Quotient ring (original) (raw)
Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu. Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel).
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, un anell quocient respecte d'un ideal és el conjunt quocient de les classes d'equivalència dels elements tals que la seva resta pertany a l'ideal. Els ideals dels anells són conjunts que, a més de ser , atrauen cap a dins de l'ideal el resultat de multiplicar qualsevol element de l'anell per un element de l'ideal, per exemple el {0} tot sol és sempre un ideal (perquè qualsevol element multiplicat per 0 dona 0). En el nombres enters els nombres parells són un ideal (perquè a més de formar un anell qualsevol nombre, encara que no sigui parell, multiplicat per un nombre parell dona de resultat un nombre parell). Els ideals permeten definir una relació entre els elements d'un anell: dos elements estan relacionats quan la seva diferència pertany a l'ideal. Aquesta relació resulta ser una relació d'equivalència. Per exemple, si l'ideal és el dels nombres parells dins dels enters, tenim que tots el múltiples de dos estan relacionats entre ells: la diferència de qualsevol parell de múltiples de dos és sempre un múltiple de dos. Alhora, els nombres obtinguts sumant 1 a un múltiple de dos (és a dir, els senars) també estan relacionats entre si perquè restant dos nombres d'aquest conjunt el resultat també és un múltiple de dos. A continuació es construeixen les classes d'equivalència identificant com si fossin un de sol tots els elements que estan relacionats. L'anell quocient és precisament el conjunt d'aquestes classes d'equivalència. Per exemple, l'anell quocient dels nombres enters respecte de l'ideal dels nombres parells té dos elements: La classe d'equivalència de tots els nombres parells i la classe d'equivalència dels nombres que s'obtenen sumant 1 a un nombre parell (els nombres senars). (ca) Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu. Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel). (cs) In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen. (de) En teoría de anillos, rama del álgebra abstracta, un anillo cociente, anillo factor o anillo de residuos es el anillo que se obtiene sobre el conjunto de clases de equivalencia de un anillo respecto a una relación de equivalencia dada por donde I es cualquier ideal bilateral cuando las operaciones en el conjunto de clases de equivalencia son inducidas por las operaciones en el anillo original. Es importante diferenciar el concepto de anillo cociente del de anillos de cocientes, obtenidos por un proceso de . (es) In ring theory, a branch of abstract algebra, a quotient ring, also known as factor ring, difference ring or residue class ring, is a construction quite similar to the quotient group in group theory and to the quotient space in linear algebra. It is a specific example of a quotient, as viewed from the general setting of universal algebra. Starting with a ring R and a two-sided ideal I in R, a new ring, the quotient ring R / I, is constructed, whose elements are the cosets of I in R subject to special + and ⋅ operations. (Only the fraction slash "/" is used in quotient ring notation, not a horizontal fraction bar.) Quotient rings are distinct from the so-called "quotient field", or field of fractions, of an integral domain as well as from the more general "rings of quotients" obtained by localization. (en) En mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. (fr) Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang hasil bagi, juga dikenal sebagai gelanggang faktor, gelanggang perbedaan atau gelanggang kelas residu, adalah konstruksi yang sangat mirip dengan dari teori kelompok dan dari aljabar linear. Ini adalah contoh spesifik dari , dilihat dari pengaturan umum aljabar universal. Yang pertama dimulai dengan cincin R dan I di R , dan membuat gelanggang baru, gelanggang hasil bagi R / I, yang elemennya adalah kohimpunan dari I pada R yang tunduk pada operasi + dan ⋅ khusus. Gelanggang hasil bagi berbeda dari yang disebut 'bidang hasil bagi', atau , dari serta dari 'gelanggang quotients' yang lebih umum diperoleh dengan . (in) 数学の一分野、環論における商環（しょうかん、英: quotient ring）、剰余環（じょうよかん、英: factor ring）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、英: residue class ring）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環 R/I と呼ばれる新しい環が、I の全ての元が零元に潰れる（I による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。 注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。 (ja) Em teoria dos anéis, o anel quociente é uma forma de simplificar um anel, tratando como iguais elementos distintos do anel. Em outras palavras, seja A um anel, e S um subconjunto (cujas propriedades serão determinadas com mais cuidado abaixo) de A. O anel quociente A/S deve ser o mais parecido com A que se possa, sujeito à regra que elementos de S são igualados a zero. A forma de fazer isso é construir algum conjunto A/S, e definir um homomorfismo de anéis , de forma que . (pt) Kvotring är ett begrepp inom ringteori. En kvotring associerad med en ring A och ett tvåsidigt ideal är en ring på mängden av ekvivalensklasser till en ekvivalensrelation definierad på A, där är på formen . Ringoperationerna på ärvs från . Detta visar sig vara väldefinierat, eftersom element i samma ekvivalensklass alla avbildas på element i en annan ekvivalensklass under ringoperationerna. Om är kommutativ är varje ideal tvåsidigt. Man kan jämföra en kvotring med en kvotgrupp, då denna bildas på liknande sätt med en ekvivalensrelation. Där har man en normal delgrupp i stället för ett ideal. (sv) Pierścień ilorazowy – pierścień zdefiniowany na klasach abstrakcji w zbiorze elementów wyjściowego pierścienia, w którym określono pewną relację równoważności elementów względem pewnego ideału tego pierścienia. Pojęcie analogiczne do grupy ilorazowej. (pl) В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається . (uk) Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом. (ru) 在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/rings.html%23ideals |
| dbo:wikiPageID | 184635 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 15510 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1083400180 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Prime_ideal dbr:Quaternion dbr:Ring_isomorphism dbr:Unit_circle dbr:Indeterminate_(variable) dbr:Integral_domain dbr:Universal_algebra dbc:Ring_theory dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Construction_of_the_real_numbers dbr:Coset dbr:Cosets dbr:Quotient_(universal_algebra) dbr:Quotient_group dbr:Quotient_module dbr:Modular_arithmetic dbr:Congruence_relation dbr:Equivalence_class dbr:Nilpotent dbr:Linear_algebra dbr:Commutative_algebra dbr:Commutative_ring dbr:Zero_ring dbc:Quotient_objects dbr:Fundamental_theorem_on_homomorphisms dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Kernel_(algebra) dbr:Maximal_ideal dbr:Two-sided_ideal dbr:Well-defined dbr:Irreducible_polynomial dbr:Minimal_polynomial_(field_theory) dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_variety dbr:Dual_number dbr:Equivalence_relation dbr:Even_number dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_field dbr:Germ_(mathematics) dbr:Goldie's_theorem dbr:Product_of_rings dbr:Quotient_space_(linear_algebra) dbr:Ring_(mathematics) dbr:Ring_theory dbr:Hyperinteger dbr:Hyperreal_number dbr:Surjective dbr:Abstract_algebra dbr:Academic_Press dbr:Chinese_remainder_theorem dbr:Bijection dbr:Biquaternion dbr:Coefficient dbr:Direct_sum_of_algebras dbr:Associated_graded_ring dbr:Associative_algebra dbr:Manifold dbr:Polynomial dbr:Split-complex_number dbr:Split-quaternion dbr:Field_extension dbr:Field_of_fractions dbr:Free_algebra dbr:Coordinate_ring dbr:Coprime dbr:Group_theory dbr:If_and_only_if dbr:Imaginary_unit dbr:Integer dbr:Neighborhood_(mathematics) dbr:Real_number dbr:Mathematical_Association_of_America dbr:Standard_part_function dbr:Localization_of_a_ring dbr:Universal_property dbr:Real_line dbr:Unit_hyperbola dbr:Residue_field dbr:Subalgebra dbr:Ring_homomorphism dbr:Canonical_homomorphism dbr:B.L._van_der_Waerden dbr:Ring_of_polynomials dbr:Fraction_bar dbr:Fraction_slash dbr:Naturally_isomorphic dbr:Anti-commutative_property |
| dbp:id | p/q076920 (en) |
| dbp:title | Quotient ring (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:! dbt:Angbr dbt:Cite_book dbt:I_sup dbt:Math dbt:Reflist dbt:Ring_theory_sidebar dbt:Null |
| dcterms:subject | dbc:Ring_theory dbc:Quotient_objects |
| gold:hypernym | dbr:Construction |
| rdf:type | dbo:Company yago:Abstraction100002137 yago:Chemical114806838 yago:Fraction114922107 yago:Material114580897 yago:Matter100020827 yago:Part113809207 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Relation100031921 yago:Substance100019613 yago:WikicatFractions |
| rdfs:comment | Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu. Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel). (cs) In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen. (de) En teoría de anillos, rama del álgebra abstracta, un anillo cociente, anillo factor o anillo de residuos es el anillo que se obtiene sobre el conjunto de clases de equivalencia de un anillo respecto a una relación de equivalencia dada por donde I es cualquier ideal bilateral cuando las operaciones en el conjunto de clases de equivalencia son inducidas por las operaciones en el anillo original. Es importante diferenciar el concepto de anillo cociente del de anillos de cocientes, obtenidos por un proceso de . (es) En mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. (fr) 数学の一分野、環論における商環（しょうかん、英: quotient ring）、剰余環（じょうよかん、英: factor ring）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、英: residue class ring）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環 R/I と呼ばれる新しい環が、I の全ての元が零元に潰れる（I による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。 注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。 (ja) Em teoria dos anéis, o anel quociente é uma forma de simplificar um anel, tratando como iguais elementos distintos do anel. Em outras palavras, seja A um anel, e S um subconjunto (cujas propriedades serão determinadas com mais cuidado abaixo) de A. O anel quociente A/S deve ser o mais parecido com A que se possa, sujeito à regra que elementos de S são igualados a zero. A forma de fazer isso é construir algum conjunto A/S, e definir um homomorfismo de anéis , de forma que . (pt) Pierścień ilorazowy – pierścień zdefiniowany na klasach abstrakcji w zbiorze elementów wyjściowego pierścienia, w którym określono pewną relację równoważności elementów względem pewnego ideału tego pierścienia. Pojęcie analogiczne do grupy ilorazowej. (pl) В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається . (uk) Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом. (ru) 在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 (zh) En matemàtiques, un anell quocient respecte d'un ideal és el conjunt quocient de les classes d'equivalència dels elements tals que la seva resta pertany a l'ideal. Els ideals dels anells són conjunts que, a més de ser , atrauen cap a dins de l'ideal el resultat de multiplicar qualsevol element de l'anell per un element de l'ideal, per exemple el {0} tot sol és sempre un ideal (perquè qualsevol element multiplicat per 0 dona 0). En el nombres enters els nombres parells són un ideal (perquè a més de formar un anell qualsevol nombre, encara que no sigui parell, multiplicat per un nombre parell dona de resultat un nombre parell). (ca) In ring theory, a branch of abstract algebra, a quotient ring, also known as factor ring, difference ring or residue class ring, is a construction quite similar to the quotient group in group theory and to the quotient space in linear algebra. It is a specific example of a quotient, as viewed from the general setting of universal algebra. Starting with a ring R and a two-sided ideal I in R, a new ring, the quotient ring R / I, is constructed, whose elements are the cosets of I in R subject to special + and ⋅ operations. (Only the fraction slash "/" is used in quotient ring notation, not a horizontal fraction bar.) (en) Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang hasil bagi, juga dikenal sebagai gelanggang faktor, gelanggang perbedaan atau gelanggang kelas residu, adalah konstruksi yang sangat mirip dengan dari teori kelompok dan dari aljabar linear. Ini adalah contoh spesifik dari , dilihat dari pengaturan umum aljabar universal. Yang pertama dimulai dengan cincin R dan I di R , dan membuat gelanggang baru, gelanggang hasil bagi R / I, yang elemennya adalah kohimpunan dari I pada R yang tunduk pada operasi + dan ⋅ khusus. (in) Kvotring är ett begrepp inom ringteori. En kvotring associerad med en ring A och ett tvåsidigt ideal är en ring på mängden av ekvivalensklasser till en ekvivalensrelation definierad på A, där är på formen . Ringoperationerna på ärvs från . Detta visar sig vara väldefinierat, eftersom element i samma ekvivalensklass alla avbildas på element i en annan ekvivalensklass under ringoperationerna. Om är kommutativ är varje ideal tvåsidigt. (sv) |
| rdfs:label | Anell quocient (ca) Faktorokruh (cs) Faktorring (de) Anillo cociente (es) Gelanggang hasil bagi (in) Anneau quotient (fr) 몫환 (ko) 剰余環 (ja) Quotient ring (en) Pierścień ilorazowy (pl) Anel quociente (pt) Факторкольцо (ru) Kvotring (sv) 商环 (zh) Фактор-кільце (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Quotient ring yago-res:Quotient ring wikidata:Quotient ring dbpedia-ca:Quotient ring dbpedia-cs:Quotient ring dbpedia-de:Quotient ring dbpedia-es:Quotient ring dbpedia-fa:Quotient ring dbpedia-fi:Quotient ring dbpedia-fr:Quotient ring dbpedia-he:Quotient ring dbpedia-id:Quotient ring dbpedia-ja:Quotient ring dbpedia-ko:Quotient ring http://mn.dbpedia.org/resource/Коэффициенттэй_цагираг dbpedia-pl:Quotient ring dbpedia-pt:Quotient ring dbpedia-ru:Quotient ring dbpedia-sv:Quotient ring dbpedia-uk:Quotient ring dbpedia-zh:Quotient ring https://global.dbpedia.org/id/4odpn |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Quotient_ring?oldid=1083400180&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Quotient_ring |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Factor_Ring dbr:Factor_ring dbr:Quotient_Ring dbr:Quotient_associative_algebra dbr:Residue_class_ring dbr:Residue_ring |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Canonical_map dbr:Prime_ideal dbr:Quaternion dbr:Factor dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:List_of_commutative_algebra_topics dbr:Module_(mathematics) dbr:Primitive_ideal dbr:Algebraic_function_field dbr:Algebraically_closed_field dbr:Applications_of_dual_quaternions_to_2D_geometry dbr:Bhargava_factorial dbr:List_of_mathematical_symbols_by_subject dbr:Rng_(algebra) dbr:Valuation_ring dbr:Vector_space dbr:Dedekind_zeta_function dbr:Durand–Kerner_method dbr:Injective_module dbr:Integral_domain dbr:Lie_algebra_representation dbr:*-algebra dbr:Complex_number dbr:Generic_matrix_ring dbr:Nilradical_of_a_ring dbr:Noetherian_ring dbr:Serial_module dbr:Quotient dbr:Quotient_(universal_algebra) dbr:Quotient_category dbr:Quotient_module dbr:Quotient_type dbr:Clifford_algebra dbr:GF(2) dbr:Gaussian_integer dbr:Glossary_of_ring_theory dbr:Modular_arithmetic dbr:Monomial_ideal dbr:Montgomery_modular_multiplication dbr:Conductor_(ring_theory) dbr:Congruence_relation dbr:Equations_defining_abelian_varieties dbr:Equivalence_class dbr:Super_vector_space dbr:Localization_(commutative_algebra) dbr:Zero_ring dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Ideal_class_group dbr:Ideal_lattice dbr:Ideal_norm dbr:Ideal_quotient dbr:Idempotent_(ring_theory) dbr:Kernel_(algebra) dbr:Koszul–Tate_resolution dbr:Mathematics_Made_Difficult dbr:Maximal_ideal dbr:Weyl_algebra dbr:Galois_ring dbr:Irreducible_polynomial dbr:Irreducible_ring dbr:Kasch_ring dbr:Local_Euler_characteristic_formula dbr:Local_ring dbr:Minimal_polynomial_(field_theory) dbr:Abstract_simplicial_complex dbr:Affine_variety dbr:Ajit_Iqbal_Singh dbr:Algebraic_variety dbr:Dual_number dbr:Euclidean_domain dbr:Extended_Euclidean_algorithm dbr:Exterior_algebra dbr:Fermat_(computer_algebra_system) dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_field dbr:P-adic_number dbr:Cellular_algebra dbr:Differential_operator dbr:Goldman_domain dbr:Graded-symmetric_algebra dbr:Hilbert–Burch_theorem dbr:Isomorphism_theorems dbr:List_of_algebraic_constructions dbr:Primary_decomposition dbr:Prime_element dbr:Product_of_rings dbr:Projective_variety dbr:Quaternion_group dbr:Radical_of_an_ideal dbr:Rees_algebra dbr:Regular_ideal dbr:Ring_(mathematics) dbr:Ring_learning_with_errors dbr:Hyperreal_number dbr:Absolute_value_(algebra) dbr:Characteristic_(algebra) dbr:Chinese_remainder_theorem dbr:Biquaternion dbr:Symmetric_algebra dbr:Cohomology dbr:Eisenbud–Levine–Khimshiashvili_signature_formula dbr:Hensel's_lemma dbr:Henselian_ring dbr:Homogeneous_coordinate_ring dbr:Reflective_subcategory dbr:Dimension_theory_(algebra) dbr:Artinian_ring dbr:Associative_algebra dbr:Boolean_ring dbr:Polynomial_ring dbr:Split-complex_number dbr:Splitting_field dbr:Field_extension dbr:Field_of_fractions dbr:Fredholm_operator dbr:Factor_Ring dbr:Factor_ring dbr:Category_of_rings dbr:Unfolding_(functions) dbr:Universal_C*-algebra dbr:Unifying_theories_in_mathematics dbr:Factorization_of_polynomials dbr:Quasi-Frobenius_ring dbr:Reduced_ring dbr:Excellent_ring dbr:Finitely_generated_algebra dbr:Tschirnhaus_transformation dbr:Universal_property dbr:Nagata_ring dbr:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n dbr:Weierstrass_ring dbr:Noncommutative_projective_geometry dbr:Residue_field dbr:Restricted_power_series dbr:Quotient_(disambiguation) dbr:Quotient_Ring dbr:Ring_of_mixed_characteristic dbr:Simple_extension dbr:Z2 dbr:Quotient_associative_algebra dbr:Residue_class_ring dbr:Residue_ring |
| is owl:differentFrom of | dbr:Field_of_fractions |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Quotient_ring |