Лемниската Бернулли | это... Что такое Лемниската Бернулли? (original) (raw)

Лемниската и её фокусы

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности.

Содержание

1 История
2 Уравнения
3 Свойства
4 Построения
- 4.1 При помощи секущих (способ Маклорена)
- 4.2 Шарнирные методы
  * 4.2.1 Вариант первый
  * 4.2.2 Вариант второй
5 См. также
6 Примечания
7 Литература
8 Ссылки

История

Название происходит от греч. λημνισχος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus и он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай [1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером [2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами , расположены они на оси , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

в прямоугольных координатах:

$\textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2)$

Вывод

Фокусы лемнискаты — F_1(-c;0) и F_2(c;0) . Возьмём произвольную точку M(x;y) . Произведение расстояний от фокусов до точки есть

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ ,

и по определению оно равно c^2 :

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=c^2$

Возводим в квадрат обе части равенства:

$\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=c^4$

Раскрываем скобки в левой части:

$\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=c^4$

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2x^2c^2+2y^2c^2=0$

Выносим общий множитель и переносим:

$\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)$

Далее можно сделать замену a^2=2c^2 , хотя это не обязательно:

$\textstyle (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

В данном случае — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)$

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

$\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4=2c^{2}x^2-2c^{2}y^2$

Приводим к виду

$\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2=0$

Это квадратное уравнение относительно y^2 . Решив его, получим

$\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{c^4+4x^{2}c^2}$

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

в полярных координатах:

$\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.$

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

$\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}$ , где $p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)$

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от $-\infty$ до $+\infty$ . При этом, когда параметр стремится к $-\infty$ , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к $+\infty$ , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Вывод уравнения

Уравнение лемнискаты в полярной системе

$\textstyle\rho^2=2c^2\cos 2\varphi$

подставим в формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ возведённые в квадрат:

$\textstyle\begin{cases}x^2=2c^2\cos2\varphi\cos^2\varphi\\y^2=2c^2\cos2\varphi\sin^2\varphi\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение:

$x^2=2c^2\cos2\varphi\cos^2\varphi$

Используем тригонометрические формулы $\textstyle cos 2\alpha=\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$ и $\textstyle\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$ :

$x^2=2c^2\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\varphi}{(1+\operatorname{tg}^2\varphi)^2}$

Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+1}$ :

$x^2=2c^2\dfrac{1-\left(\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)+1}\right)^2}{\left(1+\left(\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)+1}\right)^2\right)^2}$

После преобразований:

$x^2=2c^2\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\left(1+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right)^2}{\left(1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right)^2}$

Извлекаем корень из обеих частей равенства:

$x=c\sqrt{2}\dfrac{\left(1+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right)\sqrt{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}}{1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}$

Если произвести замену $\textstyle p^2=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)$ , то получаем искомое выражение для :

$x=c\sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4}$

Второе уравнение выводится аналогично с применением формулы $\textstyle\sin^2\varphi=\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$ .

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Пример

Пусть, например, $F_1(-1;2),\,F_2(2;-2)$ — фокусы.

Существует прямоугольная система координат (на рисунке — $\textstyle x''Oy''$ ), в которой уравнение лемнискаты имеет вид

$\textstyle \Big((x'')^2 + (y'')^2\Big)^2 - 2c^2 \Big((x'')^2 - (y'')^2\Big) = 0$

Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее $\textstyle xOy$ в $\textstyle x''Oy''$ . Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.

Середина отрезка F_1F_2 — $\textstyle F\left (\frac{1}{2};0\right )$ , значит перенос только на $\textstyle+\frac{1}{2}$ по оси :

$\begin{cases}x'=x-x_0 \\ y'=y-y_0\end{cases}=\begin{cases}x'=x-\frac{1}{2} \\ y'=y\end{cases}$

После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:

$2c=|F_1 F_2|=\sqrt{(2+1)^2+(-2-2)^2}=5$

значит $c=\frac{5}{2},\,2c^2=\frac{25}{2}$ .

Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона F_1 F_2 к :

$\sin\alpha=\frac{-2-2}{5}=-\frac{4}{5},\,\,(\alpha\approx -53^\circ)$

$\cos\alpha=\frac{2-(-1)}{5}=\frac{3}{5}$

Формулы преобразования:

$\begin{cases}x''=x'\cos\alpha+y'\sin\alpha \\ y''=-x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\end{cases}=\begin{cases}x''=\frac{3}{5}x'-\frac{4}{5}y' \\ y''=\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y'\end{cases}$

Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:

$\begin{cases}x''=\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y \\ y''=\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\end{cases}$

Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:

$\textstyle \bigg(\Big(\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y\Big)^2 + \Big(\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\Big)^2\bigg)^2 - 2c^2 \bigg(\Big(\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y\Big)^2 - \Big(\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\Big)^2\bigg) = 0$

После преобразований:

$x^4+y^4+24xy-2xy^2+2x^2y^2-2x^3+5x^2-4x-3y^2-12y+\frac{15}{16}=0$

Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами $F_1(-1;2),\,F_2(2;-2)$ в стандартной прямоугольной системе координат.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a=c , синусоидальной спирали с индексом n=2 и лемнискаты Бута при c=0 , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини

Свойства от синусоидальной спирали

Вывод
Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали: $R=\frac{\rho}{(m+1)\cos m\varphi}$ при однако, легко вывести и по определению. Уравнение лемнискаты в полярной системе: $\rho^2=2c^2\cos{2\varphi}$ Формулы перехода к полярной системе координат: $\begin{cases}x=\rho\cos{\varphi} \\ y=\rho\sin{\varphi}\end{cases}$ Выражаем $\textstyle\rho$ : $\begin{cases}\rho=\frac{x}{\cos{\varphi}} \\ \rho=\frac{y}{\sin{\varphi}}\end{cases}$ Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем и : $\begin{cases}\frac{x^2}{cos^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi} \\ \frac{y^2}{sin^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi}\end{cases}= \begin{cases}x=c\sqrt{2}\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}} \\ y=c\sqrt{2}\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}\end{cases}$ —- это параметрическое уравнение относительно $\varphi$ . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно $\textstyle p$ , указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: ![R=\frac{\Big((x')^2+(y')^2\Big)^{3/2}}{\|x'y''-x''y'

Вывод

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали: $R=\frac{\rho}{(m+1)\cos m\varphi}$ при m=2,

однако, легко вывести и по определению. Уравнение лемнискаты в полярной системе: $\rho^2=2c^2\cos{2\varphi}$ Формулы перехода к полярной системе координат: $\begin{cases}x=\rho\cos{\varphi} \\ y=\rho\sin{\varphi}\end{cases}$ Выражаем $\textstyle\rho$ : $\begin{cases}\rho=\frac{x}{\cos{\varphi}} \\ \rho=\frac{y}{\sin{\varphi}}\end{cases}$ Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем

: $\begin{cases}\frac{x^2}{cos^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi} \\ \frac{y^2}{sin^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi}\end{cases}= \begin{cases}x=c\sqrt{2}\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}} \\ y=c\sqrt{2}\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}\end{cases}$ —- это параметрическое уравнение относительно $\varphi$ . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно $\textstyle p$ , указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: ![R=\frac{\Big((x')^2+(y')^2\Big)^{3/2}}{|x'y''-x''y'

Собственные свойства

Гравитационное свойство лемнискаты

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса $\textstyle\frac{c}{\sqrt{2}}$ с центром в одном из фокусов. Из середины фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS ( и — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM_1 и OM_2 , равные хорде . Точки M_1 , M_2 лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — и — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — и ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: $\textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB$ . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — и соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок соединяется не с концом центрального , а с его серединой. Пропорции также другие: $\textstyle BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},\;AB=AO$ .

Построение лемнискаты при помощи секущих
Шарнирный метод
Другой вариант шарнирного метода

См. также

Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения
Лемниската Бута
Плоская кривая
Алгебраическая кривая
Бесконечность
Аттрактор Лоренца

Примечания

↑ Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых (англ.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.
↑ Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121-123.

Литература

Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Популярные лекции по математике. — М.: Гостехиздат, 1952. — С. 23-25.
Савелов А. А. Плоские кривые / Под. ред. А. П. Нордена. — М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — С. 155-162.
Lockwood E. H. A book of curves. — Cambridge: Cambridge university press, 1961. — P. 110-117.

Ссылки

Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Проверено 15 июня 2010.
Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.
Фаньяно и длина дуги лемнискаты (итал.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера