Cantor set (original) (raw)
في الرياضيات، مجموعة كانتور هي مجموعة من النقاط تنتمي إلى قطعة مستقيمة ما ولها عدد من الخصائص المهمة والعميقة. اخترعت في عام 1874 من طرف هنري جون ستيفان سميث وكتب عنها جورج كانتور في عام 1883.
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| dbo:abstract | El conjunt de Cantor, o més precisament, el conjunt ternari de Cantor, és un conjunt fractal que es construeix per un procediment iteratiu a partir de l'interval [0,1], dividint-lo en tres parts iguals i eliminant-ne la part central. A continuació cadascuna de les dues parts que queden es divideixen en tres parts i s'eliminen les parts centrals. Després cadascuna de les 4 parts que queden es divideixen en tres parts i s'eliminen les parts centrals, i així indefinidament. Segons explica Fleron, aquesta mena de conjunts obtinguts disseccionant iterativament un interval de va ser introduïda per J. S. Smith en un article l'any 1875. Cantor, l'any 1883, va ser el primer en construir el conjunt que hem comentat, i que també s'anomena conjunt del terç intermedi o conjunt discontinu de Cantor. En aquest article utilitzarem el terme conjunt de Cantor per refererir-nos al conjunt ternari de Cantor, però en Topologia també s'utilitza conjunt de Cantor per referir-se a un espai mètric compacte perfecte i totalment inconnex, ja que és homeomorf al conjunt ternari de Cantor. També veurem altres generalitzacions que es coneixen com conjunts de Cantor. (ca) في الرياضيات، مجموعة كانتور هي مجموعة من النقاط تنتمي إلى قطعة مستقيمة ما ولها عدد من الخصائص المهمة والعميقة. اخترعت في عام 1874 من طرف هنري جون ستيفان سميث وكتب عنها جورج كانتور في عام 1883. (ar) Cantorovo diskontinuum je matematický pojem označující jistou množinu bodů na přímce. Tato množina má některé velmi zvláštní vlastnosti. Cantorovo diskontinuum bývá také často považováno za fraktál. (cs) In mathematics, the Cantor set is a set of points lying on a single line segment that has a number of unintuitive properties. It was discovered in 1874 by Henry John Stephen Smith and introduced by German mathematician Georg Cantor in 1883. Through consideration of this set, Cantor and others helped lay the foundations of modern point-set topology. The most common construction is the Cantor ternary set, built by removing the middle third of a line segment and then repeating the process with the remaining shorter segments. Cantor mentioned the ternary construction only in passing, as an example of a more general idea, that of a perfect set that is nowhere dense. More generally, in topology, a Cantor space is a topological space homeomorphic to the Cantor ternary set (equipped with its subspace topology). By a theorem of Brouwer, this is equivalent to being perfect nonempty, compact metrizable and zero dimensional. (en) La aro de Cantor estas matematika aro inventita de Georg Cantor. Ĝi konstruiĝas jene: * prenu intervalon [0,1] * partigu la intervalon en trionojn * la mezan trionon forĵetu, por ke restu [0, 1/3] kaj [2/3, 1]. * por ĉiu parto agu same. Finfine restas nur aro (la aro de Cantor) kun lebega mezuro 0,ĉar la sumo de la mezuroj de la forĵetitaj intervaloj estas 1. Tamen la aro estas kaj (havas saman grandecon kiel la originala intervalo [0,1]). Kelkfoje oni ankaŭ uzas la nomon Cantor-polvo, ĉar la aroaspektas kiel nura polvo. La konstrua principo de la aro de Cantor estas ĝeneraligebla al pli altaj dimensioj. La responda objekto du-dimensia nomiĝas tapiŝo de Sjerpinski (pole Sierpiński), la tri-dimensia spongo de Menger. Krom ĉi tiuj, eblas konstrui karteziajn produtojn de pluraj kopioj de la aro de Cantor. * Dudimensia analogo de aro de Cantor per kartezia produto * Tridimensia analogo de aro de Cantor per kartezia produto * Tapiŝo de Sjerpinski (dudimensia analogo de aro de Cantor) * Spongo de Menger (tridimensia analogo de aro de Cantor) (eo) Unter der Cantor-Menge, Cantormenge, auch cantorsches Diskontinuum, Cantor-Staub oder Wischmenge genannt, versteht man in der Mathematik eine bestimmte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen mit besonderen topologischen, maßtheoretischen, geometrischen und mengentheoretischen Eigenschaften: Sie ist * kompakt, perfekt, total unzusammenhängend (ein „Diskontinuum“) und nirgends dicht; * eine Lebesgue-Nullmenge; * selbstähnlich und hat eine nichtganzzahlige Hausdorffdimension (ist also ein Fraktal); * gleichmächtig zum Kontinuum (der Menge aller reellen Zahlen), also insbesondere überabzählbar. Die Cantormenge ist nach dem Mathematiker Georg Cantor benannt. Allgemeiner nennt man auch gewisse Mengen oder topologische Räume Cantormengen, wenn sie einen Teil dieser Eigenschaften besitzen. Welche dieser Eigenschaften gefordert werden, hängt dabei vom mathematischen Gebiet und oft auch vom Kontext ab. Ein topologischer Raum, der homöomorph zur Cantormenge ist, heißt Cantor-Raum. Neben vielen mehrdimensionalen Varianten der Cantormenge ist das Hauptbeispiel dieses Artikels, die Mitteldrittel-Cantormenge, eindimensional. (de) El conjunto de Cantor, llamado así por ser aporte de Georg Cantor en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes: * la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1. * la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo. Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ni numerable. Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido estudiado en 1875 por un matemático dublinés, (1826-1883). Pero como Smith falleció y su descubrimiento era prácticamente desconocido, fue Cantor el que quedó asociado a este conjunto. (es) En mathématiques, l'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor), est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. Il s'agit d'un sous-ensemble fermé de l'intervalle unité [0, 1], d'intérieur vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue. C'est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une . Il admet enfin une interprétation sous l'angle du développement des réels en base 3.Pour cette raison, il est souvent noté K3. On le construit de manière itérative à partir du segment [0, 1] en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant : (fr) 수학에서 칸토어 집합(영어: Cantor set)은 0과 1 사이의 실수로 이루어진 집합으로, 부터 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어진다. (ko) カントール集合（カントールしゅうごう、英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者により発見され、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された。 カントールの三進集合とも呼ばれ、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト（塵）と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた。 (ja) L'insieme di Cantor, introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor, è un sottoinsieme dell'intervallo dei numeri reali. (it) De cantorverzameling, genoemd naar de Duitse wiskundige Georg Cantor, is een deelverzameling van de reële getallen die volgens de maattheorie maat 0 heeft, maar toch dezelfde kardinaliteit heeft als de reële getallen. De precieze vorm staat hieronder beschreven. Naar analogie van de hieronder beschreven cantorverzameling noemt men soortgelijke verzamelingen ook cantorverzamelingen. De cantorverzameling is ook een zeer eenvoudige fractal. (nl) Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883 przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 . Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala. Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ). (pl) Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года: Пусть обозначает множество предельных точек множества . Существует ли нигде неплотное множество , такое что пересечениене пусто? (ru) Cantormängden är en fraktal uppkallad av mängdteori efter den tyske matematikern Georg Cantor. Cantormängden motsvaras av någonting mellan en punkt och en linje, en bruten linje, där linjens fragment (punkter) samlar sig i kluster som grupperar sig två och två och där varje kluster innehåller två nya kluster. (sv) O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo. (pt) 在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。 (zh) Множина Кантора — підмножина відрізку дійсних чисел [0,1], запропонована німецьким математиком Георгом Кантором. (uk) |
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(it) De cantorverzameling, genoemd naar de Duitse wiskundige Georg Cantor, is een deelverzameling van de reële getallen die volgens de maattheorie maat 0 heeft, maar toch dezelfde kardinaliteit heeft als de reële getallen. De precieze vorm staat hieronder beschreven. Naar analogie van de hieronder beschreven cantorverzameling noemt men soortgelijke verzamelingen ook cantorverzamelingen. De cantorverzameling is ook een zeer eenvoudige fractal. (nl) Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883 przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 . Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala. Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ). (pl) Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года: Пусть обозначает множество предельных точек множества . Существует ли нигде неплотное множество , такое что пересечениене пусто? (ru) Cantormängden är en fraktal uppkallad av mängdteori efter den tyske matematikern Georg Cantor. Cantormängden motsvaras av någonting mellan en punkt och en linje, en bruten linje, där linjens fragment (punkter) samlar sig i kluster som grupperar sig två och två och där varje kluster innehåller två nya kluster. (sv) O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo. (pt) 在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。 (zh) Множина Кантора — підмножина відрізку дійсних чисел [0,1], запропонована німецьким математиком Георгом Кантором. (uk) El conjunt de Cantor, o més precisament, el conjunt ternari de Cantor, és un conjunt fractal que es construeix per un procediment iteratiu a partir de l'interval [0,1], dividint-lo en tres parts iguals i eliminant-ne la part central. A continuació cadascuna de les dues parts que queden es divideixen en tres parts i s'eliminen les parts centrals. Després cadascuna de les 4 parts que queden es divideixen en tres parts i s'eliminen les parts centrals, i així indefinidament. (ca) Unter der Cantor-Menge, Cantormenge, auch cantorsches Diskontinuum, Cantor-Staub oder Wischmenge genannt, versteht man in der Mathematik eine bestimmte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen mit besonderen topologischen, maßtheoretischen, geometrischen und mengentheoretischen Eigenschaften: Sie ist Die Cantormenge ist nach dem Mathematiker Georg Cantor benannt. Neben vielen mehrdimensionalen Varianten der Cantormenge ist das Hauptbeispiel dieses Artikels, die Mitteldrittel-Cantormenge, eindimensional. (de) In mathematics, the Cantor set is a set of points lying on a single line segment that has a number of unintuitive properties. It was discovered in 1874 by Henry John Stephen Smith and introduced by German mathematician Georg Cantor in 1883. More generally, in topology, a Cantor space is a topological space homeomorphic to the Cantor ternary set (equipped with its subspace topology). 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