Архимедова спираль | это... Что такое Архимедова спираль? (original) (raw)

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1) $\rho = k\phi, \,\!$

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Рис. 1

Повороту прямой на $2\pi$ соответствует смещение a = |BM| = |MA| = $2k\pi$ . Число a — называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

$\rho = \frac{a}{2\pi}\phi. \,\!$

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Рис. 2

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям $\phi$ соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали $a = 2k\pi$ . При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Площадь сектора

Площадь сектора OCM:

$S = \frac{1}{6} \phi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)\,\!$ ,

$\left(2 \right)$

где $\rho = OC$ , $\rho' = OM$ , $\phi = \angle COM$ .

При $\rho = 0$ , $\rho' = a$ , $\phi = 2\pi$ , формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

$S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1 \,\!$ ,

где S'_1 — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — .

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

Бесконечно малый отрезок дуги равен (см. Рис.3):

Рис. 3. Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

$dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}\,\!$ ,

где $d\rho$ — приращение радиуса $\rho$ , при приращении угла $\phi$ на $d\phi$ . Для бесконечно малого приращения угла $d\phi$ , справедливо:

$dh^2 = \left(\rho d \phi \right)^2 \,\!$ .

Поэтому:

$dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \phi^2} \,\!$

так как $\rho = k\phi$ и

$d \rho = k d \phi$

или

$dl = \sqrt{k^2 d \phi^2 + k^2 \phi^2 d \phi^2} \,\!$

$dl = k d \phi \sqrt{1 + \phi^2} \,\!$ .

Длина дуги равна интегралу от по $d \phi$ в пределах от до $\phi$ :

$L = \int\limits_{0}^ {\phi} k \sqrt{1 + \phi^2} d \phi \,\!$

$L = \frac{k}{2} \left[ \phi \sqrt{1 + \phi^2} + \ln \left( \phi + \sqrt{1 + \phi^2}\right) \right] \,\!$ .

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера