Циссоида Диокла | это... Что такое Циссоида Диокла? (original) (raw)

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по , а ось ординат по , на отрезке OA=2a , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке проводится касательная . Из точки проводится произвольная прямая , которая пересекает окружность в точке и касательную в точке . От точки , в направлении точки , откладывается отрезок , длина которого равна длине отрезка . При вращении линии вокруг точки , точка описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 12 мая 2011.

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^2=\frac{x^3}{2a-x}.\qquad\qquad(1)$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\rho=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}.$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\rho=\frac{2a\left(1-\cos^2\varphi\right)}{\cos\varphi}=$

$=2a\left(\frac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi\right)=$

$=2a\left(\sec\varphi-\cos\varphi\right).$

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x=\frac{2a}{1+u^2},$

$y=\frac{2a}{u(1+u^2)},$

где

$u=\mathrm{tg}\,\varphi$ .

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ; ось симметрии — диаметр . Из точки проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой . Этим методом Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ( DOB ) замкнуть дугой окружности EAD , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Особенности кривой

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках и , которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту , уравнение которой: x=2a , где — радиус вспомогательной окружности.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

$S_1=3\pi a^2.$

Объём тела вращения

Объём ( V_1 ) тела, образованного при вращении ветви вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_1=\pi\int\limits_0^{2a}\frac{x^3}{2a-x}\,dx=$

$=\pi\int\limits_0^{2a}\left(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x}\right)\,dx=$

$=\left.-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln(2a-x))\right|^{2a}_0.$

Если $x\to 2a$ , то $\ln(2a-x)\to-\infty$ , то есть $V_1\to\infty$ .

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 12 мая 2011.