Эллиптические функции Якоби | это... Что такое Эллиптические функции Якоби? (original) (raw)

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного, и вспомогательных тэта-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение $\operatorname{\mathrm{sn}}$ для $\sin$ . Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сказано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Содержание

1 Введение
2 Обозначение
3 Определение как обратные к эллиптическим интегралам
4 Определение в терминах тэта-функций
5 Другие функции
6 Дополнительные теоремы
7 Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических
8 Соотношение между квадратами функций
9 Ном
10 Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
11 Ссылки
12 Литература

Введение

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Обозначение

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды φ, или обычно, в терминах u, данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра m, или как эллиптический модуль k, где k ² = m, или в терминах модулярного угла $o\!\varepsilon\,\!$ , где $m=\sin^2o\!\varepsilon\,\!$ .

Определение как обратные к эллиптическим интегралам

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Это возможно наипростейшее определение для понимания. Пусть

$u=\int\limits_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.$

Эллиптическая функция sn u задаётся как

$\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,$

и cn u определяется

$\operatorname {cn}\; u = \cos \phi$

$\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,$

Здесь угол $\phi$ называется амплитудой. $\operatorname {dn}\; u = \Delta(u)$ называется дельта амплитудой. Значение m является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне $0\leq m \leq 1$ , и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды $\phi$ и параметра m.

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда $\phi=\pi/2$ , то u равен четверти периода K.

Определение в терминах тэта-функций

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим $\vartheta(0;\tau)$ как $\vartheta$ , и $\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)$ соответственно как $\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}$ (тэта константы) тогда эллиптический модуль k равен $k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2$ . полагая $u = \pi \vartheta^2 z$ , получим

$\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$

$\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$

$\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}$

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля $k(\tau)$ , необходимо найти обратные к ним и выразить τ в терминах k. Начнём с дополнительного модуля $k' = \sqrt{1-k^2}$ . Как функция τ запишем

$k'(\tau) = ({\vartheta_{01} \over \vartheta})^2.$

Введём обозначение

$\ell = {1 \over 2} {1-\sqrt{k'} \over 1+\sqrt{k'}} = {1 \over 2} {\vartheta - \vartheta_{01} \over \vartheta + \vartheta_{01}}.$

Определим также ном q как $q = \exp (\pi i \tau)$ и разложим $\ell$ в ряд по степеням нома q. Получим

$\ell = {q+q^9+q^{25}+ \cdots \over 1+2q^4+2q^{16}+ \cdots}.$

Обращение ряда даёт

$q = \ell+2\ell^5+15\ell^9+150\ell^{13}+1707\ell^{17}+20910\ell^{21}+268616\ell^{25}+\cdots.$

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть τ больше или равна $\sqrt{3}/2$ , мы можем сказать, что значение q меньше или равно $\exp(-\pi \sqrt{3}/2)$ . Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для q.

Другие функции

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

$\operatorname{ns}(u)=1/\operatorname{sn}(u)$

$\operatorname{nc}(u)=1/\operatorname{cn}(u)$

$\operatorname{nd}(u)=1/\operatorname{dn}(u)$

Отношения трех главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

$\operatorname{sc}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{cn(u)}$

$\operatorname{sd}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{dn(u)}$

$\operatorname{dc}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{cn(u)}$

$\operatorname{ds}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{sn(u)}$

$\operatorname{cs}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{sn(u)}$

$\operatorname{cd}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{dn(u)}$

Более кратко запишем

$\operatorname{pq}(u)=\frac{\operatorname{pr}(u)}{\operatorname{qr(u)}}$

где все буквы p, q, и r являются любыми буквами s, c, d, n (следует помнить, что ss = cc = dd = nn = 1).

Дополнительные теоремы

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

$\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,$

$\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,$

Видно, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определенной вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнениятельных формул для функций Якоби

![\operatorname{cn}(x+y) = {\operatorname{cn}(x);\operatorname{cn}(y)

\operatorname{sn}(x);\operatorname{sn}(y);\operatorname{dn}(x);\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 ;\operatorname{sn}^2 (x) ;\operatorname{sn}^2 (y)}}, ](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/2d85daf4a0627f0e1bb7dab276814703.png)

$\operatorname{sn}(x+y) = {\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},$

![\operatorname{dn}(x+y) = {\operatorname{dn}(x);\operatorname{dn}(y)

k^2 ;\operatorname{sn}(x);\operatorname{sn}(y);\operatorname{cn}(x);\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 ;\operatorname{sn}^2 (x); \operatorname{sn}^2 (y)}}. ](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/50108a83f13e85acc4fd1830f08637c8.png)

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических

Если m = 1, то

$u = \int\limits_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} = \operatorname{ln}\left(\frac{1}{\cos\varphi} - \operatorname{tg}\varphi\right)$ ;

Отсюда

$\sin\varphi = \operatorname{sn}\,u = \frac{e^u-1}{e^u+1} = \operatorname{th}\,u$

Отсюда

$\operatorname{cn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u}$

$\operatorname{dn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u}$

Таким образом, при m = 1 эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

Если m = 0, то

$u = \int\limits_0^\varphi d\theta = \varphi$ ;

Отсюда

$\sin\varphi = \sin\,u = \operatorname{sn}\,u$ ,

а также

$\operatorname{cn}\,u = \cos\,u$ ,

$\operatorname{dn}\,u = 1$ ,

Таким образом, при m = 0 эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

$-\operatorname{dn}^2(u)+m_1= -m\;\operatorname{cn}^2(u) = m\;\operatorname{sn}^2(u)-m$

$-m_1\;\operatorname{nd}^2(u)+m_1= -mm_1\;\operatorname{sd}^2(u) = m\;\operatorname{cd}^2(u)-m$

$m_1\;\operatorname{sc}^2(u)+m_1= m_1\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-m$

$\operatorname{cs}^2(u)+m_1=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-m$

где m+m_1=1 и m=k^2 .

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что $\operatorname{pq}^2 \cdot \operatorname{qp}^2 = 1$ , а также $\operatorname{pq}=\operatorname{pr}/\operatorname{qr}$ где p, q, r — любые буквы s, c, d, n и ss = cc = dd = nn = 1.

Ном

Пусть ном равен $q=\exp(-\pi K'/K)$ и пусть аргумент — $v=\pi u /(2K)$ . Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

$\operatorname{sn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}} \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}} \sin (2n+1)v,$

$\operatorname{cn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}} \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}} \cos (2n+1)v,$

$\operatorname{dn}(u)=\frac{\pi}{2K} + \frac{2\pi}{K} \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}} \cos 2nv.$

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные трёх основных эллиптических функций якоби записываются в виде:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).$

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного k (0 < k < 1) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

Ссылки

Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Эллиптические функции // Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы (MathML)
Эллиптические функции, Процедуры для Matlab

Литература

Abramowitz Milton Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover. — ISBN ISBN 0-486-61272-4 See Chapter 16
Н. И. Ахиезер Элементы теории эллиптических функций. — Москва: Наука, 1970.
Дж. Н. Ватсон Э. Т. Уиттекер Курс современного анализа. Ч.2. Трансцендентные функции. — Москва: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера