Овалы Кассини | это... Что такое Овалы Кассини? (original) (raw)

Овалы Кассини

Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2_a_ является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс [1].

Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

Уравнения

Расстояние между фокусами 2_c_.

В прямоугольных координатах:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Вывод
Фокусы — _F_1( − c;0) и _F_2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y), найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к _a_2: $\textstyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2$ Возводим в квадрат обе части равенства: $\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=a^4$ Раскрываем скобки в левой части: $\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: $\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Вывод

Фокусы — _F_1( − c;0) и _F_2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y), найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к _a_2: $\textstyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2$ Возводим в квадрат обе части равенства: $\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=a^4$ Раскрываем скобки в левой части: $\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: $\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Явное уравнение в прямоугольных координатах:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4c^2x^2}-x^2-c^2}$

Вывод
$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Возводим в квадрат и раскрываем скобки: $\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4-2c^{2}x^2-2c^{2}y^2=a^4-c^4$ Приводим к виду $\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2-a^4+c^4=0$ Это квадратное уравнение относительно _y_2. Решив его, получим $\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{a^4+2x^{2}c^2}$ Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: $\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$ где положитильный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Возводим в квадрат и раскрываем скобки: $\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4-2c^{2}x^2-2c^{2}y^2=a^4-c^4$ Приводим к виду $\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2-a^4+c^4=0$ Это квадратное уравнение относительно _y_2. Решив его, получим $\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{a^4+2x^{2}c^2}$ Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: $\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$ где положитильный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

В полярной системе координат:

$\rho^4-2c^2\rho^2\cos{2\varphi}=a^4-c^4$

Вывод
$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим: $\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2-2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)=a^4-c^4$ Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1: $\textstyle\rho^4-2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=a^4-c^4$ Используем ещё одно тождество: cos2α − sin2α = c o _s_2α: $\textstyle\rho^4-2c^2 \rho^2\cos 2\varphi=a^4-c^4$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим: $\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2-2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)=a^4-c^4$ Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1: $\textstyle\rho^4-2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=a^4-c^4$ Используем ещё одно тождество: cos2α − sin2α = c o _s_2α: $\textstyle\rho^4-2c^2 \rho^2\cos 2\varphi=a^4-c^4$

Особенности формы

Меняется параметр a

Меняется параметр c

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: c — половина расстояния между фокусами и a — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ :

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При $c\to\infty$ форма кривой стремится к двум точкам.

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью O Y стремится к нулю, когда a стремится к c и к бесконечности, когда a стремится к $c\sqrt{2}$ .

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

По мере увеличения a (то есть стремления отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ к нулю) кривая стремится к окружности радиуса a. Если c = 0, то отношение $\textstyle\frac{c}{a}$ достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
При $0<a\leqslant c\sqrt{2}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

$\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c} \\ y=\pm\frac{a^2}{2c}\end{cases}$

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.

При $c<a\leqslant c\sqrt{2}$ кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

$\begin{cases}\rho=\sqrt[4]{\frac{a^4-c^4}{3}} \\ \cos 2\varphi =-\sqrt{\frac{1}{3}\left (\frac{a^4}{c^4}-1\right )}\end{cases}$

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами $\left (0;\pm c\right )$ .

Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

$R=\frac{a^2\rho}{\rho^2+c^2\cos{2\varphi}}=\frac{2a^2\rho^3}{c^4-a^4+3\rho^4}$

См. также

Лемниската Бута
Лемниската Бернулли
Плоская кривая
Алгебраическая кривая
Многофокусная алгебраическая кривая

Литература

Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.

Примечания

↑ Космические овалы Кассини Е. Скляревский

Кривые
Плоские кривые
Алгебраические
Конические сечения (2-й порядок)	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
Эллиптические (3-й порядок)	Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции
Лемнискаты (2n порядок)	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные кривые	Сплайны (B-сплайн · Кубический сплайн · Моносплайн · Сплайн Эрмита) • Кривая Безье
Другие (в скобках указан порядок)	Верзьера Аньези (3) • Декартов лист (3) • Полукубическая парабола (3) • Строфоида (3) • Циссоида Диокла (3)
Трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные (порождённыекатящейся окружностью)	Циклоида • Эпициклоида (Кардиоида · Нефроида) • Гипоциклоида (Дельтоида (кривая Штейнера) · Астроида) • Трохоида (Удлинённая циклоида · Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая эпициклоида · Укороченная эпициклоида · Улитка Паскаля · «Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Фрактальные	Кривая Коха • Кривая Леви • Кривая Минковского • Кривая Пеано • Топологически: салфетка и ковёр Серпинского, губка Менгера
Другие	Квадратриса • Кривая погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Кривая Безье • Кривая постоянной ширины • Синусоида
Неплоские кривые
Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Связанные понятия
Определения кривой	Аналитическая кривая • Кривая Жордана • Канторова кривая • Кривая Урысона
Преобразованные кривые	Эволюта • Эвольвента • Каустика

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Овалы Кассини" в других словарях:

Овалы Кассини — см. Кассинонда … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Кассини овал — Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c) Овал Кассини геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a. Частным случаем овала Кассини при… … Википедия
Кассини овалы — алгебраические кривые 4 го порядка; множество точек, произведение расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 постоянно. Названы по имени Дж. Кассини. * * * КАССИНИ ОВАЛЫ КАССИНИ ОВАЛЫ, алгебраические кривые 4 го порядка; множество точек,… … Энциклопедический словарь
Кассини — (итал. Cassini) фамилия итальянского происхождения. Научная династия Кассини Кассини, Джованни Доменико или Жан Доминик (1625 1712) известный итальянский и французский астроном. Кассини, Жак (Jacques Cassini, 1677 1756), сын… … Википедия
КАССИНИ ОВАЛЫ — алгебраические кривые 4 го порядка; множество точек, произведение расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 постоянно. Названы по имени Дж. Кассини … Большой Энциклопедический словарь
Овал Кассини — Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c) … Википедия
КАССИНИ ОВАЛЫ — алгебр. кривые 4 го порядка (рис.); множество точек, произведение расстояний к рых от двух данных точек F1 и F2 постоянно. Названы по имени Дж. Кассини … Естествознание. Энциклопедический словарь
Линия — I Линия (от лат. linea) геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной… … Большая советская энциклопедия
Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… … Большая советская энциклопедия
Лемниската — кривая, имеющая форму цифры восемь. Закон, по которому строится это кривая, заключается в том, что произведение расстояний точек Л. от двух ее фокусов есть величина постоянная, равная квадрату половины междуфокального расстояния. Уравнение Л.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона