Эллиптический интеграл | это... Что такое Эллиптический интеграл? (original) (raw)
В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.
В современном представлении, эллиптический интеграл — это некоторая функция , которая может быть представлена в следующем виде:
,
где — рациональная функция двух аргументов,
— квадратный корень из многочлена 3 или 4 степени с несовпадающими корнями,
— константа.
В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда имеет повторяющиеся корни или когда
не содержит нечетных степеней
. Однако для каждого эллиптического интеграла существует механизм приведения его к сумме элементарных функций и трёх нормальных эллиптических интегралов (то есть эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода).
Содержание
- 1 Обозначения
- 2 Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)
- 3 Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)
- 4 Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)
- 5 Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода
- 6 Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода
- 7 Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода
- 8 Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)
- 9 См. также
- 10 Ссылки
Обозначения
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:
Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр. Г. Корн, Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»)
Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.
Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:
Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что зависит также и от
. Несколько дополнительных уравнений связывают
с другими параметрами:
и
Последее иногда называется дельта амплитуда и записывается как
.
Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительнй модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:
Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода определяется как
,
или, в форме Якоби,
.
Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «, ». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение
.
Частные случаи
;
;
;
;
Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как
или, используя подстановку ,
Частные случаи
;
;
;
;
Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода определяется как
или
Число называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла
стремится к бесконечности для любых
.
Гиперболический случай
(0 < c < m)
Введем дополнительные обозначения:
;
;
;
;
Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции:
,
где
и
(c > 1)
С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как
.
Введем дополнительно величину
.
Тогда:
Круговой случай
(m < c < 1)
Введем дополнительные обозначения:
;
;
;
;
Тогда эллиптический интеграл равен:
,
где
и
(c < 0)
С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как
.
Введем дополнительно величину
.
Тогда:
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода
В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна
, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:
или
Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:
,
что эквивалентно выражению
,
где обозначает двойной факториал.
Полный эллиптический интеграл первого рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
Частные случаи
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода
В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна
, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:
или
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:
что эквивалентно выражению
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
Частные случаи
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода
Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и второго рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:
или
Гиперболический случай
(0 < c < m)
,
где — дзета-функция Якоби
(c > 1)
,
Круговой случай
(m < c < 1)
,
где — лямбда-функция Хеймана
(c < 0)
,
Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)
Дзета-функция Якоби
;
Лямбда-функция Хеймана
или
См. также
- Эллиптические функции
- Эллиптическая кривая
- Специальные функции
- Аппроксимации эллиптических интегралов
Ссылки
- Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
- Г. Корн, Т Корн // Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977
- Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т3 (гл. 13)
- Ахиезер Элементы теории эллиптический функций. (гл 3,7)
- Эллиптические функции, Процедуры для Matlab