Adjoint functors (original) (raw)
Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.Zwei Funktoren und zwischen Kategorien und heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.
| Property | Value |
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| dbo:abstract | Adjunkce je v teorii kategorií vztah mezi dvěma funktory (a tím i vztah mezi dvěma kategoriemi), které se označují jako adjungované funktory, což se značí jako , přičemž je adjungovaný zleva ke (a naopak je adjungovaný zprava k ). Máme-li funktory a , pak je , pokud pro každé a existuje bijekce přirozená v obou parametrech. Existence adjungovaných funktorů mezi dvěma kategoriemi vyjadřuje mírnější obdobu ekvivalence těchto kategorií. Adjungované funktory mezi kategoriemi jsou zobecněním Galoisovy korespondence mezi částečně uspořádanými množinami. V obecné algebře se používají mimo jiné ke generování volných objektů. (cs) In mathematics, specifically category theory, adjunction is a relationship that two functors may exhibit, intuitively corresponding to a weak form of equivalence between two related categories. Two functors that stand in this relationship are known as adjoint functors, one being the left adjoint and the other the right adjoint. Pairs of adjoint functors are ubiquitous in mathematics and often arise from constructions of "optimal solutions" to certain problems (i.e., constructions of objects having a certain universal property), such as the construction of a free group on a set in algebra, or the construction of the Stone–Čech compactification of a topological space in topology. By definition, an adjunction between categories and is a pair of functors (assumed to be covariant) and and, for all objects in and in a bijection between the respective morphism sets such that this family of bijections is natural in and . Naturality here means that there are natural isomorphisms between the pair of functors and for a fixed in , and also the pair of functors and for a fixed in . The functor is called a left adjoint functor or left adjoint to , while is called a right adjoint functor or right adjoint to . An adjunction between categories and is somewhat akin to a "weak form" of an equivalence between and , and indeed every equivalence is an adjunction. In many situations, an adjunction can be "upgraded" to an equivalence, by a suitable natural modification of the involved categories and functors. (en) Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.Zwei Funktoren und zwischen Kategorien und heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt. (de) En matemáticas, específicamente en teoría de categorías, la adjunción es una relación entre dos funtores que aparece frecuentemente a través de las distintas ramas de las matemáticas y que captura una noción intuitiva de solución a un problema de optimización. Dos funtores y se dicen adjuntos entre sí, si existe una familia de biyecciones que es natural para cualesquiera e . La relación de que sea adjunto a izquierda de , o, equivalentemente, que sea adjunto a derecha de , se nota como . (es) L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ». (fr) 数学の特に圏論における随伴（ずいはん、英: adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。 最も簡潔な対称的定義において、圏 𝒞 と 𝒟 の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、全単射の族 が変数 X, Y に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 F を左随伴函手と呼び、他方 G を右随伴函手と呼ぶ。また、「F は G の左随伴である」 (同じことだが、「G は F の右随伴である」)という関係を と書く。 以下では、この定義や他の定義を詳細化する。 (ja) 범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다. (ko) In matematica, in particolare nella teoria delle categorie, l'aggiunzione è una possibile relazione tra due funtori. L'aggiunzione è molto frequente in matematica. Una coppia di funtori aggiunti da C a D e da D a C è quanto serve affinché le due categorie C e D siano compatibili nei loro oggetti e morfismi. Per esempio, un funtore potrebbe immergere C nella sua estensione D, e l'altro funtore potrebbe restringere nuovamente D in C. Per questo genere di relazioni, l'aggiunzione formalizza i concetti intuitivi di ottimizzazione ed efficienza. Nella più concisa definizione simmetrica, un'aggiunzione tra due categorie C e D è una coppia di funtori, and e una famiglia di biiezioni che è naturale per tutte le variabili X in C e Y in D. Il funtore F è chiamato aggiunto sinistro, mentre G è chiamato aggiunto destro. La relazione "F è aggiunto sinistro a G", o equivalentemente "G è aggiunto destro a F", si denota anche con Questa e altre definizioni saranno approfondite nel seguito. (it) Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe. (pl) Na teoria das categorias, uma adjunção é uma tripla consistindo de dois functores , e uma família de isomorfismos natural em ; a condição de naturalidade é expressa por para cada , e , ou equivalentemente por para cada , e . Nesse caso, é dito adjunto esquerdo a , e é dito adjunto direito a , e escreve-se . Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção. (pt) Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики. Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению . Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым. (ru) 在範疇論中，函子若滿足，則稱之為一對伴隨函子，其中稱為的右伴隨函子，而是的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。 (zh) Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різноманітних галузях математики. Неформально, функтори F і G є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню . Тоді F називається лівим спряженим функтором, а G — правим. (uk) |
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Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ». (fr) 数学の特に圏論における随伴（ずいはん、英: adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。 最も簡潔な対称的定義において、圏 𝒞 と 𝒟 の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、全単射の族 が変数 X, Y に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 F を左随伴函手と呼び、他方 G を右随伴函手と呼ぶ。また、「F は G の左随伴である」 (同じことだが、「G は F の右随伴である」)という関係を と書く。 以下では、この定義や他の定義を詳細化する。 (ja) 범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다. (ko) Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe. (pl) Na teoria das categorias, uma adjunção é uma tripla consistindo de dois functores , e uma família de isomorfismos natural em ; a condição de naturalidade é expressa por para cada , e , ou equivalentemente por para cada , e . Nesse caso, é dito adjunto esquerdo a , e é dito adjunto direito a , e escreve-se . Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção. (pt) Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики. Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению . Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым. (ru) 在範疇論中，函子若滿足，則稱之為一對伴隨函子，其中稱為的右伴隨函子，而是的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。 (zh) Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різноманітних галузях математики. Неформально, функтори F і G є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню . Тоді F називається лівим спряженим функтором, а G — правим. (uk) Adjunkce je v teorii kategorií vztah mezi dvěma funktory (a tím i vztah mezi dvěma kategoriemi), které se označují jako adjungované funktory, což se značí jako , přičemž je adjungovaný zleva ke (a naopak je adjungovaný zprava k ). Máme-li funktory a , pak je , pokud pro každé a existuje bijekce přirozená v obou parametrech. Existence adjungovaných funktorů mezi dvěma kategoriemi vyjadřuje mírnější obdobu ekvivalence těchto kategorií. (cs) In mathematics, specifically category theory, adjunction is a relationship that two functors may exhibit, intuitively corresponding to a weak form of equivalence between two related categories. Two functors that stand in this relationship are known as adjoint functors, one being the left adjoint and the other the right adjoint. Pairs of adjoint functors are ubiquitous in mathematics and often arise from constructions of "optimal solutions" to certain problems (i.e., constructions of objects having a certain universal property), such as the construction of a free group on a set in algebra, or the construction of the Stone–Čech compactification of a topological space in topology. (en) In matematica, in particolare nella teoria delle categorie, l'aggiunzione è una possibile relazione tra due funtori. L'aggiunzione è molto frequente in matematica. Una coppia di funtori aggiunti da C a D e da D a C è quanto serve affinché le due categorie C e D siano compatibili nei loro oggetti e morfismi. Per esempio, un funtore potrebbe immergere C nella sua estensione D, e l'altro funtore potrebbe restringere nuovamente D in C. Per questo genere di relazioni, l'aggiunzione formalizza i concetti intuitivi di ottimizzazione ed efficienza. and e una famiglia di biiezioni (it) |
| rdfs:label | Adjoint functors (en) Adjungovaný funktor (cs) Adjunktion (Kategorientheorie) (de) Funtores adjuntos (es) Foncteur adjoint (fr) Funtore aggiunto (it) 수반 함자 (ko) 随伴関手 (ja) Funktory sprzężone (pl) Adjunção (teoria das categorias) (pt) Сопряжённые функторы (ru) 伴隨函子 (zh) Спряжені функтори (uk) |
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