Декартов лист | это... Что такое Декартов лист? (original) (raw)

Декартов лист

Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x^3 + y^3 = 3axy . Параметр определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где и принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения

В прямоугольной системе по определению:

$\textstyle x^3 + y^3 = 3axy$

В полярной системе:

$\rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}$ .

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

$\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}$ , где $t=\operatorname{tg}\varphi$ .

Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на $135^\circ$ кривую. Её уравнения выглядят так:

В прямоугольной системе:

$y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$ , где $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

Параметрическое:

$x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$

В полярных координатах:

$\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$

Вывод уравнений повёрнутой кривой
Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и переориентацией оси OX в противоположном направлении: $\begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -u \\ v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix} \,\!$ Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так: $\textstyle x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha$ $\textstyle y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha$ , или $\textstyle x = - \frac{u}{ \sqrt {2}} - \frac{v}{ \sqrt {2}}$ $\textstyle y = - \frac{u}{ \sqrt {2}} + \frac{v}{ \sqrt {2}}$ , После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: $v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}}$ . Вводим параметр $l = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ , последнее уравнение перепишется так: $v^2 = u^2 \frac{l + u}{l - 3u}$ или $v = \pm u \sqrt{\frac{l + u}{l - 3u}}$ . Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: $y = \pm x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}$ Подставив в уравнение предыдущее $x = \rho \cos \varphi,\ y = \rho \sin \varphi$ , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: $\rho \sin \varphi= \rho \cos \varphi \sqrt{ \frac{t + \rho \cos \varphi}{t - 3 \rho \cos \varphi}}$ . Решая данное выражение относительно $\rho$ , получаем: $\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$ .

Вывод уравнений повёрнутой кривой

Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и переориентацией оси OX в противоположном направлении: $\begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -u \\ v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix} \,\!$ Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так: $\textstyle x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha$ $\textstyle y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha$ , или $\textstyle x = - \frac{u}{ \sqrt {2}} - \frac{v}{ \sqrt {2}}$ $\textstyle y = - \frac{u}{ \sqrt {2}} + \frac{v}{ \sqrt {2}}$ , После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: $v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}}$ . Вводим параметр $l = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ , последнее уравнение перепишется так: $v^2 = u^2 \frac{l + u}{l - 3u}$ или $v = \pm u \sqrt{\frac{l + u}{l - 3u}}$ . Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: $y = \pm x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}$ Подставив в уравнение предыдущее $x = \rho \cos \varphi,\ y = \rho \sin \varphi$ , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: $\rho \sin \varphi= \rho \cos \varphi \sqrt{ \frac{t + \rho \cos \varphi}{t - 3 \rho \cos \varphi}}$ . Решая данное выражение относительно $\rho$ , получаем: $\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$ .

Свойства

Вывод уравнения асимптоты
Для повёрнутого декартового листа: При имеем или $\textstyle\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}= 0$ , Рассматриваем второй случай: , то есть, , то есть $\textstyle x =-\frac{3a}{\sqrt{2}}$ , значит $\textstyle OA = \frac{3a}{\sqrt{2}}$ . Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: , следовательно, $\textstyle x=\frac{l}{3}=\frac{a}{\sqrt{2}}$ . После поворота осей на $-135^\circ$ получаем окончательное уравнение

Вывод уравнения асимптоты

Для повёрнутого декартового листа: При y=0

имеем

или $\textstyle\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}= 0$ , Рассматриваем второй случай: l+x=0

, то есть, x=-l

, то есть $\textstyle x =-\frac{3a}{\sqrt{2}}$ , значит $\textstyle OA = \frac{3a}{\sqrt{2}}$ . Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: l-3x=0

, следовательно, $\textstyle x=\frac{l}{3}=\frac{a}{\sqrt{2}}$ . После поворота осей на $-135^\circ$ получаем окончательное уравнение x+y+a=0

Нахождение площади
Площадь , заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: $\frac{1}{2}S_1=-\int\limits_{-l}^{0} x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}\,dx$ , где $l = \frac{3a}{\sqrt{2}}$ . Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: $u = l - 3x,\ l + x = \frac{4}{3}l-\frac{1}{3}u,\ dx =-\frac{1}{3}du$ . Пределы интегрирования: $x = -l \Rightarrow\; u = 4l, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = l$ Интеграл преобразуется к виду: $\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \left(l - u \right) \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ или $\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} u \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ Первый интеграл из этого уравнения: $\frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ . Подстановка: $u = v^2, \qquad du = 2vdv$ . Пределы интегрирования: $u = 4l \Rightarrow\; v = 2 \sqrt{l}, \qquad u = l \Rightarrow\; v = \sqrt{l}$ . Интеграл преобразуется к виду: $\frac{2l}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{2 \sqrt{l}}^{ \sqrt{l}} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{l} \right)^2 - v^2}\,dv=$ $= \frac{2l}{ \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{t} \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2 \sqrt{l} \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2 \sqrt{l}} \right) \right] \Bigg\|^\sqrt{l}_{2\sqrt{l}} = \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right]$ . Второй интеграл: $- \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \sqrt{4tu^2 - u^2}\,du$ Подстановка: $u = v + 2l, \qquad du = dv$ . Пределы интегрирования: $u = 4l \Rightarrow\; v = 2t, \qquad u = l \Rightarrow\; v = -l$ . Интеграл преобразуется к виду: $- \frac{1}{9\sqrt{3}} \int\limits_{2l}^{-l} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2}\,dv =$ ![ = - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2l \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2l} \right) \right] \Bigg

