Эпициклоида | это... Что такое Эпициклоида? (original) (raw)

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен , радиус катящейся по ней окружности равен , то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно $\varphi$ :

$\begin{cases} x = (R + r)\cos\varphi - r\cos(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \\ y = (R + r)\sin\varphi - r\sin(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \end{cases}$

где $\alpha$ — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра неподвижной окружности, $\varphi$ — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси .

Можно ввести величину $\textstyle k=\frac{R}{r}$ , тогда уравнения предстанут в виде

$\begin{cases} x = r (k+1) \left( \cos \varphi- \frac{\cos((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \\ y = r (k+1) \left( \sin \varphi- \frac{\sin((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \end{cases}$

Величина определяет форму эпициклоиды. При k=1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k=2 — нефроиду.

Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
$k = 2.1 = \frac{21}{10}$
$k = 3.8 = \frac{19}{5}$
$k = 5.5 = \frac{11}{2}$
$k = 7.2 = \frac{36}{5}$
3 к 1
R = 1, r = 3
R = 1, r = 2

См. также

Ссылки

Java апплет, рисующий эпициклоиды с различными параметрами.

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера