Jacobian matrix and determinant (original) (raw)
En càlcul vectorial, el jacobià és una abreviatura emprada per anomenar tant la matriu jacobiana com el seu determinant, el determinant jacobià.En geometria algebraica el jacobià d'una corba es refereix a la varietat jacobiana: un grup algebraic associat a la corba, en el qual es pot incloure. Tots aquests conceptes reben aquest nom en honor del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi.
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| dbo:abstract | En càlcul vectorial, el jacobià és una abreviatura emprada per anomenar tant la matriu jacobiana com el seu determinant, el determinant jacobià.En geometria algebraica el jacobià d'una corba es refereix a la varietat jacobiana: un grup algebraic associat a la corba, en el qual es pot incloure. Tots aquests conceptes reben aquest nom en honor del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi. (ca) مصفوفة ياكوبية (بالإنجليزية: Jacobian matrix) هي مصفوفة تعبر عن مشتق متجه من الدالات ولها أهمية كبيرة في الرياضيات والهندسة خاصة في إخطاط الأنظمة اللاخطية ودراستها وفي الرياضيات العددية. المحددة الياكوبية (والتي تسمى على سبيل التبسيط بالياكوبية) هي محدد المصفوفة الياكوبية. سُميت هذه المفاهيم هكذا نسبة لعالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي. (ar) Jacobiho matice je matice parciálních derivací vektorové funkce. Pokud je tato matice čtvercová, nazýváme její determinant Jacobiho determinant (také jacobián). Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů. Oba pojmy získaly své jméno od slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho. (cs) Στη , ο Πίνακας Τζακόμπι ή Ιακωβιανή Μήτρα είναι ο πίνακας όλων των παραγώγων 1ης τάξης ενός διανύσματος ή μιας βαθμωτής συνάρτησης σε σχέση με ένα άλλο διάνυσμα. Έστω ότι η είναι μία συνάρτηση από τον ευκλείδειο χώρο προς τον ευκλείδειο χώρο . Μια τέτοια συνάρτηση δίνεται από πραγματικές στοιχεία - συναρτήσεις, . Οι μερικές παράγωγοι όλων αυτών των συναρτήσεων (εάν υπάρχουν) μπορούν να αναπαρασταθούν σε έναν επί πίνακα, τον πίνακα Τζακόμπι της , ως εξής: Ο πίνακας μπορεί επίσης να δηλωθεί και . Αν είναι οι κανονικές καρτεσιανές συντεταγμένες, η γραμμή αυτού του πίνακα αντιστοιχεί στην κλίση της συνάρτησης - στοιχείου : . Ορισμένα βιβλία ορίζουν τον πίνακα Τζακόμπι ως τον ανάστροφο του παραπάνω πίνακα. Η Ορίζουσα Τζακόμπι (συχνά αναφέρεται εν συντομία ως η Τζακόμπι) είναι η ορίζουσα του πίνακα Τζακόμπι (αν ). Αυτές οι έννοιες πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό . (el) Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion ist die -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen.Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion bezüglich der Standardbasen des und des . Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik. (de) En vektora kalkulo, jakobia matrico estas la matrico de ĉiuj partaj derivaĵoj de la unua-ordo de vektoro-valora funkcio (vektora kampo). Ĝi gravas ĉar ĝi prezentas la plej bonan linearan proksimumon de la diferenciala funkcio ĉirkaŭ la donita punkto. En ĉi tiu senco, la jakobia matrico estas la derivaĵo de plurvariabla funkcio. Ĝia nomo estas kunligita al la germana matematikisto Carl Jacobi (1804-1851). La jakobia determinanto estas determinanto de la jakobia matrico, kiu estas difinita se ĝi estas kvadrata matrico. (eo) In vector calculus, the Jacobian matrix (/dʒəˈkoʊbiən/, /dʒɪ-, jɪ-/) of a vector-valued function of several variables is the matrix of all its first-order partial derivatives. When this matrix is square, that is, when the function takes the same number of variables as input as the number of vector components of its output, its determinant is referred to as the Jacobian determinant. Both the matrix and (if applicable) the determinant are often referred to simply as the Jacobian in literature. Suppose f : Rn → Rm is a function such that each of its first-order partial derivatives exist on Rn. This function takes a point x ∈ Rn as input and produces the vector f(x) ∈ Rm as output. Then the Jacobian matrix of f is defined to be an m×n matrix, denoted by J, whose (i,j)th entry is , or explicitly where is the transpose (row vector) of the gradient of the component. The Jacobian matrix, whose entries are functions of x, is denoted in various ways; common notations include Df, Jf, , and . Some authors define the Jacobian as the transpose of the form given above. The Jacobian matrix represents the differential of f at every point where f is differentiable. In detail, if h is a displacement vector represented by a column matrix, the matrix product J(x) ⋅ h is another displacement vector, that is the best linear approximation of the change of f in a neighborhood of x, if f(x) is differentiable at x. This means that the function that maps y to f(x) + J(x) ⋅ (y – x) is the best linear approximation of f(y) for all points y close to x. This linear function is known as the derivative or the differential of f at x. When m = n, the Jacobian matrix is square, so its determinant is a well-defined function of x, known as the Jacobian determinant of f. It carries important information about the local behavior of f. In particular, the function f has a differentiable inverse function in a neighborhood of a point x if and only if the Jacobian determinant is nonzero at x (see Jacobian conjecture for a related problem of global invertibility). The Jacobian determinant also appears when changing the variables in multiple integrals (see substitution rule for multiple variables). When m = 1, that is when f : Rn → R is a scalar-valued function, the Jacobian matrix reduces to the row vector ; this row vector of all first-order partial derivatives of f is the transpose of the gradient of f, i.e.. Specializing further, when m = n = 1, that is when f : R → R is a scalar-valued function of a single variable, the Jacobian matrix has a single entry; this entry is the derivative of the function f. These concepts are named after the mathematician Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). (en) En cálculo vectorial, la matriz Jacobiana de una función vectorial de varias variables es la matriz cuyos elementos son las derivadas parciales de primer orden de dicha función. Suponga que es una función tal que sus derivadas parciales de primer orden existen en . Esta función toma un punto y devuelve un vector . La matriz Jacobiana de , denotada por , está definida como una matriz de tamaño cuya -ésima entrada es o de forma explícita donde es la traspuesta del gradiente de la -ésima componente. Esta matriz, cuyas entradas son funciones de , es denotada de diversas maneras, algunas de ellas son: Cuando , la matriz Jacobiana es cuadrada por lo que su determinante es una función de , este determinante es conocido como el determinante Jacobiano de . El determinante Jacobiano aparece cuando se hace un cambio de variables en integrales múltiples. Cuando , esto es, cuando es una función escalar de variables, entonces la matriz Jacobiana se reduce a un vector fila. Este vector fila con todas las derivadas parciales de primer orden de es la traspuesta del gradiente de , es decir, . Y cuando , esto es, cuando es una función escalar de una variable entonces la matriz Jacobiana sólo tiene una entrada, esta entrada es la derivada de la función . En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la , un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi. (es) En analyse vectorielle, la matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle en un point donné. Son nom vient du mathématicien Charles Jacobi. Le déterminant de cette matrice, appelé jacobien, joue un rôle important pour l'intégration par changement de variable et dans la résolution de problèmes non linéaires. (fr) Dalam kalkulus vektor, matriks Jacobi atau matriks Jacobian adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari . Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah Df, Jf, , dan . Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai determinan Jacobi atau determinan Jacobian. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur. Matriks Jacobi merepresentasikan diferensial dari fungsi f di setiap titik f terdiferensialkan. Jika fungsi terdiferensialkan di titik x, matriks ini dapat digunakan untuk menghasilkan fungsi linear terbaik yang menghampiri nilai fungsi di sekitar x. Fungsi linear ini disebut sebagai turunan atau dari f di x. Jika materiks Jacobi berbentuk persegi, determinannya memberikan informasi penting mengenai sifat lokal dari f. Determinan Jacobi juga muncul dalam proses perubahan variabel integral lipat. Pada fungsi multivariabel bernilai real, yakni ketika , matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor baris . Vektor ini adalah transpos dari gradien f, sehingga . Pada kasus yang lebih khusus, yakni fungsi satu variabel bernilai real, f : R → R, matriks Jacobi tereduksi menjadi turunan dari fungsi f. (in) In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Lo Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana, quando questa è quadrata. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi. La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino a un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni vettoriali di variabile vettoriale. (it) 多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列（ヤコビぎょうれつ、英: Jacobian matrix）あるいは単にヤコビアンまたは関数行列（かんすうぎょうれつ、独: Funktionalmatrix）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数 f のヤコビ行列は、f の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で のように表される。 ヤコビ行列の行列式は、ヤコビ行列式 (英: Jacobian determinant) あるいは単にヤコビアンと呼ばれる。ヤコビ行列式は変数変換に伴う面積要素や体積要素の無限小変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば重積分のに現れる。 これらは多変数微分積分学、多様体論などで基本的な役割を果たすほか、最適化問題等の応用分野でも重要な概念である。 (ja) 벡터 미적분학에서 야코비 행렬(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬이다. 야코비 행렬식(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다. (ko) De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij een functie (dus een functie die invoerwaarden nodig heeft en waarden teruggeeft), met waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix van als volgt gedefinieerd: (nl) Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje. Nazwy tych pojęć pochodzą od nazwiska niemieckiego matematyka C.G.J. Jacobiego, który je wprowadził, choć niezależnie badał je Michaił Ostrogradski. Jacobi używał nazwy wyznacznik różniczkowy; termin „jakobian” pochodzi od J.J. Sylvestera (1852). (pl) Jacobimatris (också kallad jacobian eller funktionalmatris), efter Carl Gustav Jakob Jacobi, är en matris bestående av olika partialderivator som tillhör ett system av funktioner. Tillsammans med sin determinant (jacobideterminanten) används den inom vektoranalysen. Både matrisen och dess determinant kan ibland något informellt benämnas jacobian. (sv) A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam. (pt) Матрица Яко́би отображения в точке описывает главную линейную часть произвольного отображения в точке . (ru) 在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩陣，英語：Jacobian matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。 要注意的是，如果雅可比矩陣為方陣，那在英文中雅可比矩陣跟Jacobi行列式兩者都稱作 Jacobian。 其重要性在於，如果函數 f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式'表示：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。 它们全部都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。 (zh) У векторному аналізі, матриця Якобі векторзначної функції кількох змінних є матрицею всіх її частинних похідних першого порядку.У випадку квадратної матриці, тобто, якщо кількість незалежних і залежних змінних функції співпадають, то її визначник називають визначником Якобі.Крім того, матрицю і її визначник (якщо він визначений) в літературі часто називають просто якобіаном. Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення . Ці поняття названі на честь математика Карла Густава Якоба Якобі (1804-1851). (uk) |
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Oba pojmy získaly své jméno od slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho. (cs) Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion ist die -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen.Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion bezüglich der Standardbasen des und des . Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik. (de) En vektora kalkulo, jakobia matrico estas la matrico de ĉiuj partaj derivaĵoj de la unua-ordo de vektoro-valora funkcio (vektora kampo). Ĝi gravas ĉar ĝi prezentas la plej bonan linearan proksimumon de la diferenciala funkcio ĉirkaŭ la donita punkto. En ĉi tiu senco, la jakobia matrico estas la derivaĵo de plurvariabla funkcio. Ĝia nomo estas kunligita al la germana matematikisto Carl Jacobi (1804-1851). La jakobia determinanto estas determinanto de la jakobia matrico, kiu estas difinita se ĝi estas kvadrata matrico. (eo) En analyse vectorielle, la matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle en un point donné. Son nom vient du mathématicien Charles Jacobi. Le déterminant de cette matrice, appelé jacobien, joue un rôle important pour l'intégration par changement de variable et dans la résolution de problèmes non linéaires. (fr) In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Lo Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana, quando questa è quadrata. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi. La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino a un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni vettoriali di variabile vettoriale. (it) 多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列（ヤコビぎょうれつ、英: Jacobian matrix）あるいは単にヤコビアンまたは関数行列（かんすうぎょうれつ、独: Funktionalmatrix）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数 f のヤコビ行列は、f の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で のように表される。 