Elliptic curve (original) (raw)
Eliptická křivka je , která je definovaná rovnicí , což lze upravit na tzv. Weierstrassův tvar . Pokud platí, že , kde a, b jsou koeficienty z Weierstrassova tvaru, pak není křivka nesingulární (má ostrý bod) a nejedná se tedy o eliptickou křivku. Na eliptické křivce můžeme definovat bod v nekonečnu, který se obvykle označuje jako bod O.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, una corba el·líptica és una corba plana definida per una equació de la forma y² = x3 + a x + b, que no és singular; és a dir, la seva gràfica no té o punts d'intersecció amb ella mateixa. (Quan la característica del cos de coeficients és 2 o 3, l'equació anterior no és suficientment general per a incloure totes les corbes no singulars; vegeu per a una definició més precisa). Es pot veure que les corbes el·líptiques es corresponen a embeddings del tor al pla projectiu; aquests embeddings es poden generalitzar a cossos arbitraris. Així, es diu que les corbes el·líptiques són corbes algebraiques de 1 sobre un cos K, juntament amb un punt distingit definit sobre K. L'estructura de grup natural del tor es manifesta d'una forma geomètricament curiosa en les corbes el·líptiques; el conjunts de punts de la corba forma un grup abelià. Les corbes el·líptiques són especialment importants en la teoria de nombres, i constitueixen una àrea de recerca actual molt important; per exemple, foren usades per Andrew Wiles en la demostració del darrer teorema de Fermat. També tenen múltiples aplicacions en la criptografia (vegeu criptografia sobre corbes el·líptiques) i en la factorització d'enters. (ca) هذا المقال يتحدث عن منحنى رياضي. فيما يتعلق بتقنيات التشفير، انظر تعمية بالمنحنيات الإهليجية في الرياضيات، منحنى إهليجي (بالإنجليزية: Elliptic curve) هو منحنى جبري ، إسقاطي، ذو فتحة واحدة حيث فيها توجد النقطة المحددة O التي هي نقطة عند المالانهاية. يعرف المنحنى الإهليجي على حقل K والنقاط التي توصفه تكون في K2 ، التي هي ال ل K مع نفسها، إذا كان محدد الحلقة لا يساوي 2 أو 3 فإن المنحنى يمكن وصفه كمنحى جبري على مستوى والذي بعد تغيير خطي للمتغيرات، سينتج حل يمثل المنحنى الإهليجي. يمكن أن يكتب أي منحنى إهليلجي كمنحنى جبري مستو، عرف بمعادلة تأخذ الشكل التالي: حيث المعاملات a,b هي عناصر من الحقل K، يجب على هذا المنحنى أن يكون غير مفرد، بمعنى أن المنحنى لا يحتوي على أي انعطاف أو يقطع نفسه (بعبارة مكافئة يشترط في معادلة المنحنى الإهليجي التي سبق ذكرها أن يكون: 4a3 + 27b2 ≠ 0) يفهم دائما أن هذا المنحنى يقع دائما داخل مستوى إسقاطي مع النقطة O النقطة المميزة التي تسمة النقطة عند المالانهاية. الكثير من المصادر تعرف المنحنى الإإهليجي ببساطة على أنه منحنى يعطي على شكل معادلة سبق ذكرها عندما تكون معاملات الحقل لها محدد 2 أو 3، المعادلة السابفة ليست عامة لتشمل جميع المنحنيات المكعبة الغير فردية، انظر المنحنيات الإهليجية على حقل عام في الأسفل. المنحنى الإهليجي عبارة عن abelian variety ما يعني أنه يوجد لها قاعدة معرفة جبريا، ومجموعة المنحنيات الجبرية مع قاعدة المجموعة (group law) تشكل abelian group على اعتبار النقطة عند المالانهاية O هي العنصر المحايد إذا كانت y2 = P(x) حيث P أي كثير حدود من الدرجة الثالثة فيي x بدون أي جذر مكرر فإن مجموعة الحلول ستكون منحنى مستو غير منفرد ذو فتحة واحدة وهو ما يسمى المنحنى الإهليجي، إذا كان P من الدرجة الرابعة بدون أي جذر مكرر (square free) فإن هذه المعادلة ستمثل أيضا منحنى مستو ذو فتحة واحدة، غير أنه ليس ليده خيار طبيعي للعنصر المحايد، بشكل عام أي منحنى جبري ذي فتحة واحدة مثل تقاطع سطحين تربيعيين مضمنين في فضاء اسقاطي ثلاثي أبعاد سيسمى أيضا منحنى إهليجي شريطة أن تحتوي على نقطة معلومة لتمثل العنصر المحايد باستخدام نظرية الاقترانات الإهليجية يصبح من الواضح أن المنحنيات الإهليجية المعرفة على الأعداد المركبة تشكل ارتباط مع الطارة في المستوى المركب الإسقاطي. الطارة أيضا زمرة تبديلية (abelian group) وهذا الارتباط أيضا يشكل زمرة تكافؤية (group isomorphism) المنحنيات الإهليلجية مهمة بشكل خاص في نظرية الأعداد، حيث تشكل مجالا أساسيا في الأبحاث الحالية. على سبيل المثال، استعملوا من طرف أندرو وايلز (بالاستعانة بريتشارد تايلور) من أجل البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة. لها أيضا تطبيقات في مجال علم التعمية (انظر إلى التعمية باستعمال المنحنيات الإهليلجية) وتحليل الأعداد الصحيحة. المنحنى الإهليلجي ليس هو القطع الناقص انظر التكاملات الإهليجية لمعرفة منشأ هذا المصطلح. طبولوجيَّاً المنحنى الإهليجي المركب هو طارة بينما القطع الناقص المركب هو كرة. (ar) Eliptická křivka je , která je definovaná rovnicí , což lze upravit na tzv. Weierstrassův tvar . Pokud platí, že , kde a, b jsou koeficienty z Weierstrassova tvaru, pak není křivka nesingulární (má ostrý bod) a nejedná se tedy o eliptickou křivku. Na eliptické křivce můžeme definovat bod v nekonečnu, který se obvykle označuje jako bod O. (cs) Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη πάνω από ένα σώμα η οποία δίνεται από την εξίσωση: Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη: (el) Elipsa kurbo en matematiko, estas ebena algebra kurbo difinita de ekvacia formo de kiu estas ne-singulara; t.e, ĝia grafeo havas neniun kuspon aŭ mem-intersekcoj. (Kiam la karakterizaĵoj de la egalas al 2 aŭ 3, la supra ekvacio ne tute sufiĉe ĝeneralas por formi ĉiujn ne-singularajn .) (eo) In der Mathematik sind elliptische Kurven spezielle algebraische Kurven, auf denen geometrisch eine Addition definiert ist. Diese Addition wird in der Kryptographie zur Konstruktion sicherer Verschlüsselungsmethoden verwendet. Elliptische Kurven spielen aber auch in der reinen Mathematik eine wichtige Rolle. Historisch sind sie durch die Parametrisierung elliptischer Integrale entstanden als deren Umkehrfunktionen (elliptische Funktionen). Eine elliptische Kurve ist eine glatte algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene. Dargestellt werden elliptische Kurven meist als Kurven in der affinen Ebene, sie besitzen aber noch einen zusätzlichen Punkt im Unendlichen. Elliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen können als die Menge aller (affinen) Punkte angesehen werden, die die Gleichung erfüllen, zusammen mit einem sogenannten Punkt im Unendlichen (notiert als oder ). Die (reellen) Koeffizienten und müssen dabei die Bedingung erfüllen, dass für die Diskriminante des kubischen Polynoms in auf der rechten Seite gilt, um Singularitäten auszuschließen (die Wurzeln des Polynoms sind dann paarweise verschieden, die Kurve hat keine Doppelpunkte oder andere Singularitäten). Im Allgemeinen wird man sich bei der Betrachtung der angegebenen Gleichung aber nicht auf den Fall reeller Koeffizienten und Lösungen beschränken, sondern vielmehr den Fall betrachten, dass Koeffizienten und Lösungen aus dem Körper der komplexen Zahlen stammen. Ausführlich untersucht wurden auch elliptische Kurven über dem Körper der rationalen Zahlen, über endlichen Körpern und über p-adischen Körpern. Die Theorie der elliptischen Kurven verbindet daher sehr unterschiedliche Teilgebiete der Mathematik. Die Untersuchung elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen oder endlichen Körpern ist Gegenstand der Zahlentheorie und ein Spezialfall der auch in höheren Dimensionen betrachteten abelschen Varietäten. Ihre Untersuchung über den komplexen Zahlen ist ein klassisches Gebiet der Funktionentheorie. Jede elliptische Kurve über den komplexen Zahlen kann mit Hilfe eines Gitters in der komplexen Zahlenebene als komplexer Torus dargestellt werden, was sich schon aus der doppelten Periodizität elliptischer Funktionen ergibt (siehe Weierstraßsche elliptische Funktion). Ihre riemannsche Fläche ist topologisch ein Torus und über die zugehörige Aufteilung der komplexen Ebene durch ein Gitter eine abelsche Gruppe. Diese Gruppenstruktur überträgt sich auch auf elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen und auf eine besondere Art von Addition für Punkte auf elliptischen Kurven (siehe unten). Der Mathematiker Andrew Wiles bewies im Jahr 1994 den Modularitätssatz, der besagt, dass alle elliptische Kurven über den rationalen Zahlen durch Modulformen parametrisiert werden. Mit Hilfe dieses Satzes konnte der Große Fermatsche Satz bewiesen werden, eine bekannte zahlentheoretische Aussage, die sich einfach formulieren, aber nur schwer beweisen lässt. Praktische Anwendung finden elliptische Kurven in modernen Verschlüsselungsverfahren (Elliptische-Kurven-Kryptosystem), die die oben erwähnte besondere Addition von Punkten auf elliptischen Kurven für die Definition von Einwegfunktionen verwenden. Weitere Anwendungen finden sich bei der Faktorisierung natürlicher Zahlen. Werden statt kubischer Polynome solche höheren als vierten Grades betrachtet, erhält man hyperelliptische Kurven (die höheres topologisches Geschlecht haben). (de) En matemáticas, las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Han sido utilizadas para probar el último teorema de Fermat y en factorización de enteros. Se emplean también en criptografía de curvas elípticas. Estas curvas no son elipses. Las curvas elípticas son «regulares», es decir, no tienen «vértices» ni autointersecciones, y se puede definir una operación binaria para el conjunto de sus puntos de una manera geométrica natural, lo que hace de dicho conjunto un grupo abeliano. Algunas de las curvas elípticas sobre el cuerpo de los números reales vienen dadas por las ecuaciones y por . (es) In mathematics, an elliptic curve is a smooth, projective, algebraic curve of genus one, on which there is a specified point O. An elliptic curve is defined over a field K and describes points in K2, the Cartesian product of K with itself. If the field's characteristic is different from 2 and 3, then the curve can be described as a plane algebraic curve which consists of solutions (x, y) for: for some coefficients a and b in K. The curve is required to be non-singular, which means that the curve has no cusps or self-intersections. (This is equivalent to the condition 4a3 + 27b2 ≠ 0, that is, being square-free in x.) It is always understood that the curve is really sitting in the projective plane, with the point O being the unique point at infinity. Many sources define an elliptic curve to be simply a curve given by an equation of this form. (When the coefficient field has characteristic 2 or 3, the above equation is not quite general enough to include all non-singular cubic curves; see below.) An elliptic curve is an abelian variety – that is, it has a group law defined algebraically, with respect to which it is an abelian group – and O serves as the identity element. If y2 = P(x), where P is any polynomial of degree three in x with no repeated roots, the solution set is a nonsingular plane curve of genus one, an elliptic curve. If P has degree four and is square-free this equation again describes a plane curve of genus one; however, it has no natural choice of identity element. More generally, any algebraic curve of genus one, for example the intersection of two quadric surfaces embedded in three-dimensional projective space, is called an elliptic curve, provided that it is equipped with a marked point to act as the identity. Using the theory of elliptic functions, it can be shown that elliptic curves defined over the complex numbers correspond to embeddings of the torus into the complex projective plane. The torus is also an abelian group, and this correspondence is also a group isomorphism. Elliptic curves are especially important in number theory, and constitute a major area of current research; for example, they were used in Andrew Wiles's proof of Fermat's Last Theorem. They also find applications in elliptic curve cryptography (ECC) and integer factorization. An elliptic curve is not an ellipse in the sense of a projective conic, which has genus zero: see elliptic integral for the origin of the term. However, there is a natural representation of real elliptic curves with shape invariant j ≥ 1 as ellipses in the hyperbolic plane . Specifically, the intersections of the Minkowski hyperboloid with quadric surfaces characterized by a certain constant-angle property produce the Steiner ellipses in (generated by orientation-preserving collineations). Further, the orthogonal trajectories of these ellipses comprise the elliptic curves with j ≤ 1, and any ellipse in described as a locus relative to two foci is uniquely the elliptic curve sum of two Steiner ellipses, obtained by adding the pairs of intersections on each orthogonal trajectory. Here, the vertex of the hyperboloid serves as the identity on each trajectory curve. Topologically, a complex elliptic curve is a torus, while a complex ellipse is a sphere. (en) Dalam matematika, kurva eliptik adalah yang dan , satu, serta memiliki titik O tertentu. Tiap kurva eliptik dalam sebuah medan yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah yang memenuhi persamaan Kurva eliptik harus , yakni tidak memiliki atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan Kurva eliptik bukanlah elips: lihat untuk asal mula istilahnya. Secara topologi, kurva eliptik kompleks adalah torus, sedangkan elips kompleks adalah bola. (in) En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants. Contrairement à ce que son nom pourrait laisser croire, l'ellipse n'est pas une courbe elliptique. Le nom des courbes elliptiques vient historiquement de leur association avec les intégrales elliptiques, elles-mêmes appelées ainsi car elles servent en particulier à calculer la longueur d'arcs d'ellipses. À l'aide d'un choix adapté de coordonnées, une courbe elliptique peut être représentée dans un plan par une équation cubique de la forme : Les coefficients a1, a2, a3, a4 et a6 sont des éléments du corps K sur lequel est définie la courbe, mais ils ne sont pas déterminés par la courbe de manière unique. D'autre part, pour qu'une telle équation décrive effectivement une courbe elliptique, il faut que la courbe ainsi définie ne soit pas singulière, c’est-à-dire qu'elle n'ait ni point de rebroussement, ni point double. Les points de la courbe sur un corps K' (contenant K) ont pour coordonnées les solutions (x, y) dans K' de l'équation ; on y joint un point à l'infini (l'élément zéro de l'addition). On note cet ensemble de points E(K'). Formellement, une courbe elliptique est une courbe algébrique projective non singulière de genre 1 sur un corps K et dont un point à coordonnées dans K est spécifié. Même si certaines constructions ou certaines propriétés comme l'addition des points sont communes à toutes, la description des courbes elliptiques, ainsi que leurs applications possibles, dépend beaucoup du corps de définition choisi. (fr) 数学における楕円曲線（だえんきょくせん、英: elliptic curve）とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う。 楕円曲線上の点に対し、先述の点 O を単位元とする（必ず可換な）群をなすように、和を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形 により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である（有理変換によってそのような曲線に変換される）。そしてこの形にあらわされているとき、O は実は射影平面の「無限遠点」である。 また、の標数が 2 でも 3 でもないとき、楕円曲線は、上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。 非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。係数体の標数が 2 や 3 のとき、上の式は全ての非特異を表せるほど一般ではない（詳細な定義はを参照）。 Pが重根を持たない三次多項式として、y2 = P(x) とすると、種数 1 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。Pが次数 4 でとすると、これも種数 1 の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような種数 1 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。 楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスのへの埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。 楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより（リチャード・テイラーの支援を得て）証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている（を参照）。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。 楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。 このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。 1. * 一次元のアーベル多様体 2. * 三次の平面代数曲線で、有理点を持つもの 3. * 複素数を加法群とみて、二重周期を持つ格子で割った商空間（複素数体上のみ、） (ja) In matematica, una curva ellittica è una curva algebrica proiettiva liscia di genere definita su un campo , sulla quale viene specificato un punto . Inoltre, ogni curva ellittica possiede una legge di composizione interna (generalmente indicata con il simbolo ) rispetto alla quale essa è un gruppo abeliano con elemento neutro ; di conseguenza, le curve ellittiche sono varietà abeliane di dimensione . Ogni curva ellittica definita su un campo (con caratteristica diversa da e da ) può essere scritta come la definita da un'equazione, detta equazione di Weierstrass, della forma: con , in modo che sia . Cioè la curva non deve avere cuspidi o auto-intersezioni (quando la caratteristica del campo è 2 o 3 l'equazione non è abbastanza generale da contenere tutte le non singolari; per maggiori informazioni al riguardo, si veda la trattazione sottostante: Curve su campi arbitrari). Se , e è un polinomio di grado o in senza radici coincidenti si ottiene una curva piana non singolare di genere . Più in generale l'intersezione di due quadriche tridimensionali genera una curva ellittica di genere . Si dimostra che le curve ellittiche definite sul campo complesso corrispondono alle immersioni del toro puntato (cioè sul quale viene scelto un punto speciale ) nel piano proiettivo complesso; tali immersioni si generalizzano a campi arbitrari. La struttura naturale di gruppo di un toro puntato si riflette sulla curva ellittica tramite un isomorfismo, grazie al quale l'insieme dei punti della curva formano un gruppo abeliano. (it) 대수기하학에서 타원곡선(橢圓曲線, 영어: elliptic curve)은 간단히 말해 형태의 방정식으로 정의되는 대수 곡선으로서, 이나 교차점 등의 특이점이 없는 것이다. (계수체(coefficient field)의 표수가 2나 3인 경우 이 정의는 모든 비특이 3차 곡선들의 동형류를 포함하지 않는다.) 이는 대수기하학과 수론의 중요한 연구 대상이다. 중근을 갖지 않는 임의의 3차 혹은 4차 다항식 P에 대해 y2 = P(x)는 곡면 종수 1의 비특이 평면 곡선의 방정식이며, 이 식으로 정의되는 곡선 또한 타원곡선이라 한다. 보다 일반적으로는 종수가 1인 임의의 비특이 대수 곡선을 타원 곡선이라 한다. 복소수체 상의 타원곡선은 원환면을 복소 사영 공간에 매장한 것에 대응된다. 이는 임의의 체로 일반화할 수 있으며, 각 체 상의 타원곡선의 점들은 아벨 군을 이룬다. 즉, 타원곡선은 1차원 아벨 다양체이다. (ko) In de meetkunde zijn elliptische krommen een speciale soort algebraïsche krommen waarop meetkundig een optelling gedefinieerd is. De naam is ontleend aan de ellips, maar het verband is slechts zijdelings en ellipsen zijn heel uitdrukkelijk geen voorbeelden van elliptische krommen. (nl) Krzywa eliptyczna – pojęcie z zakresu geometrii algebraicznej, oznaczające według współczesnej definicji gładką (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem zwanym „punktem w nieskończoności”. Elementy krzywej rozumianej jako zbiór nazywa się, zgodnie z terminologią geometryczną, punktami. Dowodzi się, że każda krzywa eliptyczna jest – można na niej zdefiniować w sensowny (zgodny z własnościami geometryczno-algebraicznymi) sposób operację grupową („dodawanie” punktów), dla której jest elementem neutralnym. Można również pokazać, że każdą krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem można zapisać w postaci równania dla pewnych stałych gdzie to współrzędne punktów na płaszczyźnie Reprezentacja taka z reguły nie jest jednoznaczna. W szczególnych przypadkach definicję tę można znacznie uprościć. Równanie to przedstawia tzw. model afiniczny krzywej eliptycznej. (pl) En elliptisk kurva är mängden av punkter som löser en polynomekvation som har grad två i och grad tre i . Denna ekvation skrivs vanligtvis på formen där k är en kropp där den elliptiska kurvan är definierad, till exempel reella talen. Samtliga elliptiska kurvor kan skrivas på formen För att få ekvationen på den enkla formen överst kan man kvadratkomplettera vänsterledet (om karakteristiken av kroppen k är skild från 2), och då får man Variabelbytet ger och för att man skall få en användbar elliptisk kurva (se nedan) får ekvationen inte ha multipla rötter. Med ytterligare ett variabelbyte (om karakteristiken av kroppen k även är skild från 3) kan man skriva ekvationen på formen Grafen till denna funktion har två typer av huvudformer beroende på om ekvationen har en reell rot eller tre reella rötter. När ekvationen har tre reella rötter så består grafen av två komponenter, medan den bara har en komponent då ekvationen har en reell rot. Elliptiska kurvor är inte direkt kopplade till ellipser, men namnet elliptiska kurvor kommer ifrån att de är besläktade med elliptiska integraler. Elliptiska integraler används för att beräkna båglängden på ellipser.En elliptisk integral kan se ut som följer: (sv) Эллипти́ческая крива́я над полем — неособая кубическая кривая на проективной плоскости над (алгебраическим замыканием поля ), задаваемая уравнением 3-й степени с коэффициентами из поля и «точкой на бесконечности». В подходящих аффинных координатах её уравнение приводится к виду в котором используется исторически сложившееся обозначение коэффициентов . (ru) Em matemática, as curvas elípticas se definem mediante equações cúbicas (de terceiro grau). Têm sido usadas para provar o último teorema de Fermat e se empregam também em criptografia (para mais detalhes pode-se ver o artigo sobre criptografia de curvas elípticas) e em fatoração de inteiros. Estas curvas não são elipses: pode ser visto também o verbete sobre integral elíptica para aprender algo sobre a origem do termo. As curvas elípticas são "regulares", ou pode-se dizer "não-singulares", o que significa que não têm "cúspides" nem auto-intersecções, e se pode definir uma operação binária para o conjunto de seus pontos de uma maneira geométrica natural, o que faz deste conjunto um grupo abeliano. As curvas elípticas sobre o corpo dos números reais vêm a ser dadas pelas equações e por . As curvas elípticas podem definir-se sobre qualquer corpo ; a definição formal de uma curva elíptica é a de uma curva algébrica projetiva não singular sobre de gênero 1. Se a característica de não é nem 2 nem 3, então toda curva elíptica sobre pode escrever-se na forma: , onde e são elementos de tais que o polinômio do membro direito não tenha nenhuma raiz dupla. Se a característica é 2 ou 3 farão falta mais termos. Sendo assim, vale salientar que há uma forma geral para expressar a equação de uma curva elíptica, a qual é válida para qualquer corpo. Essa forma é conhecida como Equação de Weierstrass e é dada por: (pt) Еліптична крива над полем K — це множина точок проективної площини над K, що задовольняють рівнянню разом з точкою на нескінченності та не містить особливих точок. Еліптичні криві є одним з основних об'єктів вивчення в сучасній теорії чисел і криптографії. Наприклад, вони були використані при доведенні Великої теореми Ферма. Еліптична криптографія є самостійним розділом криптографії, що присвячений вивченню криптосистем на базі еліптичних кривих. Еліптичні криві також застосовуються в деяких алгоритмах факторизації (наприклад ) і тестування простоти чисел. Зокрема, у класичній механіці за допомогою їх можна описати рух дзиґи. Еліпс не є еліптичною кривою. Термін «еліптична крива» походить від терміну «еліптичний інтеграл». (uk) 在數學上，橢圓曲線（英語：Elliptic curve，縮寫為EC）為一平面代數曲線，由如下形式的方程定义 ， 且满足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。（当的特征为2或3时，上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线；见下面的。） 正式地，椭圆曲线是、、亏格为1的代数曲线，其上有一个特定的点O。椭圆曲线是 – 也就是说，它有代数上定义的乘法，并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 O即为单位元。 若，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。 运用椭圆函数理论，可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群，事实上，这个对应也是一个群同构。 椭圆曲线的形狀不是椭圆。命名為椭圆曲线的原因是此曲线原來和椭圆函数有關。在拓扑学上，複數的椭圆曲线是环面，而複數的椭圆會是球面。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/EllipticCurveCatalog.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona/book/fulltext/index.html https://archive.org/details/introductiontoth0000nive http://danher6.100webspace.net/ecc%23ER_interactivo http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/ https://books.google.com/books%3Fid=Xf9ZDwAAQBAJ http://danher6.100webspace.net/ecc%23EFp_interactivo https://archive.org/details/ellipticcurvesnu0000wash https://planetmath.org/thearithmeticofellipticcurves http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/ecc/ |
