Analytic continuation (original) (raw)
En matemàtiques, i més concretament en anàlisi complexa, una extensió analítica (o continuació analítica) és una tècnica per ampliar el domini d'una funció analítica donada.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, i més concretament en anàlisi complexa, una extensió analítica (o continuació analítica) és una tècnica per ampliar el domini d'una funció analítica donada. (ca) في الرياضيات وبالتحديد في التحليل المركب، الامتداد التحليلي (بالإنجليزية: Analytic continuation) هو تقنية تستعمل من أجل تمديد مجال دالة تحليلية ما. (ar) In der Analysis versteht man unter der analytischen Fortsetzung einer Funktion, die auf einer Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen definiert ist, eine analytische Funktion, die auf einem komplexen Gebiet, das umfasst, definiert ist und auf der Teilmenge mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. Hier sind fast ausschließlich die Fälle von Interesse, in denen die Fortsetzung (und in der Regel auch ein maximales Gebiet) durch die vorgegebene Menge und die auf ihr definierte Funktion eindeutig bestimmt ist. In der Funktionentheorie, insbesondere bei Untersuchungen von Funktionen in mehreren komplexen Variablen, wird der Begriff abstrakter gefasst. Hier bedeutet analytische Fortsetzung das Fortsetzen einer holomorphen Funktion bzw. eines holomorphen Funktionskeims. Dabei wird unterschieden zwischen der Fortsetzung des Keimes entlang eines Weges und der Fortsetzung zu einer Funktion auf einem Gebiet. Bedeutungsvoll ist, dass holomorphe Funktionen – anders als etwa stetige oder lediglich beliebig oft differenzierbare Funktionen – bereits aus lokalen Daten auf einer sehr kleinen Umgebung sehr gut rekonstruiert werden können. (de) In complex analysis, a branch of mathematics, analytic continuation is a technique to extend the domain of definition of a given analytic function. Analytic continuation often succeeds in defining further values of a function, for example in a new region where an infinite series representation in terms of which it is initially defined becomes divergent. The step-wise continuation technique may, however, come up against difficulties. These may have an essentially topological nature, leading to inconsistencies (defining more than one value). They may alternatively have to do with the presence of singularities. The case of several complex variables is rather different, since singularities then need not be isolated points, and its investigation was a major reason for the development of sheaf cohomology. (en) En análisis complejo, que es una rama de las matemáticas, una extensión analítica (o continuación analítica) es una técnica para extender el dominio de definición de una función analítica dada. Una extensión analítica por lo general tiene éxito en definir valores adicionales de la función, por ejemplo en una región nueva en la que una representación mediante series infinitas con la que se había definido inicialmente a la función era divergente. La técnica de extensión por pasos puede sin embargo encontrar algunas dificultades. Estas pueden ser de naturaleza esencialmente topológica, que conducen a inconsistencias (con definiciones de más de un valor). O bien pueden relacionarse con la presencia de singularidades matemáticas. La situación es diferente en el caso de múltiples variables complejas, ya que en este caso las singularidades no son puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones para desarrollar la . (es) Nell'ambito dell'analisi matematica, più in particolare in analisi complessa, prolungamento analitico, o continuazione analitica, è una tecnica per estendere il dominio di definizione di una funzione di variabile complessa, definita inizialmente solo in un dominio limitato, creando una funzione analitica, definita anche in altre regioni e che coincida con la funzione originaria nel suo dominio originario. Quando il prolungamento è possibile allora esso è anche unico. In molti casi si ha un prolungamento analitico definendo ulteriori valori per una funzione in una nuova regione, dove, ad esempio, non avrebbe più senso la rappresentazione in termini di serie infinita attribuita alla funzione iniziale. In generale nel prolungare analiticamente una funzione si possono incontrare difficoltà che portano a veri e propri casi di inconsistenza (definendo la funzione in più di un modo nello stesso punto, vedi funzione polidroma) o impedimenti globali per la