Астроида | это... Что такое Астроида? (original) (raw)

Построение астроиды, альтернативное изображение

Астроида

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R=4r . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем k=4 .

История

Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}\,$

Параметрическое уравнение:

$x = R\cos^3 t; \quad y = R\sin^3 t\,$

Вывод

Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмем уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтем R=4r и получим наши уравнения.

Уравнение в рациональном виде:

$(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0\,$

Свойства

Имеются четыре каспа.
Длина дуги от точки с 0 до $t\le \pi/2$

$l=\frac32R\sin^2t$

Длина всей кривой .
Радиус кривизны:

$r(t)=\frac32R\sin2t$

Площадь, ограниченная кривой:

$S=\frac{3}{8} \pi R^2$

Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
Астроида является эволютой эллипса.

Литература

Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера