Modular group (original) (raw)
En matemáticas, el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z) de matrices de orden 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Las matrices A y −A se identifican entre sí. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante . El nombre "grupo modular" proviene de su relación con los y no guarda relación con la aritmética modular.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemáticas, el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z) de matrices de orden 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Las matrices A y −A se identifican entre sí. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante . El nombre "grupo modular" proviene de su relación con los y no guarda relación con la aritmética modular. (es) In mathematics, the modular group is the projective special linear group PSL(2, Z) of 2 × 2 matrices with integer coefficients and determinant 1. The matrices A and −A are identified. The modular group acts on the upper-half of the complex plane by fractional linear transformations, and the name "modular group" comes from the relation to moduli spaces and not from modular arithmetic. (en) En mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, ℤ), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, ℤ) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, ℤ) dans le groupe de Lie PGL(2, ℝ). On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. (fr) In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici. (it) 数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。 (ja) In de wiskunde is de modulaire groep, meestal aangeduid met het symbool , een groep van speciale transformaties van de bovenste helft van het complexe vlak. De modulaire groep is een fundamenteel object van studie in de getaltheorie, de meetkunde, de abstracte algebra en vele andere gebieden van de hogere wiskunde. De modulaire groep kan worden gerepresenteerd als een groep van meetkundige transformaties of als een groep van matrices. De naam komt van de relatie met moduliruimten en niet van modulair rekenen. (nl) 수학에서 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는 또는 . (ko) Grupa modularna (Gamma) – grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, i geometrii algebraicznej. można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy. (pl) Модулярна група — група всіх дробово-лінійних перетворень виду де — цілі числа, причому . Модулярна група ототожнюється з факторгрупою . Тут — спеціальна лінійна група. де — цілі числа . (uk) Em matemática, o grupo modular é o grupo linear especial projetivo PSL(2, Z) de matrizes 2 × 2 com coeficientes inteiros e determinante um. As matrizes A e −A são identificadas. O grupo modular age na metade superior do plano complexo por meio de transformações fracionárias lineares, e o nome "grupo modular" vem da relação com espaços de módulos e não da aritmética modular. (pt) Inom matematiken är modulära gruppen Γ ett fundamentalt objekt inom talteori, geometri, abstrakt algebra och många andra delar inom matematiken. Modulära gruppen kan ses som en grupp av geometriska transformationer eller som en grupp av matriser. (sv) Модулярная группа — группа всех преобразований Мёбиуса вида где — целые числа, причём . Модулярная группа отождествляется с факторгруппой . Здесь — группа матриц где — целые числа, . Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими и соотношениями , то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой , и циклической группы порядка 3, порождённой . Для произвольного преобразования из модулярной группы справедливо равенство: Поскольку мнимая часть ненулевая, а числа и — целые, не равные нулю одновременно, то величина отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума. Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из . Из этого следует, что для того, чтобы две точки принадлежали , их мнимая часть должна быть одинакова: . Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки: 1. * — любая точка; 2. * 3. * 4. * В частности, все точки области имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх: 1. * 2. * 3. * Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой . Чтобы показать, что всякая точка из конгруэнтна некоторой точке из , рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями и , точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования можно было бы строго увеличить мнимую часть). Легко показать также, что преобразования и порождают всю модулярную группу. Пусть — произвольное модулярное преобразование и — внутренняя точка . Как описано выше, найдём преобразование переводящее в область . Точки и лежат в , причём — внутренняя, следовательно, . Тогда преобразование лежит в стабилизаторе точки , который тривиален. Следовательно, лежит в группе, порождённой преобразованиями и . Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство , отождествляемое с фундаментальной областью модулярной группы. Фундаментальная область имеет конечную площадь (в смысле геометрии Лобачевского), то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Sideway.gif?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oetoc%3Fid=OE_KLEIN__3 https://web.archive.org/web/20110719181924/http:/mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oetoc%3Fid=OE_KLEIN__3 |
| dbo:wikiPageID | 325019 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 25265 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119395104 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Presentation_of_a_group dbr:Projectively_extended_real_line dbr:Monster_group dbr:Braid_group dbr:Determinant dbc:Modular_forms dbr:Homomorphism dbr:Bianchi_group dbr:Pell's_equation dbr:Richard_Dedekind dbr:De_Rham_curve dbr:Doubly_periodic_function dbr:Index_of_a_subgroup dbr:Infinite-order_triangular_tiling dbr:Elliptic_curves dbr:Kuṭṭaka dbr:(2,3,7)_triangle_group dbc:Group_theory dbr:Complex_plane dbr:Continued_fraction dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_multiplication dbr:Elliptic_function dbr:Genus_(mathematics) dbr:Normal_subgroup dbr:Quotient_group dbr:Classical_modular_curve dbr:Elliptic_functions dbr:Function_composition dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Minkowski's_question-mark_function dbr:Minkowski's_question_mark_function dbr:Modular_arithmetic dbr:Modular_form dbr:Modular_group_Gamma0 dbr:Modulo_operation dbr:Monoid dbr:Monstrous_moonshine dbr:Möbius_transformation dbr:Congruence_relation dbr:Congruence_subgroup dbr:Short_exact_sequence dbr:Fuchsian_group dbr:Fundamental_domain dbr:Kernel_(algebra) dbr:Subgroup dbr:Supersingular_prime_(moonshine_theory) dbr:Symplectic_group dbr:Center_(group_theory) dbr:Torus dbr:Trace_(linear_algebra) dbr:Transcendental_number dbr:Irrational_number dbr:Faithful_group_action dbr:Self-similarity dbr:Semigroup dbr:Cyclic_group dbr:Erich_Hecke dbr:Euclid's_orchard dbr:Felix_Klein dbr:Fibonacci_number dbr:Niels_Henrik_Abel dbr:Discrete_group dbr:Farey_sequence dbr:Fractal_curve dbr:Knot_group dbr:Koch_snowflake dbr:Tessellation dbr:Upper_half-plane dbr:Projective_linear_group dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Isometry dbr:J-invariant dbr:Hurwitz_surface dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Prime_number dbr:Triangle_group dbc:Analytic_number_theory dbr:Blancmange_curve dbr:Symplectic_matrix dbr:Homotopy dbr:Torsion-free_group dbr:Trefoil_knot dbr:Modular_curve dbr:Moduli_space dbr:Joseph_Louis_Lagrange dbr:Mapping_class_group dbr:Poincaré_disk_model dbr:Poincaré_half-plane_model dbr:Free_product dbr:Icosahedral_symmetry dbr:Inner_automorphism dbr:Integer dbr:Orbit_(group_theory) dbr:Order_(group_theory) dbr:Cantor_function dbr:Real_number dbr:Kleinian_group dbr:Special_linear_group dbr:Symmetric_group dbr:Uniform_tilings_in_hyperbolic_plane dbr:Principal_congruence_subgroup dbr:Upper_triangular_matrix dbr:Erlangen_programme dbr:Orientation_(mathematics) dbr:Fractional_linear_transformation dbr:Period_lattice dbr:Projective_coordinates dbr:Carl_Gustav_Jakob_Jacobi dbr:Self-homeomorphism dbr:File:Morphing_of_modular_tiling_to_2_3_7_triangle_tiling.gif dbr:File:ModularGroup-FundamentalDomain.svg dbr:File:Braid-modular-group-cover.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Hair_space dbt:= dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:For dbt:Harv dbt:Main dbt:Math dbt:Overline dbt:Radic dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Use_dmy_dates dbt:Harvid dbt:Abs dbt:Isup dbt:Order_i-3_tiling_table dbt:Group_theory_sidebar |
| dct:subject | dbc:Modular_forms dbc:Group_theory dbc:Analytic_number_theory |
| gold:hypernym | dbr:PSL |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatModularForms yago:Abstraction100002137 yago:Form106290637 yago:LanguageUnit106284225 yago:Part113809207 yago:Relation100031921 yago:Word106286395 |
| rdfs:comment | En matemáticas, el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z) de matrices de orden 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Las matrices A y −A se identifican entre sí. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante . El nombre "grupo modular" proviene de su relación con los y no guarda relación con la aritmética modular. (es) In mathematics, the modular group is the projective special linear group PSL(2, Z) of 2 × 2 matrices with integer coefficients and determinant 1. The matrices A and −A are identified. The modular group acts on the upper-half of the complex plane by fractional linear transformations, and the name "modular group" comes from the relation to moduli spaces and not from modular arithmetic. (en) En mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, ℤ), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, ℤ) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, ℤ) dans le groupe de Lie PGL(2, ℝ). On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. (fr) In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici. (it) 数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。 (ja) In de wiskunde is de modulaire groep, meestal aangeduid met het symbool , een groep van speciale transformaties van de bovenste helft van het complexe vlak. De modulaire groep is een fundamenteel object van studie in de getaltheorie, de meetkunde, de abstracte algebra en vele andere gebieden van de hogere wiskunde. De modulaire groep kan worden gerepresenteerd als een groep van meetkundige transformaties of als een groep van matrices. De naam komt van de relatie met moduliruimten en niet van modulair rekenen. (nl) 수학에서 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는 또는 . (ko) Grupa modularna (Gamma) – grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, i geometrii algebraicznej. można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy. (pl) Модулярна група — група всіх дробово-лінійних перетворень виду де — цілі числа, причому . Модулярна група ототожнюється з факторгрупою . Тут — спеціальна лінійна група. де — цілі числа . (uk) Em matemática, o grupo modular é o grupo linear especial projetivo PSL(2, Z) de matrizes 2 × 2 com coeficientes inteiros e determinante um. As matrizes A e −A são identificadas. O grupo modular age na metade superior do plano complexo por meio de transformações fracionárias lineares, e o nome "grupo modular" vem da relação com espaços de módulos e não da aritmética modular. (pt) Inom matematiken är modulära gruppen Γ ett fundamentalt objekt inom talteori, geometri, abstrakt algebra och många andra delar inom matematiken. Modulära gruppen kan ses som en grupp av geometriska transformationer eller som en grupp av matriser. (sv) Модулярная группа — группа всех преобразований Мёбиуса вида где — целые числа, причём . Модулярная группа отождествляется с факторгруппой . Здесь — группа матриц где — целые числа, . Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими и соотношениями , то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой , и циклической группы порядка 3, порождённой . Для произвольного преобразования из модулярной группы справедливо равенство: 1. * 2. * 3. * (ru) |
| rdfs:label | Grupo modular (es) Gruppo modulare (it) Groupe modulaire (fr) モジュラー群 (ja) 모듈러 군 (ko) Modular group (en) Modulaire groep (nl) Grupa modularna (pl) Grupo modular (pt) Modulära gruppen (sv) Модулярная группа (ru) Модулярна група (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:PSL2(R) |
| owl:sameAs | freebase:Modular group yago-res:Modular group wikidata:Modular group dbpedia-es:Modular group dbpedia-fr:Modular group dbpedia-he:Modular group dbpedia-it:Modular group dbpedia-ja:Modular group dbpedia-ko:Modular group dbpedia-nl:Modular group dbpedia-pl:Modular group dbpedia-pt:Modular group dbpedia-ru:Modular group dbpedia-sv:Modular group dbpedia-uk:Modular group https://global.dbpedia.org/id/moRg |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Modular_group?oldid=1119395104&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/ModularGroup-FundamentalDomain.svg wiki-commons:Special:FilePath/Braid-modular-group-cover.svg wiki-commons:Special:FilePath/Morphing_of_modular_tiling_to_2_3_7_triangle_tiling.gif wiki-commons:Special:FilePath/Sideway.gif wiki-commons:Special:FilePath/Turnovergif.gif |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Modular_group |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:SL(2,Z) dbr:Hecke_group dbr:Dyadic_monoid dbr:PSL(2,Z) dbr:Modular_group_G dbr:PSL2(Z) dbr:SL2(Z) dbr:Modular_group_Gamma dbr:Modular_group_gamma dbr:Modular_group_Γ |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Belyi's_theorem dbr:Presentation_of_a_group dbr:Pythagorean_triple dbr:Qaiser_Mushtaq dbr:Schwarz_triangle dbr:List_of_algebraic_geometry_topics dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Braid_group dbr:Dedekind_eta_function dbr:Homography dbr:Hyperbolic_group dbr:Pell's_equation dbr:Pentagonal_number_theorem dbr:Cusp_form dbr:Cusp_neighborhood dbr:De_Rham_curve dbr:Dedekind_sum dbr:Double_coset dbr:Dyadic_transformation dbr:Indra's_Pearls_(book) dbr:Integer_matrix dbr:Inverse_Galois_problem dbr:Jacobi_elliptic_functions dbr:(2,3,7)_triangle_group dbr:Continued_fraction dbr:Rényi_entropy dbr:SL(2,Z) dbr:Elliptic_function dbr:General_linear_group dbr:Nome_(mathematics) dbr:Period_mapping dbr:Q-analog dbr:SL2(R) dbr:Eisenstein_series dbr:Golden_ratio dbr:Minkowski's_question-mark_function dbr:Mock_modular_form dbr:Modular_form dbr:Montonen–Olive_duality dbr:Möbius_transformation dbr:Congruence_subgroup dbr:Theta_function dbr:PGL2 dbr:Arithmetic_Fuchsian_group dbr:Arithmetic_group dbr:Leech_lattice dbr:Commensurability_(group_theory) dbr:Complete_quotient dbr:Fuchsian_group dbr:Fundamental_domain dbr:Fundamental_group dbr:Fundamental_pair_of_periods dbr:Poincaré_series_(modular_form) dbr:Stack_(mathematics) dbr:Translational_symmetry dbr:Weierstrass_elliptic_function dbr:Hecke_operator dbr:Large_diffeomorphism dbr:Lattice_(discrete_subgroup) dbr:Lattice_(group) dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Hecke_group dbr:Modular_invariance dbr:Self-similarity dbr:3-7_kisrhombille dbr:Affine_Lie_algebra dbr:Felix_Klein dbr:Partition_function_(number_theory) dbr:Diffeomorphism dbr:Diophantine_approximation dbr:Discrete_group dbr:List_of_Lie_groups_topics dbr:Quadratic_form dbr:Upper_half-plane dbr:Projective_linear_group dbr:Harmonic_Maass_form dbr:Atkin–Lehner_theory dbr:J-invariant dbr:Dyadic_monoid dbr:Triangle_group dbr:Abstract_algebra dbr:Blancmange_curve dbr:Eigenform dbr:Torsion_(algebra) dbr:Modular_curve dbr:Modular_forms_modulo_p dbr:Moduli_stack_of_elliptic_curves dbr:Real_analytic_Eisenstein_series dbr:Virtually dbr:Direct_product_of_groups dbr:Artin_billiard dbr:Automorphic_form dbr:Mapping_class_group_of_a_surface dbr:Bosonic_string_theory dbr:Pi dbr:Poincaré_half-plane_model dbr:Free_product dbr:Greek_letters_used_in_mathematics,_science,_and_engineering dbr:Orbifold dbr:Cantor_function dbr:Cantor_set dbr:Selberg_trace_formula dbr:Special_linear_group dbr:Spt_function dbr:Voronoi_formula dbr:Picard–Fuchs_equation dbr:Selberg_zeta_function dbr:Periodic_continued_fraction dbr:PSL(2,Z) dbr:Petersson_inner_product dbr:Modular_group_G dbr:Translation_surface dbr:Two-dimensional_conformal_field_theory dbr:Ring_of_modular_forms dbr:Virasoro_conformal_block dbr:PSL2(Z) dbr:SL2(Z) dbr:Modular_group_Gamma dbr:Modular_group_gamma dbr:Modular_group_Γ |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Modular_group |