| dbo:wikiPageID | 10225 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 50407 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123156838 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_product dbr:Projective_plane dbr:Sato–Tate_conjecture dbr:Scott_Vanstone dbr:Montgomery_curve dbr:Mordell–Weil_theorem dbr:Non-singular dbr:Topologically dbr:Barry_Mazur dbr:Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture dbr:Dedekind_eta_function dbr:Algebraic_closure dbr:Algorithm dbr:Riemann_hypothesis dbr:Riemann_surface dbr:Riemann_zeta_function dbr:Ring_of_integers dbr:Cusp_(singularity) dbr:Degree_of_a_field_extension dbr:Doubling-oriented_Doche–Icart–Kohel_curve dbr:Integer_factorization dbr:Inventiones_Mathematicae dbr:Jacobian_curve dbr:Elliptic_curve_cryptography dbr:Level_structure_(algebraic_geometry) dbr:Wiles's_proof_of_Fermat's_Last_Theorem dbc:Group_theory dbr:Compact_space dbr:Complex_number dbr:Congruent_number dbr:Cryptography dbr:Analytic_continuation dbr:Mathematics dbr:Elliptic-curve_Diffie–Hellman dbr:Elliptic_Curve_Digital_Signature_Algorithm dbr:Elliptic_algebra dbr:Elliptic_function dbr:Elliptic_surface dbr:Generalized_Riemann_hypothesis dbr:Genus_(mathematics) dbr:Nagell–Lutz_theorem dbr:Tunnell's_theorem dbr:Twisted_Edwards_curve dbr:Quadric_(algebraic_geometry) dbr:Quotient_group dbr:Clay_Mathematics_Institute dbr:Ellipse dbr:Elliptic_curve_primality_proving dbr:Elliptic_integral dbr:Fundamental_theorem_of_finitely_generated_abelian_groups dbr:Generating_function dbr:Geometry dbr:Modular_arithmetic dbr:Modular_form dbr:Modularity_theorem dbr:Conductor_of_an_elliptic_curve dbr:Lenstra_elliptic-curve_factorization dbr:Local_zeta_function dbr:Logarithm dbr:Loïc_Merel dbr:Singular_point_of_a_curve dbr:Stella_octangula_number dbr:Complex_conjugate dbr:Complex_projective_plane dbr:Étale_cohomology dbr:Functional_equation dbr:Fundamental_pair_of_periods dbr:Subgroup dbr:Torus dbr:Transcendental_number dbr:Twists_of_curves dbr:Weierstrass's_elliptic_functions dbr:Weierstrass_elliptic_function dbr:Dual_EC_DRBG dbr:Hasse's_theorem_on_elliptic_curves dbr:Hasse–Weil_zeta_function dbr:Lattice_(group) dbr:Tripling-oriented_Doche–Icart–Kohel_curve dbr:Twisted_Hessian_curves dbr:Riemann–Hurwitz_formula dbr:Smoothness dbr:Absolute_value dbr:Affine_space dbr:Alfred_Menezes dbr:Algebra dbr:Algebraic_curve dbr:Algebraic_geometry dbr:Cubic_plane_curve dbr:Euclidean_algorithm dbr:Euler_product dbr:Factorization dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_field dbr:Abscissa dbr:Noam_Elkies dbr:Number_field dbr:Number_theory dbr:Dirichlet_L-function dbr:Discrete_logarithm dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Isolated_point dbr:Infinite_descent dbr:Projective_variety dbr:Rank_of_an_abelian_group dbr:Rational_function dbr:Rational_point dbr:Group_(mathematics) dbr:Height_function dbr:Hesse_configuration dbr:Hessian_form_of_an_elliptic_curve dbr:Isogeny dbr:J-invariant dbr:J-line dbr:Counting_points_on_elliptic_curves dbr:Plane_curve dbr:Prime_number dbr:Arithmetic_dynamics dbr:Arithmetic–geometric_mean dbr:Abelian_group dbr:Abelian_variety dbr:Absolute_convergence dbc:Analytic_number_theory dbr:Characteristic_(algebra) dbr:EdDSA dbr:Edwards_curve dbr:George_Pólya_Award dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Modular_curve dbr:Moduli_stack_of_elliptic_curves dbr:Discriminant dbr:Sphere dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Square-free_integer dbr:Square-free_polynomial dbr:Field_extension dbr:Coprime dbr:Group_isomorphism dbr:Inflection_point dbr:Algebraic_numbers dbc:Elliptic_curves dbr:Order_(group_theory) dbr:Real_number dbr:Serge_Lang dbr:Mathematical_singularity dbr:Schoof's_algorithm dbr:Supersingular_isogeny_key_exchange dbr:Uniformization_theorem dbr:Up_to dbr:Modular_lambda_function dbr:Point_at_infinity dbr:Finitely_generated_group dbr:Torsion_subgroup dbr:Mazur's_torsion_theorem dbr:Bad_reduction dbr:Equating_the_coefficients dbr:Self-intersection dbr:Critical_strip dbr:Millennium_problem dbr:Imaginary_quadratic_field dbr:Plane_algebraic_curve dbr:Prime_subfield dbr:Coefficient_field dbr:Genus_of_an_algebraic_curve dbr:Comparison_of_computer_algebra_systems dbr:Modular_discriminant dbr:File:ECClines-3.svg dbr:File:ECClines.svg dbr:File:EllipticCurveCatalog.svg dbr:File:Elliptic_curve_on_Z61.svg dbr:File:Elliptic_curve_on_Z71.svg dbr:File:Elliptic_curve_on_Z89.svg dbr:File:Lattice_torsion_points.svg |
| dbp:id | 3206 (xsd:integer) p/e035450 (en) |
| dbp:title | Elliptic Curves (en) Elliptic curve (en) Isogeny (en) |
| dbp:urlname | EllipticCurve (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Hardy_and_Wright dbt:= dbt:About dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Commons dbt:Distinguish dbt:Further dbt:Gaps dbt:Main dbt:Math dbt:MathWorld dbt:Mvar dbt:Prime dbt:Redirect dbt:Reflist dbt:Section_link dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Sqrt dbt:Val dbt:Wikiquote dbt:Pipe dbt:Su dbt:Abs dbt:Isup dbt:Algebraic_curves_navbox dbt:Group_theory_sidebar dbt:PlanetMath_attribution |
| dct:subject | dbc:Group_theory dbc:Analytic_number_theory dbc:Elliptic_curves |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatCurves yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Curve113867641 yago:Line113863771 yago:Shape100027807 yago:WikicatAlgebraicCurves yago:WikicatEllipticCurves |
| rdfs:comment | Eliptická křivka je , která je definovaná rovnicí , což lze upravit na tzv. Weierstrassův tvar . Pokud platí, že , kde a, b jsou koeficienty z Weierstrassova tvaru, pak není křivka nesingulární (má ostrý bod) a nejedná se tedy o eliptickou křivku. Na eliptické křivce můžeme definovat bod v nekonečnu, který se obvykle označuje jako bod O. (cs) Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη πάνω από ένα σώμα η οποία δίνεται από την εξίσωση: Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη: (el) Elipsa kurbo en matematiko, estas ebena algebra kurbo difinita de ekvacia formo de kiu estas ne-singulara; t.e, ĝia grafeo havas neniun kuspon aŭ mem-intersekcoj. (Kiam la karakterizaĵoj de la egalas al 2 aŭ 3, la supra ekvacio ne tute sufiĉe ĝeneralas por formi ĉiujn ne-singularajn .) (eo) Dalam matematika, kurva eliptik adalah yang dan , satu, serta memiliki titik O tertentu. Tiap kurva eliptik dalam sebuah medan yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah yang memenuhi persamaan Kurva eliptik harus , yakni tidak memiliki atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan Kurva eliptik bukanlah elips: lihat untuk asal mula istilahnya. Secara topologi, kurva eliptik kompleks adalah torus, sedangkan elips kompleks adalah bola. (in) 대수기하학에서 타원곡선(橢圓曲線, 영어: elliptic curve)은 간단히 말해 형태의 방정식으로 정의되는 대수 곡선으로서, 이나 교차점 등의 특이점이 없는 것이다. (계수체(coefficient field)의 표수가 2나 3인 경우 이 정의는 모든 비특이 3차 곡선들의 동형류를 포함하지 않는다.) 이는 대수기하학과 수론의 중요한 연구 대상이다. 중근을 갖지 않는 임의의 3차 혹은 4차 다항식 P에 대해 y2 = P(x)는 곡면 종수 1의 비특이 평면 곡선의 방정식이며, 이 식으로 정의되는 곡선 또한 타원곡선이라 한다. 보다 일반적으로는 종수가 1인 임의의 비특이 대수 곡선을 타원 곡선이라 한다. 복소수체 상의 타원곡선은 원환면을 복소 사영 공간에 매장한 것에 대응된다. 이는 임의의 체로 일반화할 수 있으며, 각 체 상의 타원곡선의 점들은 아벨 군을 이룬다. 즉, 타원곡선은 1차원 아벨 다양체이다. (ko) In de meetkunde zijn elliptische krommen een speciale soort algebraïsche krommen waarop meetkundig een optelling gedefinieerd is. De naam is ontleend aan de ellips, maar het verband is slechts zijdelings en ellipsen zijn heel uitdrukkelijk geen voorbeelden van elliptische krommen. (nl) Эллипти́ческая крива́я над полем — неособая кубическая кривая на проективной плоскости над (алгебраическим замыканием поля ), задаваемая уравнением 3-й степени с коэффициентами из поля и «точкой на бесконечности». В подходящих аффинных координатах её уравнение приводится к виду в котором используется исторически сложившееся обозначение коэффициентов . (ru) 在數學上，橢圓曲線（英語：Elliptic curve，縮寫為EC）為一平面代數曲線，由如下形式的方程定义 ， 且满足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。（当的特征为2或3时，上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线；见下面的。） 正式地，椭圆曲线是、、亏格为1的代数曲线，其上有一个特定的点O。椭圆曲线是 – 也就是说，它有代数上定义的乘法，并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 O即为单位元。 若，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。 运用椭圆函数理论，可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群，事实上，这个对应也是一个群同构。 椭圆曲线的形狀不是椭圆。命名為椭圆曲线的原因是此曲线原來和椭圆函数有關。在拓扑学上，複數的椭圆曲线是环面，而複數的椭圆會是球面。 (zh) هذا المقال يتحدث عن منحنى رياضي. فيما يتعلق بتقنيات التشفير، انظر تعمية بالمنحنيات الإهليجية في الرياضيات، منحنى إهليجي (بالإنجليزية: Elliptic curve) هو منحنى جبري ، إسقاطي، ذو فتحة واحدة حيث فيها توجد النقطة المحددة O التي هي نقطة عند المالانهاية. يعرف المنحنى الإهليجي على حقل K والنقاط التي توصفه تكون في K2 ، التي هي ال ل K مع نفسها، إذا كان محدد الحلقة لا يساوي 2 أو 3 فإن المنحنى يمكن وصفه كمنحى جبري على مستوى والذي بعد تغيير خطي للمتغيرات، سينتج حل يمثل المنحنى الإهليجي. يمكن أن يكتب أي منحنى إهليلجي كمنحنى جبري مستو، عرف بمعادلة تأخذ الشكل التالي: (ar) En matemàtiques, una corba el·líptica és una corba plana definida per una equació de la forma y² = x3 + a x + b, que no és singular; és a dir, la seva gràfica no té o punts d'intersecció amb ella mateixa. (Quan la característica del cos de coeficients és 2 o 3, l'equació anterior no és suficientment general per a incloure totes les corbes no singulars; vegeu per a una definició més precisa). (ca) In der Mathematik sind elliptische Kurven spezielle algebraische Kurven, auf denen geometrisch eine Addition definiert ist. Diese Addition wird in der Kryptographie zur Konstruktion sicherer Verschlüsselungsmethoden verwendet. Elliptische Kurven spielen aber auch in der reinen Mathematik eine wichtige Rolle. Historisch sind sie durch die Parametrisierung elliptischer Integrale entstanden als deren Umkehrfunktionen (elliptische Funktionen). Elliptische Kurven über dem Körper der reellen Zahlen können als die Menge aller (affinen) Punkte angesehen werden, die die Gleichung (de) In mathematics, an elliptic curve is a smooth, projective, algebraic curve of genus one, on which there is a specified point O. An elliptic curve is defined over a field K and describes points in K2, the Cartesian product of K with itself. If the field's characteristic is different from 2 and 3, then the curve can be described as a plane algebraic curve which consists of solutions (x, y) for: An elliptic curve is an abelian variety – that is, it has a group law defined algebraically, with respect to which it is an abelian group – and O serves as the identity element. (en) En matemáticas, las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Han sido utilizadas para probar el último teorema de Fermat y en factorización de enteros. Se emplean también en criptografía de curvas elípticas. Estas curvas no son elipses. Las curvas elípticas son «regulares», es decir, no tienen «vértices» ni autointersecciones, y se puede definir una operación binaria para el conjunto de sus puntos de una manera geométrica natural, lo que hace de dicho conjunto un grupo abeliano. (es) En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants. (fr) In matematica, una curva ellittica è una curva algebrica proiettiva liscia di genere definita su un campo , sulla quale viene specificato un punto . Inoltre, ogni curva ellittica possiede una legge di composizione interna (generalmente indicata con il simbolo ) rispetto alla quale essa è un gruppo abeliano con elemento neutro ; di conseguenza, le curve ellittiche sono varietà abeliane di dimensione . Ogni curva ellittica definita su un campo (con caratteristica diversa da e da ) può essere scritta come la definita da un'equazione, detta equazione di Weierstrass, della forma: (it) 数学における楕円曲線（だえんきょくせん、英: elliptic curve）とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う。 楕円曲線上の点に対し、先述の点 O を単位元とする（必ず可換な）群をなすように、和を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形 により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である（有理変換によってそのような曲線に変換される）。そしてこの形にあらわされているとき、O は実は射影平面の「無限遠点」である。 また、の標数が 2 でも 3 でもないとき、楕円曲線は、上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。 非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。係数体の標数が 2 や 3 のとき、上の式は全ての非特異を表せるほど一般ではない（詳細な定義はを参照）。 このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。 (ja) Krzywa eliptyczna – pojęcie z zakresu geometrii algebraicznej, oznaczające według współczesnej definicji gładką (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem zwanym „punktem w nieskończoności”. Elementy krzywej rozumianej jako zbiór nazywa się, zgodnie z terminologią geometryczną, punktami. Dowodzi się, że każda krzywa eliptyczna jest – można na niej zdefiniować w sensowny (zgodny z własnościami geometryczno-algebraicznymi) sposób operację grupową („dodawanie” punktów), dla której jest elementem neutralnym. (pl) Em matemática, as curvas elípticas se definem mediante equações cúbicas (de terceiro grau). Têm sido usadas para provar o último teorema de Fermat e se empregam também em criptografia (para mais detalhes pode-se ver o artigo sobre criptografia de curvas elípticas) e em fatoração de inteiros. Estas curvas não são elipses: pode ser visto também o verbete sobre integral elíptica para aprender algo sobre a origem do termo. As curvas elípticas sobre o corpo dos números reais vêm a ser dadas pelas equações e por . (pt) En elliptisk kurva är mängden av punkter som löser en polynomekvation som har grad två i och grad tre i . Denna ekvation skrivs vanligtvis på formen där k är en kropp där den elliptiska kurvan är definierad, till exempel reella talen. Samtliga elliptiska kurvor kan skrivas på formen För att få ekvationen på den enkla formen överst kan man kvadratkomplettera vänsterledet (om karakteristiken av kroppen k är skild från 2), och då får man Variabelbytet ger (sv) Еліптична крива над полем K — це множина точок проективної площини над K, що задовольняють рівнянню разом з точкою на нескінченності та не містить особливих точок. Еліптичні криві є одним з основних об'єктів вивчення в сучасній теорії чисел і криптографії. Наприклад, вони були використані при доведенні Великої теореми Ферма. Еліптична криптографія є самостійним розділом криптографії, що присвячений вивченню криптосистем на базі еліптичних кривих. Еліптичні криві також застосовуються в деяких алгоритмах факторизації (наприклад ) і тестування простоти чисел. Зокрема, у класичній механіці за допомогою їх можна описати рух дзиґи. (uk) |
| rdfs:label | منحنى إهليلجي (ar) Corba el·líptica (ca) Eliptická křivka (cs) Elliptic curve (en) Elliptische Kurve (de) Ελλειπτική καμπύλη (el) Elipsa kurbo (eo) Curva elíptica (es) Kurva eliptik (in) Courbe elliptique (fr) Curva ellittica (it) 楕円曲線 (ja) 타원곡선 (ko) Elliptische kromme (nl) Krzywa eliptyczna (pl) Curva elíptica (pt) Эллиптическая кривая (ru) Elliptisk kurva (sv) Еліптична крива (uk) 椭圆曲线 (zh) |
| owl:differentFrom | dbr:Ellipse |
| owl:sameAs | dbpedia-commons:Elliptic curve freebase:Elliptic curve http://d-nb.info/gnd/4014487-2 yago-res:Elliptic curve wikidata:Elliptic curve dbpedia-ar:Elliptic curve dbpedia-be:Elliptic curve dbpedia-ca:Elliptic curve dbpedia-cs:Elliptic curve dbpedia-da:Elliptic curve dbpedia-de:Elliptic curve dbpedia-el:Elliptic curve dbpedia-eo:Elliptic curve dbpedia-es:Elliptic curve dbpedia-et:Elliptic curve dbpedia-fa:Elliptic curve dbpedia-fi:Elliptic curve dbpedia-fr:Elliptic curve dbpedia-he:Elliptic curve dbpedia-hu:Elliptic curve dbpedia-id:Elliptic curve dbpedia-is:Elliptic curve dbpedia-it:Elliptic curve dbpedia-ja:Elliptic curve dbpedia-ko:Elliptic curve dbpedia-nl:Elliptic curve dbpedia-no:Elliptic curve dbpedia-pl:Elliptic curve dbpedia-pt:Elliptic curve dbpedia-ro:Elliptic curve dbpedia-ru:Elliptic curve http://scn.dbpedia.org/resource/Curva_ellittica dbpedia-simple:Elliptic curve dbpedia-sl:Elliptic curve dbpedia-sr:Elliptic curve dbpedia-sv:Elliptic curve dbpedia-uk:Elliptic curve dbpedia-vi:Elliptic curve dbpedia-zh:Elliptic curve https://global.dbpedia.org/id/2X9W5 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Elliptic_curve?oldid=1123156838&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/ECClines-3.svg wiki-commons:Special:FilePath/ECClines.svg wiki-commons:Special:FilePath/EllipticCurveCatalog.svg wiki-commons:Special:FilePath/Elliptic_curve_on_Z61.svg wiki-commons:Special:FilePath/Elliptic_curve_on_Z71.svg wiki-commons:Special:FilePath/Elliptic_curve_on_Z89.svg wiki-commons:Special:FilePath/Lattice_torsion_points.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Elliptic_curve |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:EC |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Eliptic_curve dbr:Elliptic_Curve dbr:Elliptic_curves dbr:Weierstrass_form dbr:Weierstrass_normal_form dbr:Discriminant_of_an_elliptic_curve dbr:Elliptic_Curves dbr:Weierstrass_equation dbr:Elliptic_Equation dbr:Elliptical_curve |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Benedict_Gross dbr:Primality_certificate dbr:Prime_ideal dbr:Projective_space dbr:Pythagorean_triple dbr:Roger_Heath-Brown dbr:Rogers–Ramanujan_continued_fraction dbr:Sato–Tate_conjecture dbr:Encyclopedia_of_Cryptography_and_Security dbr:List_of_algebraic_geometry_topics dbr:List_of_cohomology_theories dbr:List_of_curves dbr:Millennium_Prize_Problems dbr:MQV dbr:Mestre_bound dbr:Montgomery_curve dbr:Mordell_curve dbr:Mordell–Weil_theorem dbr:Principal_homogeneous_space dbr:Print_Gallery_(M._C._Escher) dbr:Barry_Mazur dbr:Beppo_Levi dbr:Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture dbr:David_Masser dbr:Alfred_van_der_Poorten dbr:Algebraic-group_factorisation_algorithm dbr:Algebraic_function_field dbr:Algebraic_group dbr:Algebraic_manifold dbr:Alina_Carmen_Cojocaru dbr:Allen_Tannenbaum dbr:Andrej_Dujella dbr:Hugh_C._Williams dbr:John_Tate_(mathematician) dbr:Paul_Zimmermann_(mathematician) dbr:Peter_Swinnerton-Dyer dbr:René_Schoof dbr:Ribet's_theorem dbr:Richard_Taylor_(mathematician) dbr:Riemann_hypothesis dbr:Riemann_surface dbr:Character_sum dbr:Cubic_form dbr:Curve dbr:Curve25519 dbr:Cusp_form dbr:DRE-i_with_enhanced_privacy dbr:Vincent_Pilloni dbr:Decisional_Diffie–Hellman_assumption dbr:Deformation_(mathematics) dbr:Desert_Strike dbr:Doubling-oriented_Doche–Icart–Kohel_curve dbr:Incidence_geometry dbr:Integer_factorization dbr:Integral_domain dbr:Inter-universal_Teichmüller_theory dbr:Intersection_homology dbr:Jacobi_elliptic_functions dbr:Jacobian_curve dbr:Jacobi–Madden_equation dbr:Eliptic_curve dbr:Elliptic_Curve dbr:Elliptic_curves dbr:Elliptic_equation dbr:Kähler_differential dbr:L-function dbr:L-notation dbr:Level_structure_(algebraic_geometry) dbr:List_of_group_theory_topics dbr:List_of_mathematical_shapes dbr:List_of_multiple_discoveries dbr:List_of_number_theory_topics dbr:Transcendental_curve dbr:Number_theory:_an_approach_through_history;_from_Hammurapi_to_Legendre dbr:Néron_differential dbr:Wiles's_proof_of_Fermat's_Last_Theorem dbr:*-algebra dbr:1728_(number) dbr:Congruent_number dbr:Cryptography dbr:An_Introduction_to_the_Theory_of_Numbers dbr:Mathematical_beauty dbr:Max_Deuring dbr:Elliptic-curve_Diffie–Hellman dbr:Elliptic-curve_cryptography dbr:Elliptic_algebra dbr:Elliptic_cohomology dbr:Elliptic_curve_only_hash dbr:Elliptic_curve_primality dbr:Elliptic_divisibility_sequence dbr:Elliptic_function dbr:Elliptic_pseudoprime dbr:Elliptic_surface dbr:Elliptic_unit dbr:Gauss–Manin_connection dbr:Generalized_Riemann_hypothesis dbr:Genus_(mathematics) dbr:Genus_g_surface dbr:Lubin–Tate_formal_group_law dbr:Nagell–Lutz_theorem dbr:One-way_function dbr:Trygve_Nagell dbr:Tunnell's_theorem dbr:Semistable_abelian_variety dbr:Twisted_Edwards_curve dbr:Purely_inseparable_extension dbr:Q-analog dbr:Special_values_of_L-functions dbr:Christopher_Deninger dbr:Classical_modular_curve dbr:Eisenstein_series dbr:Elliptic_Gauss_sum dbr:Elliptic_curve_point_multiplication dbr:Elliptic_integral dbr:Equation dbr:Frans_Oort dbr:Fred_Diamond dbr:Gaussian_beam dbr:Gerhard_Frey dbr:Glossary_of_algebraic_geometry dbr:Glossary_of_arithmetic_and_diophantine_geometry dbr:Branched_covering dbr:Modular_arithmetic dbr:Modular_form dbr:Modularity_theorem dbr:Möbius_transformation dbr:Conductor_of_an_elliptic_curve dbr:Equations_defining_abelian_varieties dbr:SYZ_conjecture dbr:1982_in_science dbr:Andrew_Wiles dbr:André_Néron dbr:Arithmetic_of_abelian_varieties dbr:Arithmetic_surface dbr:Leila_Schneps dbr:Lemniscate_elliptic_functions dbr:Lenstra_elliptic-curve_factorization dbr:Local_zeta_function dbr:Lucien_Szpiro dbr:M._Ram_Murty dbr:Calabi–Yau_manifold dbr:Chow_group dbr:Six_exponentials_theorem dbr:Stella_octangula_number dbr:Stiffness_matrix dbr:Submersion_(mathematics) dbr:Sug_Woo_Shin dbr:Clay_Research_Award dbr:Commitment_scheme dbr:Comparison_of_TLS_implementations dbr:Complete_intersection dbr:Complex_geometry dbr:Complex_multiplication dbr:Complex_multiplication_of_abelian_varieties dbr:Complex_torus dbr:Frey_curve dbr:Fuchsian_group dbr:Fundamental_pair_of_periods dbr:Harnack's_curve_theorem dbr:Igusa_variety dbr:Poncelet's_closure_theorem dbr:Main_conjecture_of_Iwasawa_theory dbr:Surface_(topology) dbr:Matthew_K._Franklin dbr:Newton_polygon dbr:Néron–Tate_height dbr:Bryan_John_Birch dbr:Addition-chain_exponentiation dbr:Addition-subtraction_chain dbr:Cayley–Bacharach_theorem dbr:Torus dbr:WebAuthn dbr:Weierstrass_elliptic_function dbr:Weierstrass_form dbr:Weierstrass_normal_form dbr:Weil_conjectures dbr:Wieferich_prime dbr:Division_polynomials dbr:Dual_EC_DRBG dbr:Dual_abelian_variety dbr:Gallery_of_curves dbr:Galois_cohomology dbr:Hasse's_theorem_on_elliptic_curves dbr:Hasse–Weil_zeta_function dbr:Hasse–Witt_matrix dbr:Hecke_character dbr:K-stability dbr:Lang's_theorem dbr:Lawrence_C._Washington dbr:Linear_algebraic_group dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Local_analysis dbr:Tripling-oriented_Doche–Icart–Kohel_curve dbr:Tate_pairing dbr:Twisted_Hessian_curves dbr:Riemann–Hurwitz_formula dbr:Ring_class_field dbr:Abc_conjecture dbr:Algebraic_curve dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_number_theory dbr:Algebraic_variety dbr:Ample_line_bundle dbr:300_(number) dbr:Cubic_plane_curve dbr:Edray_Herber_Goins dbr:Euclidean_space dbr:Euler's_sum_of_powers_conjecture dbr:Exponentiation_by_squaring dbr:Faltings's_theorem dbr:Federigo_Enriques dbr:Fermat's_Last_Theorem dbr:Fermat's_right_triangle_theorem dbr:Field_(mathematics) dbr:Fields_Medal dbr:FourQ dbr:Brauer_group dbr:Noam_Elkies dbr:Number_theory dbr:Oval dbr:PARI/GP dbr:Dining_cryptographers_problem dbr:Diophantine_geometry dbr:Diophantus_and_Diophantine_Equations dbr:Direct_Recording_Electronic_with_integrity dbr:Discrete_logarithm dbr:Formal_group_law dbr:Gonality_of_an_algebraic_curve dbr:Hilbert_class_field dbr:Italian_school_of_algebraic_geometry dbr:KCDSA dbr:Kobayashi_metric dbr:Legendre_form dbr:Lehmer's_conjecture dbr:Projective_variety dbr:Rational_point dbr:Raynaud's_isogeny_theorem dbr:Hall's_conjecture dbr:Harald_Helfgott dbr:Harmonic_Maass_form dbr:Height_function dbr:Hesse_configuration dbr:Hessian_form_of_an_elliptic_curve dbr:J-invariant dbr:J._W._S._Cassels dbr:Jack_Thorne_(mathematician) dbr:Tate–Shafarevich_group dbr:Hurwitz's_automorphisms_theorem dbr:Hyperelliptic_curve dbr:EC dbr:Jennifer_Balakrishnan dbr:Plane_curve dbr:Weil_restriction dbr:ALTS dbr:Abelian_integral dbr:Abelian_surface dbr:Abelian_variety dbr:John_H._Coates dbr:Karl_Rubin dbr:Susan_Howson_(mathematician) dbr:Szpiro's_conjecture dbr:Table_of_costs_of_operations_in_elliptic_curves dbr:Cole_Prize dbr:Edwards_curve dbr:Heronian_tetrahedron dbr:Hesse_pencil dbr:Hodge–Arakelov_theory dbr:Homogeneous_coordinate_ring dbr:Homological_mirror_symmetry dbr:Homomorphic_signatures_for_network_coding dbr:Teichmüller_space dbr:Torsion_(algebra) dbr:Tropical_geometry dbr:Sarah_Zerbes dbr:Modular_curve dbr:Modular_elliptic_curve dbr:Modular_equation dbr:Moduli_of_abelian_varieties dbr:Moduli_scheme dbr:Moduli_space dbr:Schottky_problem dbr:Diffie–Hellman_problem dbr:Discrete_logarithm_records dbr:Divisor_(algebraic_geometry) dbr:Don_Zagier dbr:Dorian_M._Goldfeld dbr:Artin_billiard dbr:Automorphic_form dbr:BLISS_signature_scheme dbr:BLS_digital_signature dbr:Manjul_Bhargava dbr:Martin_Eichler dbr:Boneh–Franklin_scheme dbr:Pi dbr:Pierre_de_Fermat dbr:Srinivasa_Ramanujan dbr:Class_number_problem dbr:Fermat_curve dbr:Group_scheme dbr:Group_theory |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Elliptic_curve |