presenza di singolarità. Il caso di è piuttosto differente, perché allora le singolarità non possono essere isolate: lo studio di questo caso è stato uno dei maggiori motivi che hanno condotto a sviluppare la coomologia dei fasci. (it) En analyse complexe, la théorie du prolongement analytique détaille l'ensemble des propriétés et techniques relatives au prolongement des fonctions holomorphes (ou analytiques). Elle considère d'abord la question du prolongement dans le plan complexe. Puis elle aborde des formes plus générales d'extension qui permettent de prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui les accompagnent. La théorie fait alors intervenir soit le concept assez ancien et peu opérant de fonction multiforme, soit le concept plus puissant de surface de Riemann. Il existe également une théorie du prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes, dont la difficulté est plus grande, et dont le traitement fut à l'origine de l'introduction de la cohomologie des faisceaux. (fr) 解析学において、解析接続 (かいせきせつぞく、英: analytic continuation, analytic prolongation) とはリーマン球面 C 上の領域で定義された有理型関数に対して定義域の拡張を行う手法の一つ、あるいは、その拡張によって得られた関数のことである。 (ja) 복소해석학에서 해석적 연속(解析的連續, analytic continuation)은 주어진 정칙함수에 대한 정의역을 늘이는 방법이다. 해석적 접속 또는 확장이라고도 불린다. (ko) In de complexe analyse, een onderdeel van de wiskunde, is analytische voortzetting een techniek om het domein van een gegeven holomorfe functie uit te breiden. Door gebruik te maken van analytische voortzetting slaagt men er vaak in om verdere waarden van een functie vast te stellen, bijvoorbeeld in een nieuw gebied, waar een weergave als een oneindige reeks in termen van zijn oorspronkelijke definitie divergeert. Een bepaalde techniek gaat stapsgewijs te werk, maar kan stuiten op moeilijkheden. Deze kunnen van topologische aard zijn, wat kan leiden tot inconsistenties (het definiëren van meer dan één waarde). De moeilijkheden kunnen ook te maken hebben met de aanwezigheid van wiskundige singulariteiten. In het geval dat er meer dan één complexe variabele is, is het anders, aangezien singulariteiten dan geen geïsoleerde punten hoeven te zijn. Onderzoek daarnaar was een belangrijke reden voor de ontwikkeling van de schoofcohomologie. (nl) Analytisk fortsättning är ett begrepp inom komplex analys, som innebär att en analytisk funktions definitionsmängd utvidgas till en större mängd så att den nya funktionen är identisk med den tidigare i det ursprungliga området och analytisk i det nya området. (sv) Em análise complexa, que é um ramo da matemática, uma extensão analítica (ou continuação analítica) é uma técnica para estender o domínio de definição de uma dada função analítica. Uma extensão analítica no geral tem êxito em definir valores adicionais da função, por exemplo em uma região nova na que uma representação mediante séries infinitas com a que se havia definido inicialmente a função como divergente. A técnica de extensão por passos pode entretanto encontrar algumas dificuldades. Estas podem ser de natureza essencialmente topológica, que conduzem à inconsistências (com definições de mais de um valor). Ela também podem relacionar-se com a presença de singularidades matemáticas. Seja como for, o problema de continuação analítica é pouco caracterizado e, atualmente, nenhuma mudança analítica para desvendá-lo é conhecida. A situação é diferente no caso de , já que neste caso as singularidades não são pontos isolados, e sua investigação foi uma das principais razões para desenvolver a . (pt) Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu. (pl) Аналіт́ичне продóвження. Задача аналітичного продовження функції, визначеної на деякій множині, полягає в такому розповсюдженні визначення цієї функції на якомога ширшу область, при якому вона була б аналітичною і в новій області. Найпростішим прикладом аналітичного продовження може служити перехід від функцій дійсної змінної (тобто функцій, визначених тільки на дійсній осі) до , аналітичних у всій площині, які збігатимуться з відповідними функціями дійсної змінної. (uk) 解析延拓（英語：Analytic continuation）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。 (zh) Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно. Понятие введено Карлом Вейерштрассом в 1842 году, им же развита соответствующая техника построения таких расширений. Частный случай для голоморфных функций — голоморфное продолжение. (ru) |
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Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu. (pl) Аналіт́ичне продóвження. Задача аналітичного продовження функції, визначеної на деякій множині, полягає в такому розповсюдженні визначення цієї функції на якомога ширшу область, при якому вона була б аналітичною і в новій області. Найпростішим прикладом аналітичного продовження може служити перехід від функцій дійсної змінної (тобто функцій, визначених тільки на дійсній осі) до , аналітичних у всій площині, які збігатимуться з відповідними функціями дійсної змінної. (uk) 解析延拓（英語：Analytic continuation）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。 (zh) Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно. Понятие введено Карлом Вейерштрассом в 1842 году, им же развита соответствующая техника построения таких расширений. Частный случай для голоморфных функций — голоморфное продолжение. (ru) In complex analysis, a branch of mathematics, analytic continuation is a technique to extend the domain of definition of a given analytic function. Analytic continuation often succeeds in defining further values of a function, for example in a new region where an infinite series representation in terms of which it is initially defined becomes divergent. (en) En análisis complejo, que es una rama de las matemáticas, una extensión analítica (o continuación analítica) es una técnica para extender el dominio de definición de una función analítica dada. Una extensión analítica por lo general tiene éxito en definir valores adicionales de la función, por ejemplo en una región nueva en la que una representación mediante series infinitas con la que se había definido inicialmente a la función era divergente. (es) In der Analysis versteht man unter der analytischen Fortsetzung einer Funktion, die auf einer Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen definiert ist, eine analytische Funktion, die auf einem komplexen Gebiet, das umfasst, definiert ist und auf der Teilmenge mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. Hier sind fast ausschließlich die Fälle von Interesse, in denen die Fortsetzung (und in der Regel auch ein maximales Gebiet) durch die vorgegebene Menge und die auf ihr definierte Funktion eindeutig bestimmt ist. (de) En analyse complexe, la théorie du prolongement analytique détaille l'ensemble des propriétés et techniques relatives au prolongement des fonctions holomorphes (ou analytiques). Elle considère d'abord la question du prolongement dans le plan complexe. Puis elle aborde des formes plus générales d'extension qui permettent de prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui les accompagnent. La théorie fait alors intervenir soit le concept assez ancien et peu opérant de fonction multiforme, soit le concept plus puissant de surface de Riemann. (fr) Nell'ambito dell'analisi matematica, più in particolare in analisi complessa, prolungamento analitico, o continuazione analitica, è una tecnica per estendere il dominio di definizione di una funzione di variabile complessa, definita inizialmente solo in un dominio limitato, creando una funzione analitica, definita anche in altre regioni e che coincida con la funzione originaria nel suo dominio originario. Quando il prolungamento è possibile allora esso è anche unico. (it) Em análise complexa, que é um ramo da matemática, uma extensão analítica (ou continuação analítica) é uma técnica para estender o domínio de definição de uma dada função analítica. Uma extensão analítica no geral tem êxito em definir valores adicionais da função, por exemplo em uma região nova na que uma representação mediante séries infinitas com a que se havia definido inicialmente a função como divergente. A situação é diferente no caso de , já que neste caso as singularidades não são pontos isolados, e sua investigação foi uma das principais razões para desenvolver a . (pt) In de complexe analyse, een onderdeel van de wiskunde, is analytische voortzetting een techniek om het domein van een gegeven holomorfe functie uit te breiden. 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| rdfs:label | Analytic continuation (en) امتداد تحليلي (ar) Continuació analítica (ca) Analytische Fortsetzung (de) Extensión analítica (es) Prolongement analytique (fr) Prolungamento analitico (it) 해석적 연속 (ko) 解析接続 (ja) Analytische voortzetting (nl) Przedłużenie analityczne (pl) Extensão analítica (pt) Аналитическое продолжение (ru) Analytisk fortsättning (sv) Аналітичне продовження (uk) 解析延拓 (zh) |
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