Нахождение площади S_1

Площадь

, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: $\frac{1}{2}S_1=-\int\limits_{-l}^{0} x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}\,dx$ , где $l = \frac{3a}{\sqrt{2}}$ . Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: $u = l - 3x,\ l + x = \frac{4}{3}l-\frac{1}{3}u,\ dx =-\frac{1}{3}du$ . Пределы интегрирования: $x = -l \Rightarrow\; u = 4l, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = l$ Интеграл преобразуется к виду: $\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \left(l - u \right) \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ или $\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} u \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ Первый интеграл из этого уравнения: $\frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ . Подстановка: $u = v^2, \qquad du = 2vdv$ . Пределы интегрирования: $u = 4l \Rightarrow\; v = 2 \sqrt{l}, \qquad u = l \Rightarrow\; v = \sqrt{l}$ . Интеграл преобразуется к виду: $\frac{2l}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{2 \sqrt{l}}^{ \sqrt{l}} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{l} \right)^2 - v^2}\,dv=$ $= \frac{2l}{ \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{t} \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2 \sqrt{l} \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2 \sqrt{l}} \right) \right] \Bigg|^\sqrt{l}_{2\sqrt{l}} = \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right]$ . Второй интеграл: $- \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \sqrt{4tu^2 - u^2}\,du$ Подстановка: $u = v + 2l, \qquad du = dv$ . Пределы интегрирования: $u = 4l \Rightarrow\; v = 2t, \qquad u = l \Rightarrow\; v = -l$ . Интеграл преобразуется к виду: $- \frac{1}{9\sqrt{3}} \int\limits_{2l}^{-l} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2}\,dv =$ ![ = - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2l \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2l} \right) \right] \Bigg

Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли $\textstyle S_2=S_1=\frac{3}{2}a^2$ .

Нахождение площади
Площадь , заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь ; интеграл берётся в пределах от 0 до $\textstyle\frac{l}{3}$ . $\frac{1}{2}S_2 = \int\limits_{0}^{ \frac{l}{3}} x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}\,dx$ Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае. $S_2 = \frac {l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2$ , то есть, площади и равны между собой.

Нахождение площади S_2

Площадь

, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь S_1

; интеграл берётся в пределах от 0 до $\textstyle\frac{l}{3}$ . $\frac{1}{2}S_2 = \int\limits_{0}^{ \frac{l}{3}} x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}\,dx$ Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае. $S_2 = \frac {l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2$ , то есть, площади S_1

равны между собой.

Нахождение объёма вращения
Объём () тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: $V_1 = \pi \int\limits_{-l}^{0} x^2 \frac{l + x}{l - 3x}\,dx =$ $= - \frac{ \pi}{3} \int\limits_{-l}^{0} x^2\,dx - \frac{4 \pi l}{9} \int\limits_{-l}^{0} x\,dx - \frac{4 \pi l^2}{27} \int\limits_{-l}^{0}\,dx + \frac{4 \pi l^3}{27} \int\limits_{-l}^{0} \frac{dx}{l - 3x}\,=$ $= \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right)$ . Итак: $V_1 = \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right)$ . Объём () тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от до $\frac{t}{3}$ . Этот интеграл равен бесконечности, то есть $V_2 = \infty$ .

Нахождение объёма вращения

Объём (

) тела, образованного при вращении дуги ACO

вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: $V_1 = \pi \int\limits_{-l}^{0} x^2 \frac{l + x}{l - 3x}\,dx =$ $= - \frac{ \pi}{3} \int\limits_{-l}^{0} x^2\,dx - \frac{4 \pi l}{9} \int\limits_{-l}^{0} x\,dx - \frac{4 \pi l^2}{27} \int\limits_{-l}^{0}\,dx + \frac{4 \pi l^3}{27} \int\limits_{-l}^{0} \frac{dx}{l - 3x}\,=$ $= \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right)$ . Итак: $V_1 = \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right)$ . Объём ( V_2

) тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от

до $\frac{t}{3}$ . Этот интеграл равен бесконечности, то есть $V_2 = \infty$ .

Исследование кривой

При y = 0 имеем x = 0 или $\sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} = 0$ , или $l + x = 0 \Rightarrow x = - l \Rightarrow x = - \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ , то есть $OA = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ .

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

$l - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{l}{3} = \frac{a}{ \sqrt{2}}$ .

Производная

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

$y' = \left( x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} \right)'$

$y' = \frac{2lx}{ \left( l - 3x \right) \left( \sqrt{l - 3x} \sqrt{l + x} \right)} + \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}$ .

Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: $x = - \frac{l}{ \sqrt{3}}$ . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге ACO — точка и минимум на нижней дуге ABO — точка . Значение функции в этих точках равно:

$y \left(- \frac{l}{ \sqrt{3}} \right) = \pm \frac{l}{ \sqrt{3}} \sqrt{ \frac{3 - \sqrt{3}}{ \sqrt{3} + 1}}$ .

Значение производной y’ в точке равно $\pm 1$ , то есть касательные в точке взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом $\pm \frac{ \pi}{4}$ .

Ссылки

	Декартов лист на Викискладе?

Д. К. Бобылёв Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера