Строфоида | это... Что такое Строфоида? (original) (raw)
Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится так (см. Рис. 1):
Рис. 1
Рис. 2
В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.
В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.
Содержание
- 1 Уравнения
- 2 История
- 3 Нахождение касательной
- 4 Радиус кривизны
- 5 Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой
- 6 Объём тела вращения
Уравнения
Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол (для прямоугольной системы координат
), записывается так:
.
Уравнение прямой строфоиды:
.
Уравнение строфоиды в полярной системе координат:
.
Параметрическое уравнение строфоиды:
, где
.
Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.
В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.
История
Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.
Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.
Нахождение касательной
В точке производная
, то есть в точке
существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен
.
Радиус кривизны
в точке
определяется так:
.
Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой
Площадь петли строфоиды слева от оси ординат
.
Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат
.
Объём тела вращения
Объём () тела, образованного при вращении дуги
вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
(6)
Итак:
.
Объём () тела, образованного при вращении ветви
вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от
до
, где
:
.
Если , то
, то есть
.