (uk) Однородные координаты ― система координат, используемая в проективной геометрии, подобно тому, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии. Однородные координаты обладают тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число. Из-за этого количество координат, необходимое для представления точек, всегда на одну больше, чем размерность пространства, в котором эти координаты используются. Например, для представления точки на прямой в одномерном пространстве необходимы 2 координаты и 3 координаты для представления точки на плоскости в двумерном пространстве. В однородных координатах возможно представить даже точки, находящиеся в бесконечности. (ru) |
| rdfs:label | إحداثيات متجانسة (ar) Coordenades homogènies (ca) Homogene Koordinaten (de) Homogenaj koordinatoj (eo) Coordenadas homogéneas (es) Homogeneous coordinates (en) Coordonnées homogènes (fr) Coordinate omogenee (it) 동차좌표 (ko) Homogene coördinaten (nl) Współrzędne jednorodne (pl) Coordenadas homogêneas (pt) Однородная система координат (ru) 齐次坐标 (zh) Однорідні координати (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Transformation_matrix |
| owl:sameAs | freebase:Homogeneous coordinates yago-res:Homogeneous coordinates wikidata:Homogeneous coordinates dbpedia-ar:Homogeneous coordinates http://bs.dbpedia.org/resource/Homogene_koordinate dbpedia-ca:Homogeneous coordinates dbpedia-de:Homogeneous coordinates dbpedia-eo:Homogeneous coordinates dbpedia-es:Homogeneous coordinates dbpedia-fr:Homogeneous coordinates dbpedia-hu:Homogeneous coordinates dbpedia-it:Homogeneous coordinates dbpedia-ko:Homogeneous coordinates dbpedia-nl:Homogeneous coordinates dbpedia-pl:Homogeneous coordinates dbpedia-pt:Homogeneous coordinates dbpedia-ro:Homogeneous coordinates dbpedia-ru:Homogeneous coordinates dbpedia-sl:Homogeneous coordinates dbpedia-uk:Homogeneous coordinates dbpedia-vi:Homogeneous coordinates dbpedia-zh:Homogeneous coordinates https://global.dbpedia.org/id/4iwuq |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Homogeneous_coordinates?oldid=1122968679&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/RationalBezier2D.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Homogeneous_coordinates |
| is dbo:knownFor of | dbr:Julius_Plücker |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Homogeneous_coordinate_system dbr:Homogenous_coordinate dbr:Homogeneous_Coordinates dbr:Projective_coordinates dbr:Homogeneous_co-ordinates dbr:Homogeneous_coordinate dbr:Homogenous_coordinates |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Projective_frame dbr:Projective_geometry dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:Quaternion dbr:Quaternionic_analysis dbr:Rotation_matrix dbr:Enumerative_geometry dbr:Mordell–Weil_theorem dbr:Barycentric_coordinate_system dbr:Borel–Weil–Bott_theorem dbr:Applications_of_dual_quaternions_to_2D_geometry dbr:Homogeneous_coordinate_system dbr:Homogeneous_space dbr:Homogenous_coordinate dbr:Homography dbr:Julius_Plücker dbr:Pencil_(geometry) dbr:Perspective-n-Point dbr:Resultant dbr:Reye_configuration dbr:Unital_(geometry) dbr:Inellipse dbr:Lie_sphere_geometry dbr:List_of_geometry_topics dbr:Shadow_mapping dbr:Real_point dbr:Conic_section dbr:Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles dbr:Matrix_representation_of_conic_sections dbr:Orthographic_projection dbr:Pinhole_camera_model dbr:Quaternionic_projective_space dbr:Circle dbr:Elliptic_curve dbr:Geometric_algebra dbr:Glossary_of_arithmetic_and_diophantine_geometry dbr:Glossary_of_computer_graphics dbr:Graphics_pipeline dbr:Grassmannian dbr:Möbius_transformation dbr:Conic_bundle dbr:Coordinate_system dbr:Laguerre_formula dbr:Laguerre_transformations dbr:Laguerre–Forsyth_invariant dbr:Rational_motion dbr:Homogeneous_Coordinates dbr:Linear_system_of_conics dbr:Line–line_intersection dbr:Chow_variety dbr:Stereographic_projection dbr:Complete_intersection dbr:Complex_projective_plane dbr:Complex_projective_space dbr:Fubini–Study_metric dbr:Fundamental_matrix_(computer_vision) dbr:Plücker_matrix dbr:Polar_curve dbr:Axis–angle_representation dbr:B-spline dbr:Bézout's_theorem dbr:Cayley–Klein_metric dbr:Divine_Proportions:_Rational_Trigonometry_to_Universal_Geometry dbr:Line_at_infinity dbr:Line_bundle dbr:Line_clipping dbr:Line_coordinates dbr:2D_computer_graphics dbr:Affine_transformation dbr:Algebraic_curve dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_variety dbr:3D_projection dbr:3D_reconstruction_from_multiple_images dbr:4D_vector dbr:Cubic_plane_curve dbr:Dual_curve dbr:Duality_(projective_geometry) dbr:Fano_plane dbr:Isotropic_line dbr:List_of_German_inventors_and_discoverers dbr:Silhouette_edge dbr:Quadratic_form dbr:Projective_connection dbr:Projective_line dbr:Projective_linear_group dbr:Projective_variety dbr:Gustav_von_Escherich dbr:Height_function dbr:Back-face_culling dbr:Hyperplane_at_infinity dbr:Hyperplane_section dbr:Shadow_volume dbr:Smooth_projective_plane dbr:August_Ferdinand_Möbius dbr:Karl_Wilhelm_Feuerbach dbr:Bitangents_of_a_quartic dbr:Blocking_set dbr:Blowing_up dbr:Surface_(mathematics) dbr:Edwards_curve dbr:Hesse_pencil dbr:Homogeneous_coordinate_ring dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Homothety dbr:Transformation_matrix dbr:Translation_(geometry) dbr:Trilinear_coordinates dbr:Digital_image_processing dbr:Diophantine_equation dbr:Artificial_neuron dbr:Polynomial_ring dbr:Circular_algebraic_curve dbr:Circular_points_at_infinity dbr:Fermat_curve dbr:Kirkman's_schoolgirl_problem dbr:Klein_quartic dbr:Oriented_projective_geometry dbr:Camera_matrix dbr:Camera_resectioning dbr:Canonical_bundle dbr:Qvist's_theorem dbr:Rational_normal_curve dbr:Real_hyperelliptic_curve dbr:Segre's_theorem dbr:Semicubical_parabola dbr:Homogeneity_(disambiguation) dbr:Mass_point_geometry dbr:Real_projective_plane dbr:Rotation_(mathematics) dbr:Scaling_(geometry) dbr:Segre_embedding dbr:Singleton_bound dbr:Vertex_(computer_graphics) dbr:Image_rectification dbr:Imaginary_line_(mathematics) dbr:Plane_at_infinity dbr:Sylvester–Gallai_theorem dbr:Plücker_coordinates dbr:Finite_geometry dbr:Monge_cone dbr:Motor_variable dbr:Unit_hyperbola dbr:Non-uniform_rational_B-spline dbr:Veronese_surface dbr:Wiman's_sextic dbr:Spherical_wave_transformation dbr:Spread_(projective_geometry) dbr:Projective_coordinates dbr:Homogeneous_co-ordinates dbr:Homogeneous_coordinate dbr:Homogenous_coordinates |
| is dbp:knownFor of | dbr:Julius_Plücker |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Homogeneous_coordinates |