ヤコビ行列の行列式は、ヤコビ行列式 (英: Jacobian determinant) あるいは単にヤコビアンと呼ばれる。ヤコビ行列式は変数変換に伴う面積要素や体積要素の無限小変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば重積分のに現れる。 これらは多変数微分積分学、多様体論などで基本的な役割を果たすほか、最適化問題等の応用分野でも重要な概念である。 (ja) 벡터 미적분학에서 야코비 행렬(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬이다. 야코비 행렬식(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다. (ko) De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij een functie (dus een functie die invoerwaarden nodig heeft en waarden teruggeeft), met waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix van als volgt gedefinieerd: (nl) Jacobimatris (också kallad jacobian eller funktionalmatris), efter Carl Gustav Jakob Jacobi, är en matris bestående av olika partialderivator som tillhör ett system av funktioner. Tillsammans med sin determinant (jacobideterminanten) används den inom vektoranalysen. Både matrisen och dess determinant kan ibland något informellt benämnas jacobian. (sv) A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam. (pt) Матрица Яко́би отображения в точке описывает главную линейную часть произвольного отображения в точке . (ru) 在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩陣，英語：Jacobian matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。 要注意的是，如果雅可比矩陣為方陣，那在英文中雅可比矩陣跟Jacobi行列式兩者都稱作 Jacobian。 其重要性在於，如果函數 f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式'表示：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。 它们全部都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。 (zh) У векторному аналізі, матриця Якобі векторзначної функції кількох змінних є матрицею всіх її частинних похідних першого порядку.У випадку квадратної матриці, тобто, якщо кількість незалежних і залежних змінних функції співпадають, то її визначник називають визначником Якобі.Крім того, матрицю і її визначник (якщо він визначений) в літературі часто називають просто якобіаном. Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення . Ці поняття названі на честь математика Карла Густава Якоба Якобі (1804-1851). (uk) Στη , ο Πίνακας Τζακόμπι ή Ιακωβιανή Μήτρα είναι ο πίνακας όλων των παραγώγων 1ης τάξης ενός διανύσματος ή μιας βαθμωτής συνάρτησης σε σχέση με ένα άλλο διάνυσμα. Έστω ότι η είναι μία συνάρτηση από τον ευκλείδειο χώρο προς τον ευκλείδειο χώρο . Μια τέτοια συνάρτηση δίνεται από πραγματικές στοιχεία - συναρτήσεις, . Οι μερικές παράγωγοι όλων αυτών των συναρτήσεων (εάν υπάρχουν) μπορούν να αναπαρασταθούν σε έναν επί πίνακα, τον πίνακα Τζακόμπι της , ως εξής: Η Ορίζουσα Τζακόμπι (συχνά αναφέρεται εν συντομία ως η Τζακόμπι) είναι η ορίζουσα του πίνακα Τζακόμπι (αν ). (el) En cálculo vectorial, la matriz Jacobiana de una función vectorial de varias variables es la matriz cuyos elementos son las derivadas parciales de primer orden de dicha función. Suponga que es una función tal que sus derivadas parciales de primer orden existen en . Esta función toma un punto y devuelve un vector . La matriz Jacobiana de , denotada por , está definida como una matriz de tamaño cuya -ésima entrada es o de forma explícita donde es la traspuesta del gradiente de la -ésima componente. (es) In vector calculus, the Jacobian matrix (/dʒəˈkoʊbiən/, /dʒɪ-, jɪ-/) of a vector-valued function of several variables is the matrix of all its first-order partial derivatives. When this matrix is square, that is, when the function takes the same number of variables as input as the number of vector components of its output, its determinant is referred to as the Jacobian determinant. Both the matrix and (if applicable) the determinant are often referred to simply as the Jacobian in literature. where is the transpose (row vector) of the gradient of the component. (en) Dalam kalkulus vektor, matriks Jacobi atau matriks Jacobian adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari . Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah Df, Jf, , dan . Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai determinan Jacobi atau determinan Jacobian. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur. (in) Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje. (pl) |
| rdfs:label | مصفوفة ياكوبية (ar) Jacobià (ca) Jacobiho matice a determinant (cs) Jacobi-Matrix (de) Πίνακας Τζακόμπι (el) Jakobia matrico (eo) Matriz y determinante jacobianos (es) Matriks Jacobi (in) Jacobian matrix and determinant (en) Matrice jacobienne (fr) Matrice jacobiana (it) 야코비 행렬 (ko) ヤコビ行列 (ja) Jacobi-matrix (nl) Macierz Jacobiego (pl) Matriz jacobiana (pt) Матрица Якоби (ru) Jacobimatris (sv) 雅可比矩阵 (zh) Матриця Якобі (uk) |
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